高中数学选修一 导学案 2.8 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系

第1课时直线与圆锥曲线的位置关系(教师独具内容)课程标准：1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线的位置关系.2.会由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围．教学重点：用代数法判断直线与圆锥曲线公共点的个数．教学难点：由直线与圆锥曲线的公共点个数求参数的取值范围．核心素养：通过直线与圆锥曲线的位置关系的判断提升逻辑推理素养和数学运算素养．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与椭圆的位置关系当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆eq\x(\s\up1(01))相交；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆eq\x(\s\up1(02))相切；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆eq\x(\s\up1(03))相离．2．直线与圆锥曲线相切一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线eq\x(\s\up1(04))相切．直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的eq\x(\s\up1(05))充要条件．[想一想]直线与双曲线、抛物线只有一个公共点是直线与它们相切的充分条件吗？提示：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系的判定联立直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的方程并消去一个未知数后，得到ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则eq\x(\s\up1(01))Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；eq\x(\s\up1(02))Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；eq\x(\s\up1(03))Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．1．(直线与椭圆的公共点个数)直线y＝3x－1与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1的公共点的个数是()A．0 B．1C．2 D．无数个答案：C2．(直线与抛物线的公共点个数)已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，满足直线l与C有且只有一个公共点的直线l有()A．1条 B．2条C．3条 D．1条、2条或3条答案：C3．(直线与双曲线的公共点个数)若直线l过点(－1，2)，且与双曲线9x2－y2＝9有且只有一个公共点，则满足条件的直线有________条．答案：44．(抛物线的切线)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为____________．答案：2x－y－1＝05．(椭圆的切线)设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上，该椭圆在点P处的切线方程为____________．答案：x＋2y－4＝0题型一直线与圆锥曲线的公共点个数问题例1当k为何值时，直线y＝kx＋2与椭圆2x2＋3y2＝6有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？[解]联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,2x2＋3y2＝6，))得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，因为Δ＝24(3k2－2)，当Δ>0，即k>eq\f(\r(6),3)或k<－eq\f(\r(6),3)时，直线与椭圆有两个公共点；当Δ＝0，即k＝±eq\f(\r(6),3)时，直线与椭圆只有一个公共点；当Δ<0，即－eq\f(\r(6),3)<k<eq\f(\r(6),3)时，直线与椭圆没有公共点．【感悟提升】直线与圆锥曲线公共点个数的判定方法(1)代数法：直线与圆锥曲线的方程联立、消元．①如果得到的是一元二次方程，则利用Δ判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数；②如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行(重合)，此时直线与圆锥曲线只有一个交点．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图形，用数形结合的方法可以迅速判断直线与圆锥曲线的交点个数．特别地，判断直线与双曲线的交点个数时，可以通过比较直线的斜率与渐近线斜率的大小，来确定交点个数．【跟踪训练】1．(1)已知双曲线C：x2－eq\f(y2,2)＝1，直线l的斜率为k，且过点P(1，1)，当k为何值时，直线l与双曲线C只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？解：由题意得直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋（1－k），,x2－\f(y2,2)＝1，))得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)当k2－2＝0，即k＝±eq\r(2)时，(*)式只有一解，直线l与双曲线C相交，只有一个公共点．当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，当Δ＝0，即k＝eq\f(3,2)时，方程(*)只有一解，直线l与双曲线C相切，只有一个公共点；当Δ>0，即k<eq\f(3,2)且k≠±eq\r(2)时，方程(*)有两解，直线l与双曲线C相交，有两个公共点；当Δ<0，即k>eq\f(3,2)时，方程(*)无解，直线l与双曲线C无公共点．综上，当k＝±eq\r(2)或k＝eq\f(3,2)时，直线l与双曲线C只有一个公共点；当k<eq\f(3,2)且k≠±eq\r(2)时，直线l与双曲线C有两个公共点；当k>eq\f(3,2)时，直线l与双曲线C无公共点．(2)已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x.当k为何值时，直线l与抛物线C有两个公共点？只有一个公共点？无公共点？解：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)，①若直线l与抛物线C有两个公共点，则k2≠0且Δ>0，即k2≠0，且16(1－k2)>0，解得k∈(－1，0)∪(0，1)．所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l与抛物线C有两个公共点．②若直线l与抛物线C只有一个公共点，则k2＝0或k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1.所以当k＝0或k＝±1时，直线l与抛物线C只有一个公共点．③若直线l与抛物线C无公共点，则k2≠0且Δ<0，解得k>1或k<－1，所以当k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线l与抛物线C无公共点．题型二直线与圆锥曲线相切问题例2(1)抛物线y＝eq\f(1,4)x2过点(0，－2)的切线方程为()A．x＝0 B．y＝±2x－2C．y＝±x－2 D．y＝±eq\r(2)x－2[解析]由于x＝0不为y＝eq\f(1,4)x2的切线，故切线斜率存在．不妨设切线的斜率为k，故切线的方程为y＝kx－2，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,4)x2，,y＝kx－2，))得eq\f(1,4)x2－kx＋2＝0，故Δ＝k2－2＝0，解得k＝±eq\r(2)，故切线方程为y＝±eq\r(2)x－2.故选D.[答案]D(2)若直线y＝x＋m与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1相切，则实数m的值为()A．±6 B．±eq\r(6)C．±eq\r(3) D．±4[解析]联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，由题意可知Δ＝16m2－12(2m2－4)＝0，解得m＝±eq\r(6).故选B.[答案]B【感悟提升】圆锥曲线的切线(1)椭圆的切线椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；从该椭圆外一点P1(x1，y1)所引的两条切线的切点弦方程为eq\f(x1x,a2)＋eq\f(y1y,b2)＝1.(2)双曲线的切线双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；从该双曲线外一点P1(x1，y1)所引的两条切线的切点弦方程为eq\f(x1x,a2)－eq\f(y1y,b2)＝1.(3)抛物线的切线抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0)；从该抛物线外一点P1(x1，y1)所引的两条切线的切点弦方程为y1y＝p(x＋x1)．【跟踪训练】2．(1)若直线l与单位圆(圆心在原点)和曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1均相切，则直线l的一个方程可以是________答案：eq\r(3)x＋y＋2＝0(或eq\r(3)x－y＋2＝0，eq\r(3)x－y－2＝0，eq\r(3)x＋y－2＝0，只需写出一个答案即可)解析：显然直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m(k≠±eq\r(2))，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)－\f(y2,8)＝1，))得(2－k2)x2－2kmx－m2－8＝0.因为直线l与曲线相切，所以Δ＝4k2m2＋4(2－k2)(m2＋8)＝0，即m2＋8－4k2＝0.因为直线l与单位圆相切，所以eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝1，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋8－4k2＝0，,\f(|m|,\r(k2＋1))＝1，))解得k＝±eq\r(3)，m＝±2.故直线l的方程可能是eq\r(3)x＋y＋2＝0，eq\r(3)x－y＋2＝0，eq\r(3)x－y－2＝0，eq\r(3)x＋y－2＝0.(2)已知抛物线C：x2＝4y，过点P(0，－1)作抛物线的切线PA，PB，A，B为切点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝________．答案：0解析：∵切线过点P(0，－1)，且交抛物线C：x2＝4y于A，B两点，∴切线斜率存在，设切线的斜率为k，则过点P(0，－1)的切线方程为y＝kx－1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝4y，))则x2－4kx＋4＝0，令Δ＝16k2－16＝0，得k＝±1，∴切线PA，PB的方程分别为y＝x－1和y＝－x－1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,x2＝4y，))则x2－4x＋4＝0，∴x＝2，y＝1，不妨令A(2，1)，同理可知B(－2，1)．∵P(0，－1)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2，2)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－4＋4＝0.1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切答案：D解析：直线l与抛物线的对称轴平行、重合或l与抛物线相切时只有一个公共点，所以D正确．故选D.2．直线l：ax＋y－a＋1＝0与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相切或相交答案：A解析：解法一：∵ax＋y－a＋1＝0，即a(x－1)＋y＋1＝0，∴直线l恒过定点M(1，－1)，又eq\f(12,3)＋eq\f(（－1）2,2)<1，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交．故选A.解法二：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,ax＋y－a＋1＝0，))得(3a2＋2)x2－6a(a－1)x＋3(a2－2a－1)＝0，∴Δ＝36a2(a－1)2－12(3a2＋2)(a2－2a－1)＝48a2＋48a＋24＝48eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋12>0恒成立，∴直线l与椭圆相交．故选A.3．直线3x－2y＋6＝0与曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x|x|,4)＝1的公共点的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：当x≥0时，曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x|x|,4)＝1，即eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1，是焦点在y轴上的双曲线的右半部分，一条渐近线方程为y＝eq\f(3,2)x，直线与渐近线平行；当x<0时，曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x|x|,4)＝1，即eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1，是焦点在y轴上的椭圆的左半部分．画出曲线和直线，如图所示，由图可知直线与曲线有2个公共点．故选B.4．已知直线y＝kx－1与抛物线x2＝4y相切，则k＝________．答案：±1解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝4y，))得x2－4kx＋4＝0，由题意可得Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1.5．与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．答案：eq\f(\r(5),5)解析：因为所求椭圆与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,x－y＋3＝0，))得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍去)，则a＝eq\r(5).又c＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点直线与圆锥曲线的公共点个数双曲线的切线与面积有关的问题抛物线的切线；抛物线的弦长直线与椭圆位置关系的判断抛物线的切线直线与双曲线的公共点个数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点直线与圆锥曲线的公共点个数直线与椭圆的公共点个数直线与双曲线的公共点个数抛物线的切线双曲线的切线抛物线的切线与面积有关的问题一、选择题1．下列四条曲线中，与直线y＝x＋2没有公共点的曲线是()A．y2＝4x B．x2－y2＝1C．x2＋y2＝2 D．2|x|＋|y|＝2答案：A解析：对于A，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y2＝4x，))可得x2＋4＝0，该方程无实解，A满足条件；对于B，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,x2－y2＝1，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,4)，,y＝\f(3,4)，))B不满足条件；对于C，圆x2＋y2＝2的圆心为原点，半径为eq\r(2)，原点到直线y＝x＋2的距离为d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，直线y＝x＋2与圆x2＋y2＝2相切，C不满足条件；对于D，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,2|x|＋|y|＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))D不满足条件．故选A.2．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP(O为原点)与直线l的斜率均存在，且斜率之积为eq\f(2,5)，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(29),5) B.eq\f(\r(30),3)C.eq\f(\r(35),5) D.eq\f(\r(30),5)答案：C解析：设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为eq\f(xx0,a2)－eq\f(yy0,b2)＝1，故切线l的斜率k＝eq\f(b2x0,a2y0).因为k·kOP＝eq\f(2,5)，则eq\f(b2x0,a2y0)·eq\f(y0,x0)＝eq\f(2,5)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,5)，即双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\f(2,5))＝eq\f(\r(35),5).故选C.3．(新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：eq\f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(\r(2),3) D．－eq\f(2,3)答案：C解析：将直线与椭圆的方程联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2.设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，易知F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，则d1＝eq\f(|－\r(2)＋m|,\r(2))，d2＝eq\f(|\r(2)＋m|,\r(2))，eq\f(S△F1AB,S△F2AB)＝eq\f(\f(|－\r(2)＋m|,\r(2)),\f(|\r(2)＋m|,\r(2)))＝eq\f(|－\r(2)＋m|,|\r(2)＋m|)＝2，解得m＝－eq\f(\r(2),3)或m＝－3eq\r(2)(舍去)．故选C.4．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线交C于点M，N，有下列四个命题：甲：点F的坐标为(1，0)；乙：抛物线C的准线方程为x＝－2；丙：线段MN的长为4；丁：直线y＝x＋1与抛物线C相切．如果只有一个命题是假命题，则该命题是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案：B解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，若eq\f(p,2)＝1，则p＝2，F(1，0)，甲为真命题；抛物线的准线方程为x＝－1，乙为假命题；|MN|＝2p＝4，丙为真命题；抛物线方程为y2＝4x，与y＝x＋1联立，可得x2－2x＋1＝0，即x＝1，可得直线y＝x＋1与抛物线C相切于点(1，2)，丁为真命题．若eq\f(p,2)＝2，则p＝4，可得F(2，0)，甲为假命题；准线方程为x＝－2，乙为真命题；|MN|＝2p＝8，丙为假命题，不符合题意．故p＝2，甲、丙、丁为真命题，乙为假命题．故选B.5．(多选)已知直线l：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，点A(x0，y0)，则下列说法正确的是()A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相交B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定答案：ABC解析：当y0＝0时，x0≠0，则直线l：x＝eq\f(a2,x0)，①若点A在椭圆C外，则|x0|>a，则|x|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x0)))<a，直线l与椭圆C相交；②若点A在椭圆C上，则|x0|＝a，则|x|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x0)))＝a，直线l与椭圆C相切；③若点A在椭圆C内，则|x0|<a，则|x|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x0)))>a，直线l与椭圆C相离．当y0≠0时，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0x,a2)＋\f(y0y,b2)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y得(a2yeq\o\al(2,0)＋b2xeq\o\al(2,0))x2－2a2b2x0x＋a4b2－a4yeq\o\al(2,0)＝0，所以Δ＝4a4b4xeq\o\al(2,0)－4(a2yeq\o\al(2,0)＋b2xeq\o\al(2,0))(a4b2－a4yeq\o\al(2,0))＝4a6b2yeq\o\al(2,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋\f(yeq\o\al(2,0),b2)－1))，①若点A在椭圆C外，则eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1，则Δ>0，直线l与椭圆C相交；②若点A在椭圆C上，则eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，则Δ＝0，直线l与椭圆C相切；③若点A在椭圆C内，则eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1，则Δ<0，直线l与椭圆C相离，综上分析可知，A，B，C正确．若点A在直线l上，则满足eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，即点A在椭圆C上．由此可知直线l与椭圆C相切，D错误．故选ABC.二、填空题6．抛物线y2＝8x在点M(2，4)处的切线方程为________．答案：x－y＋2＝0解析：设切线方程为x＝m(y－4)＋2，联立抛物线与切线方程并消去x，得y2－8my＋32m－16＝0，由Δ＝64m2－128m＋64＝64(m－1)2＝0，得m＝1，故切线方程为x－y＋2＝0.7．已知双曲线C：x2－eq\f(y2,4)＝1，过点P(1，2)的直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有________条．答案：2解析：由题意可得，双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程为y＝±2x，点(1，0)是双曲线的顶点．①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，此时，直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意；②若直线l的斜率存在，则当直线l平行于渐近线y＝－2x时，直线l与双曲线只有一个公共点．若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y＝2x，此时直线l为双曲线C的一条渐近线，不符合题意．综上所述，过点P(1，2)与双曲线只有一个公共点的直线l共有2条．8．若点(2，0)到直线l的距离小于1，则在下列曲线中：①y2＝8x；②(x－3)2＋y2＝4；③eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1；④x2－eq\f(y2,3)＝1.与直线l一定有公共点的曲线的序号是________(写出你认为正确的所有序号)．答案：①②③④解析：若点(2，0)到直线l的距离小于1，则直线l必与以(2，0)为圆心，1为半径的圆相交，即直线l必与圆(x－2)2＋y2＝1相交．对于①，作出y2＝8x与(x－2)2＋y2＝1的图形如图1所示，则与圆(x－2)2＋y2＝1相交的所有直线与y2＝8x都有公共点，①正确；对于②，作出(x－3)2＋y2＝4与(x－2)2＋y2＝1的图形如图2所示，则与圆(x－2)2＋y2＝1相交的所有直线与(x－3)2＋y2＝4都有公共点，②正确；对于③，作出eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1与(x－2)2＋y2＝1的图形如图3所示，则与圆(x－2)2＋y2＝1相交的所有直线与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1都有公共点，③正确；对于④，作出x2－eq\f(y2,3)＝1与(x－2)2＋y2＝1的图形如图4所示，则与圆(x－2)2＋y2＝1相交的所有直线与x2－eq\f(y2,3)＝1都有公共点，④正确．故与直线l一定有公共点的曲线的序号为①②③④.三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，到A(－1，0)，B(1，0)两点的距离之和为4的点的轨迹为C.(1)写出轨迹C的方程；(2)若直线y＝x＋m与轨迹C有两个交点，求m的取值范围．解：(1)由椭圆的定义可知，轨迹C是以A(－1，0)，B(1，0)为焦点，半长轴长为2的椭圆，故a＝2，c＝1，b＝eq\r(3)，故轨迹C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,3x2＋4y2＝12，))得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，因为直线y＝x＋m与轨迹C有两个交点，所以Δ＝64m2－4×7×(4m2－12)>0，解得－eq\r(7)<m<eq\r(7)，所以m的取值范围为(－eq\r(7)，eq\r(7))．10．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1交于不同的两点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a2≠0，,4a4＋8a2（1－a2）>0，))解得0<a<eq\r(2)且a≠1，又双曲线C的离心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，∴e>eq\f(\r(6),2)且e≠eq\r(2).∴双曲线C的离心率e的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(0，1)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(x1，y1－1)＝eq\f(5,12)(x2，y2－1)，由此得x1＝eq\f(5,12)x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0.由根与系数的关系，得eq\f(17,12)x2＝－eq\f(2a2,1－a2)，eq\f(5,12)xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(2a2,1－a2)，消去x2，得－eq\f(2a2,1－a2)＝eq\f(289,60)，由a>0，得a＝eq\f(17,13).11．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，过l外一点P作l的垂线，垂足为Q，且|PQ|＝|PF|，记动点P的轨迹为C，过点P作C的切线，该切线与x，y轴分别交于两个不同的点A，B，则下列结论正确的是()A．动点P的轨迹方程为y2＝4xB．当|PF|＝4时，Q，B，F三点共线C．对任意点P(除原点O外)，都有PA⊥QFD．设M(2，2)，则|PM|＋|PF|的最小值为4答案：ABC解析：易知动点P的轨迹C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以C的方程为y2＝4x，故A正确；当|PF|＝4时，记点P(xP，yP)，由|PF|＝xP＋1＝4，得xP＝3，yP＝±2eq\r(3).不妨设P(3，2eq\r(3))，则Q(－1，2eq\r(3))．设过点P的切线方程为x－3＝m(y－2eq\r(3))，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝m（y－2\r(3)），,y2＝4x，))消去x，得y2－4my＋8eq\r(3)m－12＝0.由Δ＝16m2－32eq\r(3)m＋48＝0，解得m＝eq\r(3)，所以过点P的切线方程为x－eq\r(3)y＋3＝0，B(0，eq\r(3))，所以kFQ＝eq\f(－2\r(3),2)＝－eq\r(3)＝kFB，所以Q，B，F三点共线，故B正确；设过点P(x0，y0)的切线方程为x－x0＝t(y－y0)，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝t（y－y0），,y2＝4x，))消去x，得y2－4ty＋4ty0－4x0＝0，由Δ＝16t2－16ty0＋16x0＝0，得t2－ty0＋x0＝0.因为x0＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，所以4t2－4ty0＋yeq\o\al(2,0)＝0，化简，得y0＝2t.则Q(－1，2t)，故kQF＝－eq\f(y0,2)＝－t，又kPA＝eq\f(1,t)，故kQF·kPA＝－1，所以PA⊥QF，故C正确；因为|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PQ|，点P为抛物线上任意一点，故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|＋|PQ|最小，即|PM|＋|PF|的最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|＋|PF|)min＝3，故D错误．故选ABC.12．如图所示，已知P(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1右支上任意一点，双曲线C在点P处的切线分别与两条渐近线y＝±eq\f(\r(3),2)x交于点A，B，O为原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________．答案：1解析：如图所示，设双曲线渐近线上的点A(2t1，eq\r(3)t1)，点B(2t2，－eq\r(3)t2)，当y0＝0时，过点P(x0，y0)的切线方程为x＝2；当y0≠0时，设过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝k(x－x0)＋y0，代入双曲线方程并整理，得(3－4k2)x2＋8(k2x0－ky0)x－4(k2xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2kx0y0＋3)＝0，则k≠±eq\f(\r(3),2)且Δ＝48[(xeq\o\al(2,0)－4)k2－2x0y0k＋yeq\o\al(2,0)＋3]＝0，因为eq\f(xeq\o\al(2,0),4)－eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，所以eq\f(4yeq\o\al(2,0),3)k2－2x0y0k＋eq\f(3xeq\o\al(2,0),4)＝0，所以k＝eq\f(3x0,4y0)，所以在点P(x0，y0)处的切线方程为l：eq\f(x0x,4)－eq\f(y0y,3)＝1，当y0＝0时也符合．又点A，B在切线l上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)－\f(y0,\r(3))))t1＝1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)＋\f(y0,\r(3))))t2＝1，))所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)－\f(yeq\o\al(2,0),3)))t1t2＝1，所以t1t2＝1，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4－3)t1t2＝1.13．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(－1，0)向抛物线引切线，斜率为1，切点为P.(1)求抛物线的标准方程；(2)已知H，T是抛物线上的两点，∠HPT＝90°，△HPT的重心G在x轴上，PG交HT于点M，求直线HT的方程．解：(1)过点(－1，0)向抛物线引切线，斜率为1，可得切线方程为y＝x＋1，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,y2＝2px，))整理得y2－2py＋2p＝0，由Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2，故抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)由(1)知y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即点P的纵坐标为2，故P(1，2)，又G为△HPT的重心，故M为HT的中点，则由eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))可得点M的纵坐标为yM＝－1，由题意知直线HT的斜率一定存在且不为0，设H(x1，y1)，T(x2，y2)，则kHT＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y1－y2,\f(yeq\o\al(2,1),4)－\f(yeq\o\al(2,2),4))＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2yM)