高中数学选修一 导学案 2.8 第2课时 直线与圆锥曲线位置关系的综合问题

第2课时直线与圆锥曲线位置关系的综合问题(教师独具内容)课程标准：1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题．教学重点：利用弦长公式解决与弦长有关的问题．教学难点：有关中点弦的问题．核心素养：通过对直线与圆锥曲线位置关系的讨论进一步提升逻辑推理素养和数学运算素养．知识点一弦及弦长的概念一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则eq\x(\s\up1(01))以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，eq\x(\s\up1(02))线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的eq\x(\s\up1(03))线段．知识点二弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\x(\s\up1(01))eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\x(\s\up1(02))eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\a\vs4\al(\r(（y1＋y2）2－4y1y2))(k≠0)．[拓展]1．焦点弦(1)椭圆的焦点弦椭圆的焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，最短弦长为eq\f(2b2,a)；最长的焦点弦是长轴，其长为2a.(2)双曲线的焦点弦双曲线同支的焦点弦中通径(垂直于实轴的焦点弦)最短，最短弦长为eq\f(2b2,a)；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(3)抛物线的焦点弦如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ，抛物线的准线为l，N为准线l与x轴的交点．①A，O，B1三点共线，且B，O，A1三点共线；②AM1⊥BM1，A1F⊥B1F，M1F⊥AB；③以AB为直径的圆与准线相切(切点为M1)，以A1B1为直径的圆与AB相切(切点为F)，以AF或BF为直径的圆与y轴相切；④∠ANF＝∠BNF；⑤|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；⑥|AB|＝x1＋x2＋p＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))＝eq\f(2p,sin2θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(设直线AB的斜率为k，则|AB|＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))))；注意：当θ＝90°时，AB称为抛物线的通径，是焦点弦中最短的．⑦y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)，|y1－y2|＝eq\f(2p,sinθ)；⑧kOA·kOB＝－4，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)p2；⑨eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(1＋cosθ,1－cosθ)；⑩S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ).2．中点弦(1)椭圆的中点弦AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则①直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)；②直线AB的方程：y－y0＝－eq\f(b2x0,a2y0)(x－x0)；③直线AB的垂直平分线方程：y－y0＝eq\f(a2y0,b2x0)·(x－x0)．(2)双曲线的中点弦双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k＝eq\f(b2x0,a2y0)，其中k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．(3)抛物线的中点弦抛物线y2＝2px(p>0)以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k＝eq\f(p,y0)，其中k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．1．(椭圆的弦长)通过椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于()A．2eq\r(3) B．3C.eq\r(3) D．6答案：B2．(双曲线的弦长)已知双曲线x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为2eq\r(6)的弦AB，则|AB|＝________．答案：253．(抛物线的焦点弦)过抛物线y2＝6x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝8，那么|AB|＝________．答案：114．(抛物线的中点弦)已知A，B为抛物线y2＝2x上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为________．答案：eq\f(1,2)题型一弦长、焦点弦问题例1(1)已知斜率为2的直线l经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________．[解析]因为直线l过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F1(1，0)，又直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.解法一：解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(4,3)，))不妨令A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，则|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq\f(5\r(5),3).解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0，))消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0，则x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1x2＝0，所以|AB|＝eq\r(（1＋keq\o\al(2,AB)）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(（1＋22）×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(2)－4×0)))＝eq\f(5\r(5),3).解法三：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0，))消去x得3y2＋2y－8＝0，因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，则y1＋y2＝－eq\f(2,3)，y1y2＝－eq\f(8,3)，所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,keq\o\al(2,AB))))[（y1＋y2）2－4y1y2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3))))))＝eq\f(5\r(5),3).[答案]eq\f(5\r(5),3)(2)过抛物线y2＝2x的焦点F作弦AB，其所在直线的倾斜角为eq\f(π,6)，则|AB|＝________．[解析]解法一：由题意知，直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，))得x2－7x＋eq\f(1,4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝7，由焦点弦公式，得|AB|＝x1＋x2＋1＝7＋1＝8.解法二：因为过抛物线y2＝2x的焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为eq\f(π,6)，所以由抛物线的焦点弦公式，得|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝8.[答案]8【感悟提升】求弦长的常用方法(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出弦的端点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解．(3)焦点弦公式法：此法常用来解决抛物线的焦点弦问题．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线的方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．【跟踪训练】1．(1)已知F是双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦点，过F作与x轴垂直的直线，与双曲线交于A，B两点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为P，若|AB|＝eq\r(3)|FP|，则b＝()A．1 B.eq\r(3)C.eq\r(7) D．3答案：B解析：设F(c，0)．过F且与x轴垂直的直线的方程为x＝c，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－\f(y2,b2)＝1，,x＝c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,y＝±\f(b2,2)，))所以|AB|＝b2.由双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1可得渐近线方程为y＝±eq\f(b,2)x.由对称性可知，F到任一渐近线的距离均相等，不妨求F到渐近线bx－2y＝0的距离，所以|FP|＝eq\f(|bc|,\r(b2＋4))＝b.因为|AB|＝eq\r(3)|FP|，所以b2＝eq\r(3)b，解得b＝eq\r(3).故选B.(2)(多选)(新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq\r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝eq\f(8,3)C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形答案：AC解析：对于A，直线y＝－eq\r(3)(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，))消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3)，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝eq\f(1,2)(d1＋d2)＝eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(1,2)|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－eq\r(3)×(3－1)＝－2eq\r(3)，y2＝－eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))＝eq\f(2\r(3),3)，所以|OM|＝eq\r(32＋（－2\r(3)）2)＝eq\r(21)，|ON|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),3)，所以△OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC.题型二中点弦问题例2已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．[解]解法一(根与系数的关系法)：由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．将其代入椭圆的方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8（2k2－k）,4k2＋1).又M为线段AB的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4（2k2－k）,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0.解法二(点差法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16，两式相减，得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4（y1＋y2）)＝－eq\f(4,4×2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0.解法三(对称点法)：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2，1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x，2－y)．∵A，B两点都在椭圆上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，①,（4－x）2＋4（2－y）2＝16.②))①－②，整理得x＋2y－4＝0.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0.【感悟提升】解决中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线的方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．以椭圆为例，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).(3)对称点法：以椭圆为例，已知椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设弦的其中一个端点为A(x，y)，则另一个端点为B(2x0－x，2y0－y)，则eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(（2x0－x）2,a2)＋eq\f(（2y0－y）2,b2)＝1，两式作差，即可得所求的直线方程．【跟踪训练】2．(1)若抛物线x2＝4y的弦被点A(2，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________．答案：1解析：设过点A的弦的端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)＝4y1，,xeq\o\al(2,2)＝4y2，))两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，因此直线MN的斜率为eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)已知双曲线的方程是eq\f(x2,4)－y2＝1.过点P(3，1)作直线l，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l的方程．解：设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∵P(3，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2.把A，B两点的坐标分别代入双曲线方程，得xeq\o\al(2,1)－4yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)－4yeq\o\al(2,2)＝4.两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(3,4)，∴直线l的方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋eq\f(11,4)＝0，满足Δ>0，∴所求直线l的方程为3x－4y－5＝0.1．抛物线x＝8y2的通径长为()A．8 B．4C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)答案：C解析：抛物线x＝8y2，即y2＝eq\f(1,8)x，可得2p＝eq\f(1,8)，因此通径长为eq\f(1,8).故选C.2．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的右焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|＝6，若这样的直线有且只有两条，则实数a的取值范围是()A．(0，1]∪(3，＋∞)B．(0，1)∪(3，＋∞)C．(0，1)D．(3，＋∞)答案：B解析：若A，B在同一支上，则|AB|min＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(6,a)；若A，B不在同一支上，则|AB|min＝2a.因为eq\f(6,a)与2a不可能同时等于6，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a>6，,\f(6,a)<6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a<6，,\f(6,a)>6，))解得a>3或0<a<1.故选B.3．(多选)已知双曲线C：eq\f(x2,4)－y2＝1，点A，B在C上，AB的中点为(1，1)，则()A．C的渐近线方程为y＝±2xB．C的右焦点为(2，0)C．C与圆x2＋y2＝1没有公共点D．直线AB的方程为x－4y＋3＝0答案：CD解析：对于A，B，由双曲线C：eq\f(x2,4)－y2＝1可得a2＝4，b2＝1，c2＝5，所以渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(1,2)x，右焦点为(eq\r(5)，0)，故A，B不正确；对于C，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－y2＝1，,x2＋y2＝1，))消去y可得x2＝eq\f(8,5)，代入x2＋y2＝1，解得y无实数根，所以C与圆x2＋y2＝1没有公共点，故C正确；对于D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)－yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)－yeq\o\al(2,2)＝1，两式相减，得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因为AB的中点为(1，1)，所以eq\f(2（x1－x2）,4)－2(y1－y2)＝0，易得直线AB的斜率存在，故可得kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,4)，则直线AB的方程为y－1＝eq\f(1,4)(x－1)，即x－4y＋3＝0，与双曲线C的方程联立，消去x，可得12y2－24y＋5＝0，此时Δ＝576－4×12×5>0，则直线与双曲线有两个公共点，符合题意，故直线AB的方程为x－4y＋3＝0，故D正确．故选CD.4．已知抛物线y2＝4x与过焦点的一条直线交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为eq\f(3,2)，则|AB|＝________．答案：5解析：由题意知抛物线的焦点F(1，0)，且直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝ty＋1，联立抛物线的方程得y2－4ty－4＝0，Δ>0，故yA＋yB＝4t，yAyB＝－4，所以xA＋xB＝t(yA＋yB)＋2＝4t2＋2＝2×eq\f(3,2)＝3，即t2＝eq\f(1,4)，则|AB|＝eq\r(1＋t2)·|yA－yB|＝eq\r(1＋t2)·eq\r(（yA＋yB）2－4yAyB)＝eq\f(\r(5),2)×eq\r(4＋16)＝5.5．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点O的直线的斜率为2，则eq\f(b,a)＝________．答案：eq\r(2)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则kOM＝eq\f(y0,x0)＝2，kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－1，由M是AB的中点，得x1＋x2＝2x0①，y1＋y2＝2y0②，又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减，得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0③，将①②代入③，得eq\f(2x0（x1－x2）,a2)＋eq\f(2y0（y1－y2）,b2)＝0，整理，得eq\f(b2,a2)＝2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点抛物线的焦点弦椭圆的中点弦双曲线的焦点弦双曲线的中点弦椭圆的弦长；椭圆的中点弦抛物线的焦点弦双曲线的中点弦题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点椭圆的弦长椭圆的弦长双曲线的中点弦双曲线的弦长椭圆的弦长；根据直线与双曲线的位置关系求参数的取值范围抛物线的弦长；与面积有关的问题椭圆的弦长；椭圆的中点弦一、选择题1．直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝3，则|AB|＝()A．2 B．3C．4 D．5答案：C解析：抛物线y2＝2x的准线方程为x＝－eq\f(1,2)，因为直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋eq\f(1,2)＋x2＋eq\f(1,2)＝x1＋x2＋1＝3＋1＝4.故选C.2．斜率为k的直线l与椭圆C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(2，m)，则k的取值范围是()A．(－∞，1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))答案：C解析：由题设，M(2，m)在椭圆C内，则eq\f(4,6)＋eq\f(m2,3)<1，得－1<m<1，设直线l：y＝k(x－2)＋m，代入椭圆x2＋2y2＝6，整理，得(1＋2k2)x2＋4k(m－2k)x＋2(m－2k)2－6＝0且Δ>0，则xA＋xB＝eq\f(4k（2k－m）,1＋2k2)＝4，由图可知，直线的斜率不可能为0，所以m＝－eq\f(1,k)，故－1<－eq\f(1,k)<1，得k<－1或k>1.故选C.3．过双曲线x2－y2＝2的左焦点作直线l，与双曲线交于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案：D解析：由题意得，双曲线的左焦点为(－2，0)，当直线垂直于x轴时，|AB|＝2eq\r(2)，不符合题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x.故可设l：y＝k(x＋2)(k≠±1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与双曲线方程联立可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,x2－y2＝2，))则(1－k2)x2－4k2x－4k2－2＝0，则x1＋x2＝eq\f(4k2,1－k2)，x1x2＝eq\f(－4k2－2,1－k2)，由弦长公式知|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\f(\r(8（k2＋1）),|k2－1|)＝4，得k2＋1＝eq\r(2)|k2－1|，则k＝±(eq\r(2)－1)或k＝±(eq\r(2)＋1)．故存在4条直线满足条件．故选D.4．设A，B为双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A．(1，1) B．(－1，2)C．(1，3) D．(－1，－4)答案：D解析：解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，可得kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，直线OM(O为原点)的斜率k＝eq\f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2))＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)，因为A，B在双曲线上，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)－\f(yeq\o\al(2,1),9)＝1，,xeq\o\al(2,2)－\f(yeq\o\al(2,2),9)＝1，))两式相减得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))－eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),9)＝0，所以kAB·k＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝9.对于A，k＝1，kAB＝9，则直线AB：y＝9x－8，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝9x－8，,x2－\f(y2,9)＝1，))消去y，得72x2－2×72x＋73＝0，此时Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A不符合题意；对于B，k＝－2，kAB＝－eq\f(9,2)，则直线AB：y＝－eq\f(9,2)x－eq\f(5,2)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(9,2)x－\f(5,2)，,x2－\f(y2,9)＝1，))消去y，得45x2＋2×45x＋61＝0，此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝－4×45×16<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B不符合题意；对于C，k＝3，kAB＝3，则直线AB：y＝3x，由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则直线AB：y＝3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C不符合题意；对于D，k＝4，kAB＝eq\f(9,4)，则直线AB：y＝eq\f(9,4)x－eq\f(7,4)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(9,4)x－\f(7,4)，,x2－\f(y2,9)＝1，))消去y，得63x2＋126x－193＝0，此时Δ＝1262＋4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D符合题意．故选D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)－\f(yeq\o\al(2,1),9)＝1①，,xeq\o\al(2,2)－\f(yeq\o\al(2,2),9)＝1②，))①－②得kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝9×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝9×eq\f(x0,y0)，即－3<9×eq\f(x0,y0)<3⇒－eq\f(1,3)<eq\f(x0,y0)<eq\f(1,3)，即eq\f(y0,x0)>3或eq\f(y0,x0)<－3.故选D.5．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))，直线l：y＝－eq\f(1,2)x＋m与椭圆C交于M，N两点，且线段MN的中点为P，O为坐标原点，直线OP的斜率为eq\f(3,2)，则下列结论正确的是()A．椭圆C的离心率为eq\f(1,2)B．椭圆C的方程为eq\f(x2,12)＋y2＝1C．若m＝1，则|MN|＝eq\f(3\r(5),2)D．若m＝eq\f(1,2)，则椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称答案：AC解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即kOP＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(3,2)，因为M，N在椭圆C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减，得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0，即eq\f(1,a2)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2（x1＋x2）（x1－x2）)＝0，又kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a2)－eq\f(3,4b2)＝0，即b2＝eq\f(3,4)a2，又a2＝b2＋c2，所以c2＝eq\f(1,4)a2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故A正确；因为椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))，所以eq\f(3,a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故B错误；若m＝1，则直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得x2－x－2＝0，所以x1＝－1，x2＝2，|MN|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2))×|2＋1|＝eq\f(3\r(5),2)，故C正确；若m＝eq\f(1,2)，则直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).假设椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，EF的中点为Q(x0，y0)，所以x3＋x4＝2x0，y3＋y4＝2y0.因为E，F关于直线l对称，所以kEF＝2且点Q在直线l上，即y0＝－eq\f(1,2)x0＋eq\f(1,2).又E，F在椭圆C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,3),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,3),3)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,4),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,4),3)＝1，两式相减，得eq\f(（x3＋x4）（x3－x4）,4)＋eq\f(（y3＋y4）（y3－y4）,3)＝0，即eq\f(x3＋x4,4)＋eq\f(（y3＋y4）（y3－y4）,3（x3－x4）)＝0，所以y3＋y4＝－eq\f(3（x3＋x4）,8)，即y0＝－eq\f(3,8)x0，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－\f(1,2)x0＋\f(1,2)，,y0＝－\f(3,8)x0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝4，,y0＝－\f(3,2)，))即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(3,2))).又eq\f(42,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2),3)>1，所以点Q在椭圆C外，这与Q是弦EF的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，故D错误．故选AC.二、填空题6．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线l的倾斜角为________．答案：60°解析：如图，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作AM，BN垂直于m，垂足分别为M，N，过点B作BE⊥AM，垂足为E，因为|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，且|AF|＝3|BF|，所以|AM|＝3|BN|，|AB|＝4|BF|，|AE|＝|AM|－|ME|＝2|BF|，所以cos∠BAE＝eq\f(1,2)，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°.7．双曲线x2－4y2＝4的弦AB被点M(3，－1)平分，则直线AB的方程为________．答案：3x＋4y－5＝0解析：当直线AB的斜率不存在时，方程为x＝3，根据双曲线的对称性，M(3，－1)不能平分弦AB，故不满足题意；当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xeq\o\al(2,1)－4yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)－4yeq\o\al(2,2)＝4，两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(3,4)，所以直线AB的方程为y＋1＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－5＝0.8．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，且∠F1DF2＝120°，若第一象限的点A，B在C上，|AF2|＝2，|BF2|＝4，|AB|＝3，则直线AB的斜率为________．答案：－eq\f(\r(11),4)解析：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，且∠F1DF2＝120°，所以∠F1DO＝60°(O为原点)，由椭圆的几何性质可知|DF1|＝a，|OF1|＝c，椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0<x1<a，0<x2<a，则|AF2|＝eq\r(（x1－c）2＋yeq\o\al(2,1))＝eq\r(xeq\o\al(2,1)－2cx1＋c2＋b2－\f(b2,a2)xeq\o\al(2,1))＝eq\r(\f(c2,a2)xeq\o\al(2,1)－2cx1＋a2)＝|ex1－a|＝a－ex1＝2，同理可得|BF2|＝a－ex2＝4，所以|BF2|－|AF2|＝e(x1－x2)＝eq\f(\r(3),2)(x1－x2)＝2，解得x1－x2＝eq\f(4\r(3),3)，设直线AB的斜率为k，由弦长公式可得|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\f(4\r(3),3)·eq\r(1＋k2)＝3，解得k＝±eq\f(\r(11),4)，因为点A，B都在第一象限，则k<0，故k＝－eq\f(\r(11),4).三、解答题9．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2eq\r(2)，离心率为eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l的斜率为1，过点M(0，t)，且与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，求t的值．解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以2a＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝eq\r(2)，c＝1，所以b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由题意，直线l的方程为y＝x＋t，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋t，))消去y，得3x2＋4tx＋2(t2－1)＝0，且Δ＝－8t2＋24>0，则t∈(－eq\r(3)，eq\r(3))，又x1＋x2＝－eq\f(4t,3)，x1x2＝eq\f(2（t2－1）,3)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\f(16t2,9)－\f(8（t2－1）,3))＝eq\f(4\r(2),3)，即16t2－24(t2－1)＝16，则t2＝1，解得t＝±1，经检验，符合题意．10．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,12)＝1(a>0)经过点H(2，0)，直线l与双曲线C相交于A，B两点．(1)求双曲线C的离心率；(2)若线段AB中点的坐标为(3，3)，求直线l的斜率；(3)直线l经过双曲线C的右焦点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程．解：(1)将点H(2，0)的坐标代入双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,12)＝1(a>0)，得eq\f(4,a2)＝1，解得a＝2，故双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(12,4))＝2.(2)由题意易得直线l的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)－\f(yeq\o\al(2,1),12)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),4)－\f(yeq\o\al(2,2),12)＝1，))两式相减，得eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),4)－eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),12)＝0，整理，得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝3×eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因为线段AB中点的坐标为(3，3)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝6，所以直线l的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝3×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝3×eq\f(6,6)＝3，故直线l的方程为y－3＝3(x－3)，即3x－y－6＝0.经检验，直线l与双曲线C相交，所以直线l的斜率为3.(3)由题意得双曲线C的右焦点为F(4，0)．若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，根据对称性不妨设A(4，6)，B(4，－6)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，6)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，－6)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≠0，所以直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y＝k(x－4)(k≠±eq\r(3))，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－4），,\f(x2,4)－\f(y2,12)＝1，))得(3－k2)x2＋8k2x－(16k2＋12)＝0，Δ＝64k4＋4(3－k2)(16k2＋12)＝144(k2＋1)>0，所以x1＋x2＝eq\f(8k2,k2－3)，x1x2＝eq\f(16k2＋12,k2－3)，因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－4)(x2－4)＝(1＋k2)x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2＝(1＋k2)·eq\f(16k2＋12,k2－3)－4k2·eq\f(8k2,k2－3)＋16k2＝eq\f(12－20k2,k2－3)＝0，解得k＝±eq\f(\r(15),5)，所以直线l的方程为y＝±eq\f(\r(15),5)(x－4)，即eq\r(3)x－eq\r(5)y－4eq\r(3)＝0或eq\r(3)x＋eq\r(5)y－4eq\r(3)＝0.11．(多选)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－eq\r(3)，0)和F2(eq\r(3)，0)连线的斜率之积等于eq\f(1,3)，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝k(x－2)与E交于A，B两点，则()A．E的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1(x≠±eq\r(3))B．E的离心率为eq\r(3)C．E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切D．满足|AB|＝2eq\r(3)的直线l有2条答案：ACD解析：设点P(x，y)，由已知，得eq\f(y,x＋\r(3))·eq\f(y,x－\r(3))＝eq\f(1,3)，整理，得eq\f(x2,3)－y2＝1，所以曲线E的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1(x≠±eq\r(3))，故A正确；E的离心率e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，故B不正确；圆(x－2)2＋y2＝1的圆心(2，0)到曲线E的渐近线x±eq\r(3)y＝0的距离为d＝eq\f(2,\r(12＋（±\r(3)）2))＝1，又圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，所以E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，故C正确；将直线l与曲线E的方程联立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,\f(x2,3)－y2＝1（x≠±\r(3)），))整理，得(1－3k2)x2＋12k2x－12k2－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1－3k2≠0，且Δ＝144k4－4(1－3k2)(－12k2－3)＝12(k2＋1)>0，有x1＋x2＝eq\f(－12k2,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－12k2－3,1－3k2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2\r(3)\r(1＋k2),|1－3k2|)＝eq\f(2\r(3)（1＋k2）,|1－3k2|)，要满足|AB|＝2eq\r(3)，则需eq\f(2\r(3)（1＋k2）,|1－3k2|)＝2eq\r(3)，解得k＝0或k＝1或k＝－1，当k＝0时，A(eq\r(3)，0)，B(－eq\r(3)，0)或A(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，而曲线E上x≠±eq\r(3)，所以满足条件的直线l有2条，故D正确．故选ACD.12．过双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的一个焦点和C的两支都相交的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1相交于A，B两点，若C的离心率为eq\f(\r(5),2)，则|AB|的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，4))解析：双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的半实轴长为2，半虚轴长为b(0<b<2)，由C的离心率为eq\f(\r(5),2)，得e2＝eq\f(5,4)＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(4＋b2,4)，即b＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，如图，不妨取双曲线的左焦点F1(－eq\r(5)，0)，由图可知，直线l截椭圆所得弦长的最大值为4，设过F1的直线的方程为y＝k(x＋eq\r(5))，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋\r(5)），,\f(x2,4)＋y2＝1，))可得(1＋4k2)x2＋8eq\r(5)k2x＋20k2－4＝0①.由Δ＝(8eq\r(5)k2)2－4(1＋4k2)(20k2－4)＝16(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.可知当k＝±1时，直线与椭圆相切．要使直线与双曲线C的两支都相交，则k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，而当k＝eq\f(1,2)时，①式化为2x2＋2eq\r(5)x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\r(5)，x1x2＝eq\f(1,2)，∴|AB|＝eq\r(1＋\f(1,4))·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(\r(5),2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(15),2)，∴|AB|的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，4)).13．已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且|AB|＝4eq\r(15).(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0，求△MNF面积的最小值．解：(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，所以|AB|＝eq\r(5)|yA－yB|＝eq\r(5)×eq\r(（yA＋yB）2－4yAyB)＝eq\r(5)×eq\r(16p2－8p)＝4eq\r(15)，即2p2－p－6＝0，因为p＞0，解得p＝2.(2)显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x