湘南学院《高等数学》课件-第2章导数

第二章导数内容提要

1.导数的概念；

2.导数的几何意义；

3.可导与连续的关系.教学要求

1.深刻理解导数的概念，会用定义求导数（包括分段函数的导数），理解函数可导性与连续性的关系；

2.理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线方程和法线方程的方法，能用导数描述一些物理量.湘南学院《高等数学》第一讲导数的概念内容提要

1.导数的概念；

2.导数的几何意义；

3.可导与连续的关系.教学要求

1.深刻理解导数的概念，会用定义求导数（包括分段函数的导数），理解函数可导性与连续性的关系；

2.理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线方程和法线方程的方法，能用导数描述一些物理量.位置函数为分析：

当质点作匀速直线运动时，改变量先回顾函数的改变量一、引例1.瞬时速度设一质点作变速直线运动,在这一时间间隔内,于是比值就是质点在这段时间内的平均速度,

显然越小,近似程度越好.则此极限值就是质点在时刻0t的瞬时速度)(0tv即

tv=)(0记为即的瞬时速度的近似值,可作为质点在时刻0t若的极限存在。当质点作变速运动时，则不然。我们考虑从质点经过的路程2．质量非均匀的细杆的线密度将一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上,它的一端位于原点，分布在],0[x上的质量m是x的函数)(xmm=,求杆中某点0x处的线密度。分析：

若细杆质量分布是均匀的,总长度总质量=对质量分布是非均匀的细杆,就不能这样计算。在]

,0[0x上细杆的质量为)(0xm,在]

,0[0xxD+

上的质量为细杆的质量为:则它在处的线密度于是在这段长度内,平均线密度为

处的线密度的近似值，显然

||xD越小,近似程度若r的极限存在,则此极限值即x)(0r当很小时,上述两个实际问题的物理意义虽然不同，但解决问题的方法是相同的，都是求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限。把这一共同点进行归纳，于是得出导数定义如下：越好，0x处的线密度)(0xr,就是细杆在点处给自变量一改变量Dx,相应地函数y有改变量如果极限存在,二、导数的定义则称函数)(xfy=在点0x处可导,并称此极限值为函数)(xf在0x点处的导数（或称为函数)(xf在0x点处的

变化率

）记为

或

0|xxy=¢

2.导函数的概念（简称“导数”）如果函数)(xfy=在开区间)

,(ba内每一点都可导,则称函数)(xfy=在开区间)

,(ba内可导,这时对于)

,(ba内的每一个确定的x值,都对应着一个确定的于是就确定了一个新的函数这个新的函数称为)(xfy=的导函数

记为

或y¢

或或

即解法二（1）先求导函数对于自变量在x给定改变量xD,相应地函数的改变量为:从而

于是即(2)再求导数)(xf¢在0xx=处的函数值解(2)解(1)求下列曲线在指定点处的切线方程与法线方程；练习解依题意：依题意：五、可导与连续的关系定理证明注意：定理的逆命题不成立。即一个函数在一点连续，它不一定在该点可导。函数在某点连续，是函数在该点可导的必要条件。左、右导数的概念则称此极限

)(xf0x值为函数在点处的右导数则称此极限)(xf0x值为函数在点处的左导数根据左、右导数的概念，

)(xf0x函数在点处的右导数)(xf0x函数在点处的左导数左导数、右导数的另一种形式：

令xxx=D+0

也可以表示为：也可以表示为：练习：解用左导数、右导数的另一种形式求证明：不存在.解小结一、导数的定义求)(xfy=的导数y¢一般步骤如下：二、导数的几何意义三、可导与连续的关系函数在某点连续，是函数在该点可导的必要条件。第二讲函数的求导法则内容提要1.函数的和、差、积、商的求导法则；2.反函数的求导法则；3.复合函数的求导法则。教学要求1.熟悉导数的运算法则及导数基本公式；

2.熟练掌握函数的求导计算方法。一、导数的四则运算法则定理1并且有证明：下面只对（2）给出证明.说明：定理1（1）可以推广到有限个可导函数的代数和的情形。定理1（2）可以推广到有限个可导函数的乘积的情形。且有由定理1（3）可以得到：由定理1（2）可以得到：例1解例2解例3解例4解同理可得同理可得例5解例6解解解练习二、复合函数的求导法则另一方面，于是从而可得公式定理2且有或记为证说明：复合函数求导法则也可推广到多次复合的情形，例如，或记为例1解于是例2解于是说明：对复合函数的复合过程能正确掌握后，从外向里逐层求导即可。可不必写出中间变量，只要记住复合过程，例3解例4解例5解例6解例7解三、反函数求导法则定理3证于是有即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例1解类似的，有即例2解即类似的，有例3解即例4解例5解即类似的，有例6解由复合函数求导法则，得即指出：例7解例8解练习求下列函数的导数解1.解2.四、初等函数的导数1.基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（2）vuvuuv¢+¢=¢)(,

）3uccu¢=¢)((是常数)（（1）vuvu¢¢=¢

)(,注意:（1）可以推广到有限个可导函数的代数和的情形。（2）可以推广到有限个可导函数的乘积的情形。利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.4.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则复合函数求导法则也可推广到多次复合的情形，小结

1.函数的和、差、积、商的求导法则；2.反函数的求导法则；3.复合函数的求导法则.第三讲高阶导数内容提要函数的高阶导数；教学要求

1.会求函数的一阶、二阶导数和简单函数的n阶导数；

2.掌握抽象函数的一阶、二阶导数的求法。第三节高阶导数二阶导数,类似地，三阶导数，记为一般地，则称或或或如果它仍可导记为记为于是,根据定义有(1)称)(xfy¢=¢为)(xfy=的一阶导数(简称导数)（2）二阶和三阶导数可分别记为y¢¢和y¢¢¢,但四阶以上的导数应记为)4(y、)5(y（3）二阶及二阶以上的导数,统称为高阶导数（4）)(xf具有n阶导数,常称函数)(xfn阶可导.求高阶导数，只要逐步求导即可，说明：例1已知路程函数求s的二阶导数。解因为所以g（这里为加速度）由此可知，路程s对时间的二阶导数为质点作变速直线运动的加速度。若质点作变速直线运动的位置函数为则速度)()(tstv¢=,加速度)()()(tstvta¢¢=¢=一般地，例2设一质点作简谐运动,其运动规律为求该点在时刻的速度和加速度解例3解例4已知函数解一般地，则这表明,对多项式函数求导,当导数的阶数与多项式的次数相等时,其导数结果等于最高次的系数乘以次数的阶乘,当导数的阶数大于多项式的次数时,其导数结果等于零。1.已知函数解分析由于函数展开后的最高次幂项为所以练习例5

求xysin=的n阶导数解

……………同理得练习1.

求xey=的n阶导数解由知

xney=)(2.

求xay=的n阶导数解…

…

…

…

…

…

…

…

…

…例6解…………………小结

1高阶导数的概念；2.高阶导数的求法.第四讲隐函数及参数方程所

确定的函数的导数内容提要1.隐函数的导数；2.由参数方程所确定的函数的导数。教学要求1.熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；2.掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法；3.熟练掌握对数求导法。一、隐函数的求导法1.显函数、隐函数的概念(1)显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式称为显函数.(2)隐函数:若变量y与x之间的函数关系是由某一个方程0),(=yxF所确定,那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的隐函数.也可以确定一个函数,

因为当来表示的这种函数,把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数.如方程0=+-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。2、隐函数求导法隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化,直x接在方程0),(=yxF的两端对求导,由此得到隐函数的导数，若y是由0),(=yxF所确定的函数,将方程两边对x求导,但要把y看成中间变量,应用复合函数求导法则进行求导。例1求由方程222Ryx=+所确定隐函数的导数dxdy解

这里2y可以看作是以y为中间变量的复合函数运用复合函数的求导法则,在方程两边对x

求导,隐函数求导的结果中,可能会含有变量y.它与显函数不同,显函数求导结果中,只含有自变量x注意:例2求由方程0=+-yxeexy所确定隐函数的导数解运用复合函数求导法则,在方程两边对x

求导,得00==xy,可以看作y为中间变量的复合函数,例3求由方程422=++yxyx确定的曲线上点)2,2(-处的切线方程和法线方程，解

方程两边对x求导,于是故曲线上在点)2,2(-处切线的斜率为

22-==¢=yxyk2222-==++-=yxyxyx1=切线的方程为法线的方程为02)1(22=++xyx解yyxarctan)2(+=解练习求由下列方程所确定的隐函数的导数下面介绍对数求导法，它可以用来解决两种类型函数的求导问题。解等式两边取对数得例1（隐函数）例2

已知函数解等式两边取自然对数得求y¢xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。解等式两边取自然对数：等式两边取对数得解练习二、由参数方程所确定的函数的求导法例如,由参数方程)20(sincosp<£îíì==ttRytRx所确定的函数是222Ryx=+,这表明由参数方程可以确定函数.一般地,如果参数方程确定了y是x的函数)(xfy=,则称此函数为由参数方程所确定的函数.下面讨论参数方程的求导法.在参数方程中，则参数方程所确定的即运用复合函数求导法则,如果函数具有二阶导数,由一阶导数和)(txj=还可以组成参数方程再用参数方程的求导方法得二阶导数例1求由参数方程所确定函数的一阶导数和二阶导数解

由参数方程的求导方法,得一阶导数或tdxdycot-=再由一阶导数tdxdycot-=和tRxcos=组成参数方程再用参数方程的求导方法,得二阶导数例2

求摆线îíì-=-=)cos1()sin(tayttax在2p=t处的切线方程和法线方程解

由参数方程的求导方法,得摆线上点当时,处切线斜率为切线方程为法线方程为练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数注意：注意：解当时,处切线斜率切线方程为法线方程为小结一、隐函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法参数方程，注意：第五讲函数的微分内容提要

1.微分的概念；

2.微分运算法则；

3.微分在近似计算中的应用。教学要求

1.理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分与可导之间的关系；

2.熟悉微分的运算法则；

3.会用微分进行近似计算。︷第五节微分及其在近似计算中的应用例1一个金属正方形薄片，当受冷热影响时，如图所示，解首先看一个例子一、微分概念这个由两部分组成第一部分:xxD02是xD的线性函数第二部分:是比xD高阶的无穷小所以当||Dx很小时,仅用第一部分xD的线性函数xxD02作为AD的近似值,即由此,我们引进微分概念可以略去︷定义可以表示与一个比xD高阶的无穷小之和则称函数)(xfy=在点0x处可微,称为记为即【注】(1)函数的微分xAD是xD的线性函数,它与高阶的无穷小（2）当0¹A时,若函数)(xfy=在0x处的改变量（A是常数）xD为线性函数其中是的主要部分,相差一个比xD函数在0x处的微分,所以也称微分是的线性主部.可以用微分dy作改变量yD的近似值,即下面讨论函数)(xf在点0x处可导与可微的关系.一方面,如果函数)(xf在0x点可微,则依定义即)(0xfA¢=（3）当很小时,有上式两端除以这说明:函数)(xf在点0x可微,则函数在点0x必可导.如果)(xf在点0x可导,存在,根据极限与无穷小的关系,按微分的定义,从而是当时反之，这表明:函数)(xf在点可导,则函数在点必可微.则有由此可见,函数)(xf在点0x处可导与可微是等价的.由上面推导可以看出所以函数)(xf在0x处的微分自变量微分所以函数)(xf在0x处微分,又可写成这是函数微分的常见写法.……………………由式可知，若函数)(xf在某区间内每一点都可微,则称)(xf是该区间内的可微函数,记为由此式,可得这表明,函数的导数可以看作函数的微分dy与自变量的微分dx之商,故导数也称微商.例2求函数在处当时的改变量和微分dy的值.解)()(xfxxfy-D+=D)1(1)(22+-+D+=xxx2)(2xxxD+D=所以21.0=)1.0(1.01221.01+××=D=D=xxy而xxD=2xxfdyD¢=)(xxD¢+=)1(2所以2.0=1.0121.01××==D=xxdy下面给出微分的几何意义:函数)(xfy=的图形是一曲线,当自变量x由0x变到xxD+0时,曲线上的对应点),(00yxM变到),(00yyxxPD+D+,从图可知xMND=,yNPD=过点M作切线MT,它的倾角为q,则NTdy=xxfD.¢=)(0即NTdy=于是,函数)(xfy=在点0x处的微分就是曲线)(xfy=在点),(00yxM处的切线MT,当横坐标由0x变到xxD+0时,其对应的纵坐标的改变量.

二、微分的运算法则1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则证明。只对3．复合函数微分法则当u为自变量时,则函数的微分为当u为中间变量时,设)(xuj=则复合函数的微分为所以上式也可写成不论u是自变量还是中间变量的微分的形式总是:这个性质称为一阶微分形式的不变性.(1)

对于函数(2)

对于函数例3求xycos=的微分dy解方法一利用微分的定义dxxxsin21-=方法二利用微分形式的不变性来求,把x看作中间变量u,则例5设bxeyaxsin-=,求dy解应用积的微分法则,得dy)(sinbxdeax-+sinbxdeax-=dxebxbbxaax-+-=)cossin(在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量，在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量，下面我们用这种方法来求函数的微分.例4解例6在括号内填入适当的函数

使下列等式成立（1）)(112ddxx=+（2）)(ddxax=dx)(=（3）xdedx)4(