第十九章二次函数和反比例函数同步练习（含解析）（2024版）

第十九章二次函数和反比例函数

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.对于），=3"-1『+2的性质，下列叙述正确的是（）

A.顶点坐标为（-1，2）B.对称轴为直线x=l

C.当x=l时，V有最大值2D.当时，V随工增大而减小

2.抛物线），=/+2与直线），=米+2的一个交点为（2乃），那么力的值是（）

A.5B.6D.-6

3.直线＞，=公+〃与抛物线y=a-+区+》在同一坐标系里的大致图象正确的是（）

5.如图，抛物线（。/0）的对称轴为直线工=一1给出下列结论：①〃2=4ac；②〃庆、＞0；

③c；（4）4ei-2b+c＞0.其中错误的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.函数y=V-灰+。的图象上有两点4（4，y）,8（孙必），且?<%<占，则（）

A.B.y,=y2

C.y,<y2D.M与％的大小关系不能确定

7.反比例函数y=K的图像与正比例函数y=24勺图像没有交点，若点（Ty）,（1,乃），（2,%）在这

X

个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（）

A.凹>%>见；B.凹>%>必；C.）、>）1>%；D.

8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=W+l先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，

得到的新的抛物线的函数解析式为（）

A.y=（x-3）2-1B.y=（x+3）2+3

C.y=（x+3）2—1D.y=（x-3）2-3

9.若反比例函数），=T的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）

X

A.k<-B.Ic>-C.k>2D.k<2

22

10.已知二次函数y=柢+。（。工（））的图象如图所示，对称轴是直线x=-l,下列结论：①abc

<0；②2a+b=0；@a-b+u>0；@4a-2b+c<0

其中正确的是（）

A.①②B.只有①C.③④D.①④

3

11.点A(百,y)、见孙必)在反比例函数V=-二的图象上，且X<七<0，则)1、H的大小关系是()

A.y2>J,>0B.乃>°C.0>y2>y,D.0>y,>y2

12.如图，已知反比例函数产&(x<0)的图象经过回048C的顶点&点A在x轴上，AC_Lx轴交

x

反比例函数图象于点。，轴于点E,贝IJBE：AD=()

A.1：2B.1：V2C.1：3D.1：73

二、填空题

13.若抛物线)，=/+(〃-2»+3的对称轴是y轴，则加=.

14.行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的

刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间的函数关系式是5=0.0支+0.002/，若该车以lOOkm/h的速度行驶,

则该车的刹车距离为.

15.已知抛物线y=V-/状+8-人，若顶点在x轴上，则b=:若对称轴是),轴，则h=；

若其过原点，则〃=.

16.已知函数y=/F-(/〃+l)x+4是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么的值为.

w-1

17.若反比例函数y=——的图象位于第二、四象限内，贝hn的取值范围是—.

X

三、解答题

2

18.已知)，=/-2笊+^(4<。)，图象顶点为4,与x轴交于4和C,VA4c是等边三角形，求〃的

值.

21.金沙慈米是仙游县著名的土特产，它品质优异，荣获国家地理标志证明商标.某超市销售的金

沙惹米，成本价为每千克22元，超市限定售价不高于每千克34元.销售中平均每天销售量,，（kg）

与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如下表所示：

26283032

170605040

（I）求出y与x之间的函数关系式；

⑵设超市每天销售蕙米的利润为W（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，卬的值达到

最大？最大值是多少？

22.对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：力=4-3且产（力是物体离起点

的高度，匕）是初速度，g是重力系数，取10m/s?,/是抛出后经过的时间）.杂技演员抛球表演时，

以10m/s的初速度把球向上抛出.

（1）1.2秒时球离起点的高度是多少？

⑵几秒后球离起点的高度达到2.55m?

23.已知抛物线），=丁-6与直线y=2交于A,8两点（A在B左）.

图1图2

⑴求A,B两点的坐标及A8的长；

⑵如图1,点广亿2）是直线y=2上6点右侧一动点，过点尸作直线《:y=•仇（仁＞。）与抛物线

有唯一公共点M,

①若"制/=14及，求点P的坐标；

2

②如图2,过点尸作直线小＞=心工+伪交抛物线与。，。两点，且短=一§，点N是C。的中点，当

点，运动时，求证：MN过定点，并求出定点坐标.

24.如图，直线y=QX-2分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中力-PCJLx轴于点C,延长

PC交反比例函数y=&(xVO)的图象于点D,且OD〃AB.

X

(1)求k的值；

(2)连接OP、AD,求证：四边形APOD是菱形.

参考答案:

题号12345678910

答案BBI)CDCBABD

题号1112

答案AA

1.B

【分析】对于y=a（x-4+Na>0）,其顶点坐标为小，k）,对称轴为尤=〃，当时，），随X的增

大而增大，根据性质逐一分析即可.

【详解】解：抛物线y=3（x—1『+2,

所以抛物线的顶点坐标为：（1,2）,对称轴为：x=l,

a=3>0,图象开口向上，当x=l时，V有最小值为2,

当x>l时，丁随犬的增大而增大，

故A,C,D不符合题意；B符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查的是抛物线『=。（》-〃）2+%的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线y=a（x-/7『+A

的性质是解本题的关键.

2.B

【分析】此题考查了二次函数•次函数的交点问题.把（2乃）代入y=f+2即可得到答案.

【详解】解：把（2⑼代入y=』+2得到”=22+2=6,

把（2,6）代入），=依+2得到6=2%+2,解得A=2,

・•・一次函数为y=2x+2,

故选：B

3.D

【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到

一次函数中〃和人的正负情况和二次函数图象中a，A的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符

合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

【详解】解；A、山一次函数的图象可知a>0,Z?>0,山二次函数的性质可知图象a>0,b<0,

故选项不符合题意；

B、由一次函数的图象可知。>0,b>U,由二次函数的性质可知图象。>0,b<0,故选项不符合

题意；

C、由一次函数的图象可知。>0,8>0,由二次函数的性质可知图象b>0,ab>0,而抛

物线对称轴位于y轴右侧，则如<0,故选项不符合题意；

D、由一次函数的图象可知。>0,b>0,由二次函数的性质可知图象。>0,b>0,对称轴位于，轴

左侧，则而>0,故选项符合题意；

故选：D.

4.C

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由攵的取值确定函数

所在的象限.根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答.

【详解】解：A、从一次函数的图象经过二、四象限知&<0与反比例函数的图象&>0相矛盾，错误；

B、从一次函数的图象经过一、三象限知左>0,则-AvO,一次函数过一、三、四象限，错误；

C、从一次函数的图象经过二、四象限知2<0,则d>0,一次函数过一、二、四象限，反比例函数

的图象过二、四象限，正确：

D、从一次函数的图象经过一、三象限知々>0,则-左<(),一次函数过一、三、四象限，错误.

故选：C.

5.D

【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图象的性质判定系数的符号，对称轴，特殊值法代

入计算即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

【详解】解：①•・•抛物线与x轴有2个交点，

:.A=b2—4ac>0,

***b2>4ac，故①错误;

②•・•抛物线开口向上，

a>0,

•・•抛物线的对称轴在)，轴的左的，即工=-3<0,

2a

・・.久。同号，

•・•抛物线与y轴交点在x轴上方，

c>0,

••・a〃c>0,故②正确；

③•••彳=-1时，>,<0,lipa-b+c<0,

•••对称轴为直线］=-3=-1,

2a

:.b=2a,

/.a-2a+c<0,即a>c,故③正确；

④：抛物线的对称轴为直线x=-l,

・・.x=—2和x=0时的函数值相等，

・。=-2时，4^7-2/9+00,故④正确.

综上所述，错误的有①，共I个，

故选：D.

6.C

【分析】根据毛、占与对称轴的大小关系，判断凹、X的大小关系.

2

【详解】解：y=x-bx+cf

「•此函数的对称轴为：x=±=年,

2a2

.g〈内<与，两点都在对称轴的右侧，a=\>0,

对称轴右侧随x的增大而增大，

・•・y<%.

故选：c.

【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数的增减性

解题时，利用对称轴进行求解.

7.B

【分析】先判断出的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可.

【详解】•・•反比例函数y=与的图像与正比例函数y=2.x的图像没有交点，

x

：.k<0,

・•・在二四象限内反比例函数），随x的增大而增大，

V-1<0<1<2,

:.y>x>必.

故选B.

【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的图形与性质，判断出左<0是解答本题的关键.

8.A

【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规

律求函数解析式.根据图象的平移规律，可得答案.

【详解】解：将抛物线y=f+l先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛

物线的函数解析式为y=(x-31+1—2,即y=(x-3)2-l.

故选：A.

9.B

【分析】根据反比例函数的图象和性质，由-2kV0即可解得答案.

【详解】•・•反比例函数)，=上空的图象分布在第二、四象限，

x

Al-2k<0,

解得攵>；,

故选:B.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k

<0时;图象分别位于第二、四象限.②、当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k

V0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.

10.D

【详解】试题分析：•・•抛物线的开口向上，・・・a>0,•.•一4<0,・・・b>0,•.•抛物线与y轴交于负半

2a

轴，...cVO,abc<(),①正询；

•••对称轴为直线x=7,即2a-b=0,②错误；

2a

，尸一1时，y<0,.\a-b+c<0,③错误；

••・x=・2时，y<0,A4a-2b+c<0,④正确；

故选D.

考点：二次函数图象与系数的关系.

11.A

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据X/VX2〈。即可得出结论.

3

【详解】解：•・•反比例函数丁=-；中4-3V0,

••・函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，1y随x的增大而增大.

VX/<X2<0,

・•・人、"都在第二象限，

^•y2>y/>0.

故选：A.

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合

此函数的解析式是解答此题的关键.

12.A

【分析】根据四边形A4CD是平行四边形，得到台。=。4,根据已知条件得到4E〃AC,推出四边形

4C8E是矩形，根据矩形的性质得到得至lj0E=2QA,设B（2x,£）,。（x,&）,于

2xx

是得到结论.

【详解】解：•••四边形/IBCQ是平行四边形，

:.BC=OA,

TAULx轴，BEJ_x轴，

:,BE〃AC,

・•・四边形4C8E是矩形，

：.AE=BC,

：.0E=20A,

设B(2A»—),D(x»—),

2xx

••BE=——,AD=—,

2xx

k

:・BE：4。=孕=5，

i2

故选4.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确

的理解题意是解题的关键.

13.2.

【分析】根据抛物线的对称轴公式即可得出关于机的方程，解方程即得答案.

【详解】解：根据题意，得：-9=（），解得：〃片2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，属于基本题型，熟知抛物线的对称轴是直线大=一二是

解题关键.

14.21m

【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意求工=100时的函数值是解题的关键.

将x=100代入$=0.0支+0.002/求解即可.

【详解】根据题意得，

将x=1(X)代入关系式s=0.0£+0.002.一中，

得5=21.

故答案为：21m.

15.4或・808

【详解】解：若顶点在x轴上，则A=〃-4(8-〃)=0,解得：4=-8,&=4.

若对称轴是y轴，则-丁与=。，解得：〃=o.

2x1

若其过原点，则0=8-匕，解得：b=8.

故答案为4或一8,0.8.

16.-1

【分析】根据二次函数解析式的特征和二次函数的性质，列出关于6的方程即可求得〃?的值

【详解】•・•函数y=(〃-l)x+4是关于x的二次函数，

•"*"/-m=2

解得：m=-\,或〃?=2；

••・顶点在y轴上，

.3=0,

2

解得：tn=-\

rn=~\

故答案为：-1

【点睛】本题考查了二次函数的解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关

键

17.m<1

【详解】试题分析：直接根据反比例函数的性质即可■得出结论.

解：•・•反比例函数y=3的图象位于第二、四象限内，

x

m-1<0,解得m<1.

故答案为mV1.

考点：反比例函数的性质.

18.a=~\f6

【分析】本题主要考查了二次函数与等边三角形综合.熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，等

边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，是解题关键.

22

2（亚、（/、

4,y=x2-2ax+—=0»求出Ba+—-a,0，Ca---a,0,y=x2-2ax+—=（x-a）2--,

"2I2JI222''2

/2\

得到对称轴为直线x=〃，顶点八〃,一亍，根据VAbC是等边三角形，得到上加£>-30。，得到

AD=y/3BD,即可求得“=

【详解】如图，设点8在点C的左侧，抛物线对称轴交工轴于点。.

2

当），=X?一2ar+券=0时，

2a±yf2a'应

x=------------=a±-a.

22

.V2V2

・・%=a+—cbx2=a------a•

/anl

Ca------〃,（）

?

\J

・••抛物线的对称轴为直线X="，顶点坐标为Aa-

*.AD=-tBD=a-a+^-a=-^-a.

2\2/2

•••V4BC是等边三角形，

，zBAC=ar.

ZBAD=-ZBAC=30°.

2

JAD=43BD.

"3恪〕

22

解得4=0（舍去）或〃=

故。=-\/6.

19.（1）见解析

（2）s=2『+3f

⑶滑雪者滑行的时间是3秒

【分析】本题考查了二次函数和•元二次方程的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关

系式是解题的关键.

（1）描点，连线，画出函数图象，

（2）由图象可得出s与，的关系可近似看成二次函数，冉根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数

关系式即可；

（3）把s=27代入（2）中解析式，解方程即可得出结论.

【详解】（I）解：描点，连线，如图所示：

（2）解：观察函数图象，$与，的关系可近似看成二次函数,

设s关于/的函数关系式为s+加（。=0）,

将（1,5）,（2,14）代入s=〃+初#0）,得:a+b=5

4。+26=14

解得：La=Q2.

・••近似表示s关于/的函数关系式为s=2r+3/；

（3）解：把s=27代入s=2产+3/得：

2?+35=27,即⑵+9）（"3）=0,

9

解得:A=3,/2=--（舍去），

.・.滑雪者滑行的时间是3秒.

20.(1)11或15

⑵当商品的销售单价定为13元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，此时最大利润为64()元

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的

方程和函数关系式是解题的关犍.

(1)由题意得，单价利润为。-5)元，销售量为140-10(.・7)=(210-10”件，再根据利润=(售

价一进价)*销告量列出方程求解即可

(2)由题意得，单价利润为。-5)元，销售量为140-10(工-7)=(210-1(%)件，再根据利润=(售

价一进价)x销售量列出利润关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】(I)解：由题意得，(x—5)[140—10(x—7)]=600,

整理得丁-261+165=0,

解得工=11或x=15,

・•・该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，x的值为11或15；

(2)解：设利润为W,

由题意得，W=(x-5)[140-IO(x-7)]

=(x-5)(210-10x)

=-10x2+260x-i050

=70(13)2+640,

V-I0<0,

・••当X=13时，W最大，最大值为640,

・••当商品的销售单价定为13元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，此时最大利润为640元.

21.(1)>'=-5x+200(22<A:<34)

⑵卬=-5(x-31f+405,当x=31时•，卬取得最大值，最大值是405.

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用：

(1)利用待定系数法解答，即可求解：

(2)根据题意，列出w关于工•的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解.

【详解】(I)解：设y与x之间的函数关系式为丁=丘+/4¥0),依题意，得

28女+〃=60

'30八〃=50、

解得：,

6=200'

/.y=-5x+200（22<x<34）；

（2）解：由题意，得

K'=（X-22）（-5X+200）=-5X2-F310X-44（）0=-5（X-31）2+405,

*/22<x<34,

・••当x=31时，w取得最大值，最大值是405.

22.（1）1.2秒时球离起点的高度是4.8m；

（2）0.3秒或1.7秒后球离起点的高度达到2.55m.

【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求

解即可.

（1）把，=1.2代入即可求解；

（2）把〃=2.55代入求f即可.

【详解】（I）解：由题意，将g=l。，%=1。分另IJ代入函数关系式。=匕/-38产，

得力=-5产+10/，

当，=1.2时，代入解得〃=-5x1.22+10x1.2=4.8,

・•・1.2秒时球离起点的高度是4.8m；

⑵解：当2=2.55时,2.55=-5产+10人

解得彳=1.7,,2=03.

故（）.3秒或1.7秒后球离起点的盲度达到2.55m.

23.（l）A（-2>/2,2）,网2&,2）,AB=442

⑵①Pe，2）；②证明见解析，定点坐标为（0；）

2人

【分析】（1）根据题意联立‘'":一，解方程组即可得解；

1尸2

（2）①设点M（乩,%），利用Saw=14忘且S八则=；A&（皿|+2）,得到|刈|=5,继而得到以=-5,

可得M（l,-5）,联立得x2fxf_6=0,根据题意得△=4（—々-6）=0,即

V+4/^+24=0,根据点在直线4：），=心+々（人>0）上，可得&/+△=—5,联立

婷+4R+24=0k.=2

；'c，解得r，可得直线6的解析式），=2工-7,最后根据函数图像上点的坐标特

仁+〃]=一5[h[=-7

征即可得解；

②设。（.%,肾），。（而，如），”（见，％），N（X2N）,联立，;,可得--七％-4一6=0,

%+.%=k、Xc+b,+k、X[）+b,=公+2by,由点N是CD的中点：得N3,9+b,]；联立《"\,

得炉->-4-6=0,根据点M是直线4：y=>+4（4>0）与抛物线唯一公共点，得/+%=、，

即%=斗，则由点P&2）是直线4：），=匕》+4（勺>°）与直线小>=&工+4的交

zI乙Z/

kk

z+〃=J。

221

点，可得"+4=2,k2t+Z?2=2,设直线MN的解析式为y=Ax+。，可得，解得:

与

k=ki+k2-2t_

,bJ，即直线"N的解析式为丁=伏+&-2。1+不当x=0时，y=p即可得解.

."3一

【详解】3）解：•・•抛物线）：=f-6与直线y=2交于A,B两点、（A在B左），

・卜=/-6

**I）Iv一-N9，

・・・A（-2夜,2）,8（2五2）,

・•・48=2夜-12虚）=4也

:.A,8两点的坐标分别为（-2©2）,仅在2）,A3的长为4点;

（2）①如图，设点M（乩，塌），

・.・$.=卜3•（阂+2）,

•••S4.=14及，且在（1）中可知AB=4夜，

•••gx4及x（阂+2）=14夜，

解得：区|=5,

•・•点尸。,2）是直线"2上B点右侧一动点，点”是直线4：）=3+2（匕）与抛物线唯一的公共

点，

***VM<0，%>。，

，）%=-5,

得：y=x2-6=-5,

・•・x=l或一1（负值不符合题意，舍去），

AM（l-5）,

联立"fy=kj.x+b.

得12_4X_q_6=0,

丁点”是直线4：y=4x+4（4>0）与抛物线唯一的公共点,

:.△=（-4）2-4（-/>,-6）=0,即短+他+24=0,

丁点M（L-5）在直线4:丁=毕+4（^>0）上，

:.+4=-5,

联立心之I』,解得4二2

k.+b.=-5、…7，

••・此时直线/,的解析式为y=2x-7,

，当）'=2时，得y=2不一7=2,

解得：户叁9，

②证明：设。（左，先），。（与,％），时（即加），N（4,yJ

•・•过点?作直线4：y=3v+2交抛物线与c,。两点，且《色=-,，

.・/=］+得：.­—0,

y=x'-6

xc+xo=

/.yc+yD=k2xc+b2+k2xD+b2=k2（xc+xD）+2b2=k；+沟，

•・•点N是。的中点，

・A/公心人】

（22J

联立［‘一号?’，得：y-心-4-6=0,

y=x~-6

・・•点”是直线点y=