导数及其应用总结

导数及其应用总结

1、导数的概念

从函数产在X=XO处的瞬时变化率是：

lim—("=Hm包

加TOA.r-AA'

我们称它为函数y=/(x)在工=/出的导数，记作/(.")或y|、气，即

/'(%+&1)-/(工0)

/Vo)=lim

ZLr->0Ax

说明:

i.r(.%)与小的值有关.不同的小,其导数值一般也不相同.

2./'(%)与M勺具体取值无关。

3.3(4)可以不存在。

几何含义：导数就是曲线在点m处切线的斜率。背景：瞬时速度。

3、函数的切线问题

函数在某点的导数其几何意义就是在该点处切线的斜率，这也是高考中的重点和热点。

【典型例题】：

4

(2010辽宁)已知点P在曲线y=——上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范

e+\

围是

(A呜)(B)［^,|)［，争①)咛㈤

4“，-4ex-4eA-4

解析：已知y二-----得Y'=--------=-----------=----------

x2xA

e+\®+l尸e+2e+\+2+—

由于，选D

4、函数的单调性

设函数在某个区间可导，如果尸(x)>0,则为增函数：如果/'(X)<0,则为减函数；如果

fXx)=O,则为常函数。

【典型例题】：

(2010江苏)19、(本小题满分16分)已知a"是实数，函数/(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,

厂(x)和g'。)是/(x),g(x)的导函数，若广(x)g'(x)N。在区间I上恒成立，则称/0)和

g(x)在区间I上单调性一致

(1)设。>0,若函数和g(x)在区间［-1,+8)上单调性一致，求实数b的取值范围:

(2)设avO,且。若函数J(r)和g(x)在以&〃为端点的开区间上单调性一致，求

的最大值。

解析：(1)因为函数/(%)和g(x)在区间[-1,+8)上单调性一致，所以，

VXG[-1,*o)J(x)g(x)之0,即

Vxe[-l,+oo),(3x2+a)(2x+b)>0,,.<a>0,.\VJTG[-l,+coX2x+b>0,

即«>0,VxG[-l,+oo),b>-2x,b>2;

(2)当〃时，因为，函数/(x)和g(x)在区间(b,a)上单调性一致，所以，

Vxe(/?,«),/(-v)^'(x)>0,

Vxe(/?,i?),(3x2+a)(2x+b)>0,b<a<0,Vxe(Z?,a),2x+b<0,

/.Vx€S,a),a<一3x]

设z=a-3考虑点(b,a)的可行域，函数)，=-3/的斜率为1的切线的

切点设为(%,稣)

,111rI

则Hll-6/=1,/=一2,%=一g，••马皿=z=-；

o1212oo

当。<〃<0时，因为，函数/0)和g(x)在区间(a,b)上单调性一致，所以，

Vx£(q力)J(x)g(X)20,

VXG(«,/?),(3x2+a)(2x+b)>0,•/Z?<0,/.VJe(a,b),2x+b<0,

：.V.re(a,b),a<-3x2,

•'•々<一3。2,「.一；<4<0,/.g—Gm”=；；

当4<0<力时，因为，函数/1)和g*)在区间(a,b)上单调性一致，所以，

Vxe(a,b).f(x)g(x)>0.

即Vxw(a,»,(2x+b)(3x2+a)20,而x=0时，(3x2+a)(2x+b)=ab<0,不符合

题意，

当。＜0=力时，由题意:

Vxe(a,0),2x(3x'+a)>0,/.Vxe(a,0),3x2+a<0,.,.3/+a<0,

1八，1

—<civ0,Z?—a<一

33

综上可知，H-同=L

IInvix3

5、函数的极值问题

注意：

（1）极值反映的是在该店附近导数变号：

（2）极值点不是唯一的，函数极值点一定出现在区间内部，区间端点不能成为极值点。

（3）极值点出可能导数不存在。

（4）驻点与极值点区别：

函数的驻点：函数导数为0的点称为函数的驻点；

函数的极值点：是在这点附近这一点所对应的函数值最大或者最小（注意是这个点附近）。

驻点可能是极值点，极值点可能是驻点。

求极值点的步骤：

（I）确定函数的定义域；（2；求导数f'（x）；（3）求方程f'（x）=0的根；（4）用函数的导数

为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查「（X）在方程根左右

的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在

这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个枝处无极值。

【典型例题工

1▲

（2012重庆）设函数,（外在R上可导,其导函数为f\x},I

且函数x）r（x）的图像如题（8）图所示，则下列j.

结论中一定成立的是\\

（A）函数/⑴有极大值/⑵和极小值,⑴\y[\

（B）函数有极大值"-2）和极小值/⑴,8）图

（C）函数/（X）有极大值八2）和极小值八一2）

（D）函数/（X）有极大值/（一2）和极小值/（2）

解析：判断在x=-2附近导数出现变号，为极大值，x=2附近也出现变号为极小值，x=l出未

变号，无极值。

答案：D

(2010课标全国)设函数f(:c)=ex-\-x-ax2.

（1）若a=0,求/"）的单调区间：

（2）若当X20时求。的取值范围

解析：([)。=0时，f(x)=ex-\-x,f\x)=ex-\.

当XW(-8,0)时，/'")<0：当xw(0.+8)时，/'(x)>0.故/。)在(一8,0)单调减少,

在(0,+8)单调增加

(2)f\x)=ex-\-2ax

由(1)知CNl+x,当且仅当x=0时等号成立.故

f\x)>x-2ax=(\-2a)x，

从而当1一加NO,即时，/*(^)>0(^>0),而/(0)=0,

于是当xNO时，/(x)>0.

由/>l+x(xwO)可得e7>l-x(xw0).从而当时，

2

f\x)<ex-\+2a(e-x-1)=e-x(ex-\)(ex-2a),

故当xw(0,ln2a)时，/,(x)<0.而/(0)=0,于是当xw(0,ln2a)时，/(x)<0.

综合得。的取值范围为(f,g］.

6、函数的最值问题

函数在闭区间［a.b］内的最大值和最小值的问题，求解方法：第一步先求出闭区间上的极值(若

存在的话)：第二步判断函数的单调性：第三步比较区间端点的函数值大小，其中极值、区

间端点的函数值中的最大值为最大值，最小值为最小值。此类问题为综合题。

【典型例题工

16.(本小题满分12分)

设f(x)=-g-+T*+2ar.

(1)若/(外在(|,+00)上存在单调递增区间，求。的取值范围；

(2)当0<a<2时，在［1,4］上的最小值为-g,求/(x)在该区间上的最大

值.

।1f9

解：(1)已知/(x)=——X3+—x2+2ax,f(x)=-x2+x+2a,函数/(x)在一,+00

3213

上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分,

+-+2a>0^a>~-

39

(2)已知0va<2,、f(x)在［1，4上取到最小值一号，而/(»=—/+1+2〃的图像开口

向下，且对轴x=1,.,./(!)=-i+l+2a=2a>0,/(4)=-16+4+2a=2a-12<0,

则必有一点与£［14使得/'(%)=0,此时函数/(x)在［1,%］上单调递增，在民,4］单调递

减，/⑴=一！+,+2〃」+2a>0,.•./⑷=-』x64+kl6+8a=-竺+8a<0

326323

s/八4016

/./(4)=--—+8«=--—=>«=1

此时，由/'(与)=W+/+2=。n%=2或-1(舍去)，所以函数/(x)max=/(2)=y

7、利用导数证明不等式一构造函数法

此类问题属于综合题，灵活运动导数研究函数单调性、最值和力线等问题的优势。

属于比较繁琐较难题。

【典型例题】：

已知定义在正实数集上的函数，其中a>0.设两曲线)=#幻，y-㈤有公共点，且在该点处的

切线相同.

(I)用a表示b,并求b的最大值；

(II)求证:f(x)>g(x)(x>0).

本小题主要考查函数，不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：(I)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同。

gf(x)=3^

f\x)=x+2ax,由题意f(x0)=g(x0)f(x0)=g，(x0).

2

—XQ+2axQ=3aInx0+5.

2

n婷婷

X。+2以=---.xQ+2a=

即由X。得：x0=a,或x0=3a(舍去)。

b=-a14-2a2-3a2In«=—a2-3a2lna.

即有22

/A(i)=!?-3?lnZft>0)

则〃'O=2"1_31n2)于是

当t(l-31ni)>0,即°<£V。'时，h〈t)>0;

当t(l-3lnl)V0,即E时，h'(t)<0.

\1

故h⑴在(0道3)为增函数，在(etXQ)为减函数。

于是h⑴在(°，+8)的最大值为

2

(H)设F(x)=f(x)-g(x)=2x2+2ax-3a21nx-b(x>0).

斤'(x)=x+2a--=+(x>0)

则XX。

故F(X)在(o⑶为减函数，在(a+8)为增函数。

于是函数F(x)在(。田)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.

故当x>0时，有f(x)-g(x)>0,即当x>0时，f1x)>g(x).

导数及其应用练习题

Q<e<-

］、设/(无)=/+x(xeR)当2时,了（sin?+/（l-w）＞°恒成立，则实数

加的取值范围是

c(T

A.91）B.(一8,0)D.(一8,1)

2、已知函数丁二/（穴）的大致图象如图所示，则函数＞=/（x）的解析式应（

“、InIxI”、InIx|

A.xB.x

“、2InIx|，/、InIx|

/«=x2--/«=x+—

C.xD.x

f（s_rx3x,*zo,2

3、已知函数/5'=〔4'・严,*＜0,若/（2_«）＞/（«），则实数a的取值范围是

A（一8,一1）。（2,地）B（T2）C（一2,1）

(-03,-2)kJ(1,-KO)

4、

r%+♦+C；*+•••+或

um-------------------------------------------

XT91一4”

2_2

A.1B.2C.4D.0

5、/V/是定义在（0,±8）上的非负可导函数，且满足¥/1底）"仞W0,对任意正数a、仇若a

Vb,则必有

A.af(b)Wbf(a)B.bf(a)Saf(b)

C.af(a)Wf(b)D.bf(b)Wf(a)

$=$+*+3+，+?+品…+J1+11

____+_____

100210/值为

6、

11

10041004

A.曲喘B.101c.100D.

99

1004

100

7、设曲线（力W”）在点（1,1）处的切线与*轴的交点的横坐标为与，则数列{9}

前10项和等于（）

100J_120101

A、ITB、行C.TTD、10

,21

y=lnx-x4------

8、曲线42一7在点彳=1处的切线方程

为（）

A2x+y+l=0B.x+2y-l=0c.2x+3y+3=0D.

3x+2y-3=0

9、已知/（X）=l°gaK。>D的导函数是/'（力，记

力==,（a）,8==（a+l）--，）,C=='3+l）则（）

A.A>B>CB.A>C>BC.B>A>CD.OB>A

10、已知函数/（x）=ln（l+x）-ax的图象在x=l处的切线与直线x+2y-l=°平行.（n

""7（加"）在［2,4］上有两个不相等的实数根，求实数由的

求实数a的值：（H）若方程

取值范围：（III）设常数

尸,1,数列SJ满足4+】=%+ln（。-4）（次N+）,q=lnp求证：一三4.

1k已知函数/(x)=Q+l)Ex_x+l,

<1）若+L求。的取值范围。

(2)证明：(xT)/(x)N0

」、a

奴x）=----

12、已知函数x+1,。为正常数.

_9

（1）若,S）=ln'+9（x）,且2,求函数/（X）的单调增区间:

（2）若g（x）=l必M+网力，上对任意卬々€（0,2］,西工形，都有&一々，求a

的取值范围.

、设x=3是函数/。）=（/+ax+5）e"'（xw&）的一个极值点

(1)求以与力的关系式(用。表示5),并求/(X)的单调区间；

25

⑵设以＞0,冢"3+4)'.若存在M户2w1°，4］使得I/(必)-3区)1＜1成立,

求以的取值范围.

14、已知函数〃x)=ln(x-l)-制x-l)+l,

(1)求函数“X)的单调区间：

(2)若恒成立，试确定实数上的取值范围：

ln2+InS_^ln4ln«n(n-1)

⑶证明：345«+14(MWM旦力＞1)

参老爸有

一、选择题

1、D2、A3、C4、B5、C6、A7、A3、B

选A.解析记J&));VQ+1J(a+1))则

由于5=f(a+1)-/(a)=二"二七1.表示直线LLV的斜率：

(a+l)一0

A=fXa)表示函数/(x)=log二、在点X处的切线斜率.

C=f\a+1)表示函数/(A)=log.卜在点\处的切或斜率.

所以：A>B>C.

9、

二、综合题

/'(x)=----af(1)=I-a由题意知！-a=--a=1

10、【解析】：(I)二+1,222——3

分

(II)由(I)/。)=/(1+.一二;原方程为41n(1+彳)%

43-x

=;——1

设8(力=4111(1+初-勺得1+x1+x,

：.当3WxW4时£(x)<0,当2£xM对,g'(x)>0,g'(3)=0,

g⑺在12,3］上是增函数，在［3,4］上是减函数。

=4In4-3,又g(2)=41n3-2,g(4)=41n5-4.

由于g(2)-g(4)=2嗤<0=g(2)<g(4)..描取值范围是口in5-4,4In4-3)一

——9分

/«=ln(l+x)-x(x>W'(x)=^--1=4/(0)=0,

(III)证明：由X+ll+X

当X〉o时，/3<0,当-l<x<0时，/a)>0J(x)在(0，他)上是减函数，

f(x)在［TO)增函数。/(x)a=0,在(-L+oo)i/(x)MO

J.ln(1+x)<x又p>ant：.p-aH-1>-1

aa

由即+i—a*=M(p_aQ=L(l+p_l_aJ，：^\~K

即乐+1Xp-l,当"之2时，a,,-a*=ln(p-a„)>ln［-1)］=0,即a*.1>a„

当n=l时，a2=al+ln(p-lnp),由In尸=ln(l+3+1))Mp-1

a14

a2>ax+ln(/>+(p-1))=%，结诒成立..对〃e绒,%+1-n------分

11、(1)/⑴的定义域是(Q+8)

//(x)='+1+lnx-1=Inx+—,x/jr(x)=xlnx4-1

XX

：.xff(x)<x2+以x+1QInx-x<a

令g(x)=lnx-xtg\x)=--1

x

当0<x<l,g'(x)>0;当xNLg'(x)<0;,x=1是g(x)的极大值点，g(x)<g(l)=-1

综上，a的取值范围是［-L+oo)

(2)由①知：g(x)<g(-l)=-l,lnx-x+l<0,

0<x<l,/(x)=(x+l)lnx-x+l=xlnx+(lnx-x+1)<0

>l,/(x)=lnx+(xlnx-x+1)=Inx-x(Jn---+1)>0

xx

U-i)/w>o

12、解：⑴•••函数/(X)的定义域为(。的)，

八=八>誓”

xa+i)8+i)，…2分］

91

以=—X<一

v2,令/(x)>0,得X>2,或2,

函数/(x)的单调增区间为(°工)，(2,+<叽.....4分

g(M)-g(A).1g3)-g(Xi)+S

⑵「X)-X、，.二无2一再，

8(8)+勺一出&1)+々］<o

.•・电一再，.....6分

设处x)=g(x)+x,依题意，力⑶在(0，2］上是减函数。

,...aa

八«(x)=lnXH-------+xh\x)=-,+1

当时，x+1x(x+1)2

令"⑺”得「之一+5+1)2"、3"93对回］2恒成立,

11

加(x)=x20+3x+—+3W'(X)=2X+3-F

设x,贝！x

叭x)=2X+3--L>0

•・・1C2,x2

27

在［1,2］上是增函数，则当工=2时，加(工)有最大值为2,

2。10分

%(x)=-lnx+-^-+x-3=」-+1

当0<彳<1时，x+1,五(五Z+1)

(X+1).八22I1

L-/\<A----------+(x+l)=+X---1

令力(rR0U,得：xX

II

/(x)=x024-X---IZ'(x)=2x4-1H■—y>0

设X,则X

...“力在(0,1)上是增函数，./(x)<“D=0,

：.a>0,12分.

、27

a>—

综上所述，2......13,分

13、解：(1)f'6r，=-[/+(a—2)x+力-a]c'f,

由f(3)=0,得一+(a—2)3+0—a]e'T=0,即得b=-3—2a,-----------2分

则f、69=IV+(a—2)x—3—2a—ale‘”“

=—[x2+(a—2)x—3—3a]c~'=—(x—J)(才+a+De~\

令f'(x)=0,得必=3或必=—a—1