高考数学概率专题知识复习训练150题含答案5份

高考数学概率专题知识复习训练150题含答案

一、单选题

1.在区间［-1,1］上任取两个数X、y,则满足X2+y2<1的概率是（）

A—p—QILn—

a.16D-8=4u'2

2.在区间［一1,1］上随机取一个数k,使直线y=k（x4-3）与圆%2+y2=1相交

的概率为（）

A1B1CgD

A-23C，~4~3

3.某地市高三理科学生有I5OOO名，在一次调研测试中，数学成绩自服从正态分布N

（100,/）,已知p（80〈日00）=0.35,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行

分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）

A.5份B.10份C.15份D.20份

4.己知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180,180,90.现采用分层抽

样的方法从中抽取5名学生去某敬老院参加献爱心活动，若再从这5人中抽取2人作为

负责人，则事件“抽取的2名同学来自不同年级”的概率是（）

A-B-C-D-

,5-55-5

5.从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为

（）

A.10B.20C.540D.1080

r］

6.己知函数/（x）=%'">°,则函数y=/［/（x）+1］的零点个数是（）

x2+2x,x<0

A.2B.3C.4D.5

7.现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1份，则不同

的分法共有（）

A.10种B.14和।C,20种D.28种

8.甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必

须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数，若0VpV］

则（)

q?11

A.E(X)=?B.E(X)>会C.D(X)>jD.D(X)<

20

8l

二、填空题

9.已知服从正态分布N(内o2)的随机变量在区间(n-a,四。)，(R-2O,g+2o)和

叶3。)内取值的概率分别为68.26%,95.44%,和99.74%.某正态曲线的密

度函数是偶函数，而且该函数的最大值为

矗,则总体位于区间・4,-2］的概率.

10.一个盒子中装有8个小球，红球有3个，白球有5个，每次从袋子不放回地抽取1

个小球，则在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率

为.

11.设随机变量&〜N(小a2),flP(自<-3)=P«>1)=0.2,则P(-

12.下面给出三个游戏，袋子中分别装有若干只有颜色不同的小球(大小，形状，质量

等均一样)，从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是.

游戏1游戏2游戏3

球数3个黑球和一个白球一个黑球和一个白球2个黑球和2个白球

取法取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球

取出的两个球同色一甲取出的球是黑球一甲取出的两个球同色一>甲

胜利胜胜胜

规则取出的两个球不同色一>取出的球是白球一乙取出的两个球不同色T

乙胜胜乙胜

13.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行,

假设甲、乙是唐朝的两位投壶游成参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为:、g若每

人均投一次，则仅有一人投中的概率为;若每人均投壶3次，则甲比乙多投

中2次的概率为.

14.已知P为△A8C所在平面内一点，且对+而+4m=0,现将一粒黄豆随机撒在

448C内，则黄豆落在△BPC的概率为.

15.某单位举办演讲比赛，最终来自4B,C,。四个部门共12人进入决赛，把

A,B,C,。四个部门进入决赛的人数作为样本数据.已知样本方差为25且样本数据

互不相同，则样本数据中的最大值为.

16.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是_

17.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个

数中随机抽取一个数，则这个数大于8的概率是.

18.若随机变量X〜8(5,p),且％)=竽，则O〔2X)=；＜X＜

5、

2)二---------•

19.已知即做…为数字0，1，2,…，9的一个排列，满足Q[+做++

a6=Q7+。8++Q10，且由V。2＜。3，则这样排列的个数为(用数

字作答).

20.为了普及安全教育,某校组织了一次学牛安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答

一个问题，答对得1分，答错得。分.在竞赛中，甲、乙两班代表队狭路相逢，假设甲队

每人回答问题正确的概率均为,，乙队每人回答问题正确的概率分别为|||,

且两队各人回答问题正确与否互不影响，则乙队总得分为3分的概率是,甲

队总得分为2分且乙队总得分为3分的概率是.

21.某射手射击1次，命中目标的概率为().9,他连续射击4次，且各次射击是否命中

目标相互之间没有影响，有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率为0.93x0.1；

③他至少击中目标1次的概率是1-(O.l)%

④他最后一次才击中目标的概率是C\x0.9x0.13

其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)

22.设小、右、右、x4为互不相等的正实数，随机变量X和丫的分布列如下表，若

记DX,DY分别为X,Y的方差，则DXDY.(填＞，＜,=)

XX1*1右为4

Xi+%2%2+十3无4+%1

Yx3+x4

2222

P111

444

23.从1,2,3,4中任取两个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为2的概率

是.

三、解答题

24.根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如卜.茎叶图:

甲乙

80

463125

368254

389316679

2449

150

(I)根据茎叶图判断哪位i云动员的成绩更好？并说明理由：

(2)求24个得分的中位数m,并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的

列联表:

超过m不超过m

甲

乙

(3)根据(2)中的列联表，能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛

得分有差异？

2

附.<2_九(ad-bc)

•八一(Q+b)(c+d；(a+c)(/?+d)

Pg>0.150.100.05

ko2.0722.7063.841

25.已知数列｛an｝的各项均为正数,Sn是数列｛an｝的前n项和，且4s产an2+2an-列

(1)求数列｛an｝的通项公式:

(2)已知bn=2"，求Tn=aibi+a2b2+…+anbn的值.

26.疫情期间，某社区成立了由网格员、医疗人员、志愿者组成的采样组，上门进行核

酸检测.某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄(单位：岁)进行了

统计调查，将得到的数据进行适当分组后(每组为左闭右开区间)，得到的频率分布直

方图如图所示.

(1)求m的值：

(2)估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的中位数；

(3)估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的平均数(同一组中的数据用该组区

间的中点值作为代表).

27.足球运动是一项在学校广泛开展、深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健

康具有重要的作用.某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A,

R,C三个层次，其中A,B,C三个层次的球员在I次射门测试中踢进球的概率如表所

示,A,B,C三个层次的球员所占比例如图所示.

层次ABC

概率211

324

(1)若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；

(2)若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互

独立，记踢进球的次数为X,求X的分布列及数学期望.

28.已知函数/'(%)=^(x)=elnx.

(1)设函数F(x)=/(%)一g(x)，求F(x)的单调区间;

(2)若存在常数k,m,使得f(x)Nkx+m,对％WR恒成立，且g(x)0Ax+zn,

对％e(0,+8)恒成立，则称直线y=依+?n为函数/O)与gQ)的“分界线”,试问:/。)

与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线''的方程：若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】0.1359

10.【答案】5

11

案

年1-

3.6

2;

14.【答案】1

O

15.【答案】5

16.【答案】*

17.【答案】|

18•【答案】萼；疆

19.【答案】3456

20.【答案畤;1

21.【答案】①③

22.【答案】＞

23.【答案】|

24.【答案】（1）解：乙运动员的成绩更好，理由如下：

（i）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，有4的

叶集中在茎3,4±；甲运动员的得分基本上也是对称的，只有如勺叶集中在茎3,4上.所

以乙运动员的成绩更好.

(ii)由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；甲运动员得分的中位数是27.所

以乙运动员的成绩更好.

(iii)从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，这说明乙运动员的

发挥更稳定.

以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分.

所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异.

25.【答案】(1)解：当n=l时，=S1，解出3二3,

2

又4Sn=an+2an-3①

2

当n>2时4sn-i=an-i+2an-i-3(2)

①-②4an=a/・an-r+2(an-an-1),即a/-an-r-2(an+an-i)=0,

(an+an-l)(an-an-I-2)=0,

an+an-i>0/.a»-an.1=2(n>2),

，数列｛an｝是以3为首项,2为公差的等差数列，・・・an=3+2(n-1)=2n+l

(2)解：Tn=3x2'+5x22+...+(2n+l)・2"③

又2Tn=3x22+5x23+(2n-1)*2n+(2n+l)2㈤④

(4)-③Tn=-3x2-2(22+23++2n)+(2n+l)2n+,-6+8-2*2"■1+(2n+l)・2向=(2n-

1)2+2

26.【答案】(1)解：由图可知，(0.012+771+0.032+0.040)x10=1,解得m=0.016

(2)解：•••(0.016+0.032)x10=0.48<0.5,(0.016+0.032+0.040)x10=0,88>

0.5.

・,•中位数在［80,90)这一组，为80+嘿x10=80.5

估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的中位数为80.5岁

(3)解:由题可知0.16X65+0.32x75+0.4x85+0.12x95=79.8

估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的平均数为79.8岁.

27.【答案】(1)解：从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A,B,C的成

员踢进球的事件分别记为事件A,B,C,

则P(4)=喘=?P(B)=P(C)=、W

因为事件A,B,C为互斥事件，

所以P(AUBUC)=PQ4)+P⑻+P(C)=1+1+^=1

故从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，球员踢进球的概率为4

(2)解：由(1)可知从该社团中随机选择1人进行1次射门测试，球员踢进球的概率

为手每次踢进球与否相互独立，

所以X服从二项分布，即X〜8(5,5，

P(X=0)=C婚产=各P(X=1)=废&)5=%P(X=2)=温==畀

P(X=3)=壅&)5=/P(X=4)=产=晟,P(X=5)=H(#=翌

X的分布列为

X0i2345

1010

p1551

323232323232

故X的数学期望E(X)=5x1=2.5.

28.【答案】(1)解：F(x)=yx2—elnx,则定义域为(0,+oo),F(x)=x

令F'(%)>0，解得%>8，令F'(X)<0，解得0Vx<注，

所以F(x)的单调减区间为(0,«),单调增区间为(返，4-00).

(2)解：假设/(%)与g(T)存在“分界线”,

/(%)>kx+6整理得-/ex-TH>0,则/=k2+2m<0①，

g(x)<kx+m整理得elnx-kx-m<0,

设九(x)=elnx-kx-m,则九Q)=

当kWO时，，(x)>0,h(x)单调递增且存在大于0的值，不符合要求;

当〃>0时，令九(%)>0解得。VxV令八(%)<0解得%>1，

所以h(x)在(0,£)单调递增，怎,+8)单调递减，

.m.m..

^Mn.ux—k•无一m=—eink—m

在工出K取得最大值，=eln-^-f

所以-elnk—m<0②，

^①十②得：^k2-e\nk<0,

设£(k)=i/c2—eln/c»ill(1)得£(k)>t(Ve)=0,

所以为2—e]nk=0,k=泥，代入①②得加=一5，

所以/'(%)与g(x)存在“分界线”，“分界线”的方程为：y=«x_*

乙

高考数学概率专题知识复习训练150题含答案

一、单选题

1.某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则

取出的球恰好是白球的概率为()

A.之B./0，《5

2.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离

不大于1的概率为()

A—R—Q—n—

A.16D.gL,42

3.概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、

乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金48枚

金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了

1局.问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率

”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是

A.甲48枚，乙48枚B.甲64枚，乙32枚

C.甲72枚，乙24枚D.甲8()枚，乙16枚

4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古

代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠

算，，一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”

北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一

部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百

位......上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）是1,即五粒下

珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2

粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数

能够被3整除的概率是1）

梁7・上珠

档T

框工

下珠

a

-ib-Ic,id,\

5.已知某超市为顾客提哄四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有

银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后,

恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种

A.19B.7C.26D.12

6.已知QW[-8,4],则命题3%0>0,xg+ax0+1<0为假命题的概率（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

7.4名运动员参加4*100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不

能跑第四棒，则不同的出场顺序有（）

A.12种B.14种C.16种D.24种

8.利用计算机在区间（0,1）上产生两个随机数a和b,则方程％=-2。-x9有实根的

概率为

A.1B.jC.1D.1

2363

二、填空题

9.在区间[吾，刍上随机取一个数x,则cosx的值在（0,今之间的概率为;

10.气象台统计，6月1日泰州市下雨的概率为2,刮风的概率为哀，既刮风又

下雨的概率为存，设4为下雨，B为刮风，则P(8|4)=.

11.若随机变量X〜N(3,cr2),且户(X>5)=0.2,则P(1WXW5)等于

alla12a13

12.三行三列的方阵(Q21a22a23)中有9个数旬(i=1,2,3；j=l,2,3),从中任取

Q31a32a33

三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是.(结果用分数表示)

13.甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2,甲、乙下和棋的概率为0.5,则乙获

胜的概率为

14.在区间［1,5］和［2,4］分别各取一个数，记为m和n,则方程=1表示焦

点在x轴上的椭圆的概率是

15.五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=,这五个数的标准差是

16.体育馆内装篮球的箱子中有4个新篮球和2个用过的旧篮球，三名运动员各自从箱

子中随机拿一个篮球进行投篮训练，结束后三个篮球放回箱子中，此时箱子中用过的旧

篮球个数X是一个随机变量，贝”(X=4)=；随机变量X的数学期望

17.某射击运动员每次击中目标的概率为0.8,现采用随机模拟的方法估计某运动员射

击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出。到9之间取整数值的随机数，指定0』

表示没有击中目标，2,345,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次

的结果，经随机模拟产生/20组随机数：

7527029371409857034743738636694714174698

0371623326168045601136619597742476104281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为

18.设随机变量X满足正态分布X〜N(-1,。2),若p(-3wxW-1)=0.4,则P(-3<x<l)

19.三名志愿者被分配到4个单位参加“关于二胎”的问卷调研，若一个单位有2个人去

调研，另一个单位有1个人去调研，则不同的分配方法有种.

20.高二某位同学参加物理、政治科目的学考，己知这位同学在物理、政治科目考试中

得A的概率分别为:、这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1

个A的概率为.

21.小明在微信中给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额度，每份至少1分）,

若这三个红包被甲、乙、丙三人抢到，则甲抢到5分钱的概率为.

22.1886年5月I日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时工作制而举行

大罢工，经过艰苦的流血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7

月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动

节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人

至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是.

23.设正方形ABCD的中心为0,在以五个点A、B、C、D、O为顶点的三角形中任

意取出两个，则它们面积相等的概率为

三、解答题

24.某校学生会对本校各学生社团活动开展情况进行调查，用分层抽样方法从数理社，

文学社，足球社三个社团学生中，抽取若干人组成调查小组，有关数据如表格（单位:人）

社团名称社团人数抽取人数

数理社12X

文学社36y

足球社484

（1）求x,y的值;

（2）若从数理社，文学社两个学生社团所抽取的人中选2人作交流发言，求这2人

都来自文学社的概率。

25.“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍“，所以斯诺克台球有

时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为

人们喜欢的运动之，现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流

开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙卅球，第三局中开球……），没有平局已知

在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为上在乙的“开球局”，甲获得该局比赛

胜利的概率为；并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.

（1）求甲以3：1赢得比赛的概率；

（2）设比赛的总局数为求E（f）.

26.某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米

收费，超出W立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民,

获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（1）如果W为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为

4元/立方米，w至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市

居民该月的人均水费.

27.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100

分，成绩均为不低干40分的整数）分成六段:［40,50）.［50,60）,…，［90,100］后

得到如图的频率分

布直方图.

（1）求图中实数a的值：

（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不

低于60分的人数.

<3）若从样本中数学成绩在［40,50）与［90,100］两个分数段内的学生中随机选取2

名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率.

频率

a.……-n

0.025-------------------------

0.02（..................I

0.01--------------------------------

0.005-ip

040W70SO90

28.某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有k（kEN\kN2）份样

本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验,

将k份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份样本均为阴性,

若检验结果为阳性，为了确定k份样本的阳性样本，则对k份本再逐一检验.逐份检验

和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且k份样本混合检验一次需要额外收20元

的材料费和服务费.假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且

据统计每份样本是阴性的概率为p(0<p<1).

参考数据：ln2=0.7,ln3=1.1,In?=1.9,仇10=2.3,bill=2.4

(1)若k(kEN*,kN2)份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X,求X

分布列及数学期望；

(2)①若k=5,p〉而布，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二

的合理性；

1

②若p=京，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】1

10.【答案】|

11.【答案】0.6

12.【答案】聂

13.【答案】0.3

14.【答案】;

15.【答案】5；V2

16.【答案】|；4

17.【答案】0.75

18.【答案】0.8

19.【答案】36

6

7

21.【答案】焉

22.【答案】|

23.【答案】1

24.【答案】（1）解：x=l,y=3o

（2）解：设数理社抽取的人记为甲，文学社抽取的人记为乙，丙，丁。从中选2人,

可能的结果为甲乙，甲丙，中丁，乙丙，乙丁，丙丁共6种。其中这2人都来自文学社

的结果为乙丙，乙丁，丙丁共3种

由古典概型公式知：这2人都来自B文学社的概率为P=拗=*

oZ

25.【答案】(1)解：设事件甲在第i局比赛获胜为4,i=l,2,3,4,5,由已知可得

尸(4)=¥P(A2)==g'P(A4)=\P&)=.

事件甲以3：1赢得比赛，则前3局中甲扁得了2局且第4局甲获胜，

所以事件甲以3.1赢得比赛可表示为Ai/lz/Ad+4遇24344+

11>A\A2^^A^fA4243A4互>卜，A1,A2>43'A4r45相互独”,

所以P(苒4公4+4茁①4+4送2灰44)=P(五4人3力4)+P(A不力344)+

P(442花4)

=P(A^)P(A2)P(A3)P(A4)+P(&)p(五)P(小)P(，44)+P(AI)P(A2)P(图)P(4)

2111,1111,11215

□Z5Z5Z5Z5Z5Z3b

所以甲以3：1服得比赛的概率为受

(2)解：f的可能取值为3,4,5,

设甲获胜的概率为P],乙获胜的概率为P2，

1111

匕6=3)=//予=顼

2122

XX

---一

P2(f=3)=33夕

-

1225

-=+

-倡

3)-

189

2111111111215

---X-X-X-+-X-X-X-+-X-X-X-=

4)323232323232

36

n,乙，、1121212121112

P2G=4)=3X2X3X2+3X2X3X2+3X2X3X2=9;

%=4)=15+12暑13

rioio

则P(f=5)=1—P(f=3)—P(f=4)=1—亮一获二釜,

GFrI'In/o513仁1349

所以)=3x诟+1y4lx%+5x^=讨

26.【答案】(1)解：由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的

频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15•

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民

占45%.依题意，w至少定为3

(2)解：由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率

分布表：

组

12345678

号

分

[2,4|(4,6](6,8](8,10](10,12](12,17|(17,22](22,27]

组

频

0.10.150.20.250.150.050.050.05

率

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为:

4x0.1+6x0.15+8X0.2+10X0.25+12x0.154-17x0.05+22x0.05+27x

0.05=10.5(元).

27.【答案】解：(1)由频率分布直方图，得：

0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=l,

解得a=0.03.

(2)数学成绩不低于60分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,

・••数学成绩不低于60分的人数为：

1000x0.85=850(人).

(3)数学成绩在［40,50)的学生为40x0.05=2(人)数学成绩在［90,100］的学生人数

为40x0.1=4(人)，

设数学成绩在［40,50)的学生为A,B,数学成绩在［90,100］的学生为a,b,c,d,

从样本中数学成绩在［40,50)与［90,100］两个分数段内的学生中随机选取2名学生，

基本事件有：{AB},{Aa},{Ab|,(Ac),{Ad},{Ba},{Bb),(Be),{Bd),{ab},{ac),

{ad),{be),

(bd),{c,d},

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于1()的情况有：

{Aa},{Ab},{Ac},{Ad},{Ba},{Bb},{Be},{Bd},共8种,

・••这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率为

JLD

28.【答案】(1)解：X的可能值为I和k+1,

p(X=1)=pk,P(X=k+1)=1-p",

所以随机变量X的分布列为：

X1k+1

pp"l-pk

所以E(X)=1Xpk+(k+1)X[1-口与=k+1-kpk.

(2)解：①设方案二总费用为丫，方案一总费用为z,则y=i6x+20,

所以方案二总费用的数学期望为：E(y)=16E(X)+20=16[k+1-kpk]+20,

又A=5,所以E(Y)=16[6-5P5]+20=-80p5+116,

又方案一的总费用为Z=5x16=80,

所以Z-E(Y)=80-(-80p5+116)=80P$一36,

当时.0.45<p5<i,0<80p5-36,

所以Z>E(Y),所以该单位选择方案二合理.

②由①方案二总费用的数学期望E(y)=16E(X)+20=16[k+1-kpk]+20,

当P=表时'E(y)=16%+1-4-20=16(k+^-kef,

又方案一的总费用为Z=16匕

令E(y)<Z得：I6(k+*一ke4)vl6k，

9

所以ke$>i

4

9k9

>--->o

即仇(Ae-7)znT7zn4

设/(x)=》工一，一)W：xE[2,+oo),

所以/(%)=]-4=燮，[2,+8),

令/(为>0得2<%<7,/(%)<0得x>7,

所以/'(X)在区间［2,7)上单调递增，在区间(7,+8)上单调递减,

fMmax-f(7)=ln7-1-2(Zn3-ln2)=0.1>0,/'(8)=3ln2--2(/n3-/n2)=

5ln2-2ln3-y=1.3>0,f(9)=2仇3—卞一2(加3—m2)=2ln2-^=1.4-^>

in1011

0,9(10)=也10-岩一2(仇3-也2)=1.5-号>0,/(II)二》11一号一2(也3-

11I?12

仇2)=2.6-书>0,f(12)=lnl2若-2(仇3-也2)=4"2一m3-芳=1.7-

芋<0,

所以上的最大值为11.

高考数学概率专题知识复习训练150题含答案

一、单选题

1.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概

率是（）

A1R1「999n1

999100010002

2.某旅游景点安装有索道厢式缆车，在里面既安全又能欣赏美景.从早上八点开始，该

景点缆车每五分钟发一个轿厢，小张和小李都在上午九点到九点半之间随机搭乘缆车h

山，则小张和小李乘同一个轿厢上山的概率为（）.

A1R1C】D1

A426C.gD.通

3.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个

点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）

A】RQ3Q4

A-75757575

4.甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为i,乙译出密码的概率为i,

45

则密码被译出的概率是〔）

A-2055♦前

5.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱

的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，

谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美

女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙

不扮演杨贵妃的概率为）

咨券斗H贵配饼酒内睡浣纱昭H出事

A./B.召C.AD.1

6.一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了

解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为10的样本，每个管理

人员被抽到的概率为（）

A,白B.4C.iD./

7.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与

甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为pjPz，P3,且P3>P2>P1>0・记该棋手连胜两

盘的概率为P，则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

8.如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆

均与另一个大圆外切.已知R=^2,r=2-V2时，在两相交大圆的区域内随机取一点,

则该点取自两大圆公共部分的概率为（)

A4-TCR7i—2「IT-2D乃一1

3i+2而3^+23^+2

9.班级举行知识竞猜闯关活动，设置了4B,C三个问题.答题者可自行决定答三题

顺序.甲有60%的可能答对问题480%的可.能答对问题8,50%的可能答对问题C.记

答题者连续答对两题的概率为P，要使得p最大，他应该先回答()

A.问题AB.问题8

C.问题4B和C都可以D.问题C

10.已知f6N(0,82)且P(—2<f<0)=0.4,则P(6>2)等于()

A.0.1B.0.2C,0.3D.0.4

二、填空题

11.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一

个小干1的概率是

12.有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%,第二台加工的次品

率为4%,加工出来的零，‘牛混放在一起，已知第一、二台车床加工的零件数分别占总数的

40%,60%,从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是.

13.若随机变量自服从正态分布N(1,o2),且P(&V2)=0.8,则P(0V&V1)的值

为.

14.设随机变量4只可能取5,6,7,…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，

贝IJP(登9)=；P(6<^<14)=.

15.甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,则乙获胜

的概率为，甲不输的概率为.

16.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥

之，自钱孔人，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是

直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油,则油(油

滴的大小忽略不计)正好落人孔中的概率是.

17.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2x2x3的长方体框架，一个

建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概

率为.

18.已知随机变量&〜B(n,p),若,0(f)=号，则n=,p=

19.参加某项活动的六名人员排成一排合影留念，其中一人为领导人，则甲乙两人均在

领导人的同侧的概率为.

20.若正态变量自服从正态分布N(|i,a2),则「在区间(|i・o,v+o),p+2a),

“l3o,R+3G)内取值的概率分别是0.6826,0.9544,0.9973.己知某大型企业为10000

名员工定制工作服，设员工的身高(单位：cm)服从正态分布N(172,52),则适宜身

高在177〜182cm范围内员工穿的服装大约要定制套.(用数字作答)

21.从51,1,1,1这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和小于*的概率

为.

22.天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2,乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内

两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为.

23.在一-次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生

表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X〜外几，p),记取=

。岳气1一口)5"，忆=0,1，2,…，九.在研究P”的最大值时，小组同学发现：若(n+l)p

为正整数，则k=5+i)p时，Pk=Pk-i，此时这两J页概率均为