福建龙岩市高级中学等学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建龙岩市高级中学等学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B2.已知，为相互垂直的单位向量，则（）A.2 B. C. D.4【答案】C3.已知中，，则（）A. B. C. D.【答案】D4.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（）A. B. C. D.【答案】C5.如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（

）A. B. C.2 D.【答案】D6.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D7.在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D8.任何一个复数z＝a＋b（其中a、b∈R，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）A.当时，B.C.D.在复平面内对应的点的坐标在第三象限【答案】AC二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）9.已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）=i2020，则下列说法错误的是（）A.复数z的模为 B.复数z的共轭复数为C.复数z的虚部为 D.复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABC10.已知向量，则下列结论正确的是（）A.B.与同向的单位向量为C.在上的投影向量为D.若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AB11.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（

）A.圆锥SO的高为8m B.圆锥SO的侧面积为C.圆锥SO的体积为 D.圆锥SO外接球的表面积为【答案】ABD三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）12.已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．【答案】413.在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________．【答案】14.如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________．【答案】415.已知复数是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以.又因为是实数，所以，所以.所以.（2）因为，所以.又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得，即实数的取值范围是.16.平面内给定三个向量．（1）求满足的实数m，n；（2）若，求实数k；（3）设满足，且，求．解：（1）∵,∴.∴解得（2）∵,∴.解得.（3）∵,,∴解得或∴或.17.如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等．（1）求圆柱的底面半径；（2）求三棱柱的体积．解：（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.由题意：.即圆柱的底面半径为3.（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，所以，又三棱柱的高为6，所以.18.已知在中，为中点，，，.（1）若，求；（2）设和的夹角为，若，求证：；（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.（1）解：因为，则，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.（2）证明：因为为的中点，则，由平面向量数量积的定义可得，所以，，又因为、均为非零向量，故，即.（3）解：因为点在线段上的一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，，解得，此时，点为线段的中点.19.在中，内角所对的边分别为，已知（1）求角；（2）若为边上一点(不包含端点)，且满足，(i)若，求的长；(ii)求的取值范围.解：（1）∵，由正弦定理可得，