甘肃省2026届高三第一次模拟考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省2026届高三第一次模拟考试试题本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A2.复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A4.根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C5.由数字，可以组成多少个不同的四位数（）A.24 B.12 C.10 D.6【答案】B6.直线与直线夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A7.已知，则的值为（）A. B. C. D.或【答案】D8.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.若，则的最小值为【答案】BD10.甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有（）A.甲袋中一次取出两个球，两球均为红球B.乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球C.两袋中各取一个球，取出的球中有红球D.先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球【答案】BC11.如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（）A.B.圆锥与球的交线的轨迹长为C.若，则D.平面截球的截面面积的最小值为【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一组数的平均数为2，则这组数的方差为__________.【答案】##13.椭圆的离心率为，双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则的取值范围为__________.【答案】14.如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________.【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，中，角的对边分别为.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】解：（1）因为，所以，又因为，所以，化简得，即，解得.（2）因为，所以在的延长线上，如图，故，所以.因为，所以，解得，所以的取值范围为.16.如图（1），正方形的边长为分别是边的中点，将，分别沿折起，使得三点重合于点得到图（2）.（1）证明：；（2）三棱锥的外接球的球心为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】解：（1）因为在原图中，，故折叠完得，，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为两两垂直，所以可将该三棱锥补形为如图所示的长方体，假设该长方体的一条体对角线为，则球心为对角线的中点，如图所示，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，即x1-y1令，则，所以；设平面的法向量为，则，即x2-y2令，则，所以，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角的余弦值为.17.甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为.（1）求的值；（2）求的值.【答案】解：（1）第一轮操作，甲要抽到乙的“欢”字卡片，且同时乙要抽到甲的“喜”字卡片，甲手中才能有2张“欢”字卡片，由独立事件的概率乘法公式，可得，同理；第二轮操作中，若第一轮结束后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第二轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0；若第一轮结束后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，则甲有2张“欢”字卡片的概率为，故，同理可得.（2）由对称性可知，而只有在次操作后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片时，甲才有的概率在第次有2张“欢”字卡片，若在次操作后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0，所以当时，，化简得，则可构造为，所以是一个以为首项，以为公比的等比数列，可得，所以，所以.18.如图所示，焦点在轴上的椭圆的顶点分别为，且椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上任意一点作四边形的内切圆的两条切线，切点分别为，当切线斜率存在时，记切线斜率分别为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）若切线与椭圆的另一个交点分别为，求的最小值.【答案】解：（1）因为，所以，即，可设椭圆的方程为，又因为椭圆过点，代入椭圆的方程得：，解得，所以椭圆的方程为：.（2）是定值.理由如下：根据对称性，易知四边形的内切圆的圆心为因为直线的方程为，所以圆的半径，设椭圆上任一点，则，当圆的切线斜率存在时，可设过点的圆的切线方程为，即，所以圆的半径，两边平方化简得：因为切线的斜率分别为，所以是方程的两个不同的根，故.（3）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，因为直线为圆的切线，所以，化简得，联立方程，消去得：，显然恒成立，为上式的两个不同的根，且，，可得，同理可证.所以三点共线，故弦恒过点，所以当与或重合时，.②当直线或直线的斜率不存在时，易得，综上可知，.19.已知函数.（1）若曲线在处的切线平行于轴，求的值；（2）当时，求函数在内的极大值点和极小值点的个数；（3）证明：对任意，曲线上存在四个不同的点共圆.【答案】解：（1）由，得，当时，，因为曲线在处的切线平行于轴，所以，解得.（2）由得，得，令则，①当时，，则，所以在上单调递减，因为，则使当时；时，则在单调递增，在单调递减，所以为的极大值点；②当时，，则，所以在上单调递减，当时，，则，所以在上单调递增，又，所以为的极小值点；③当时，，则，所以在上单调递减，因为，所以使当时；时，则在单调递增，在单调递减，所以为的极大值点；所以曲线在的极大值点有2个，极小值点有1个.（3）因为在中，，，所以，即曲线的图象关于对称，法一：假设上存在不同两点，其关于的对称点为，则四边形为等腰梯形