河北省沧州市八校2026届高三数学下学期二模试题含解析

2026届河北省沧州市八校联考高三二模

数学试题

一、单选题

1．已知集合Axx24，Bx|xx23，则AB（）

A．x2x1B．x1x2C．x2x3D．x2x3

2．若复数zaii2aR为纯虚数，则a（）

1

A．–2B．2C．D．1

22

3．某数字档案馆为推进古籍数字化，引进了一套基于图像处理的扫描仪，专门用于扫描古籍页面.该扫描

仪配备了实时数据采集系统，能够自动记录每次扫描的页面数量与扫描时间.为了建立扫描页面数量与时间

之间的预测模型并优化扫描仪参数设置，技术员进行了5次扫描，收集数据如下表所示：

扫描页面数量x

100200300400500

扫描时间y/min815243038

由上表数据求得y关于x的经验回归方程为yˆ0.075xaˆ，据此估计扫描1000页古籍所需时间为（）

A．70.5minB．72.5minC．73.5minD．75.5min

4．已知函数fxx2x1，则曲线yf(x)在点1,f1处的切线在y轴上的截距为（）

A．ln2B．ln22C．1ln2D．ln2

S

10

5．已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7a40,an的前n项和为Tn，则（）

T10

5910

A．38B．C．D．

91617

6．某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安

排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（）

A．36B．72C．90D．144

x2y2

7．在平面直角坐标系xOy中，F，A分别为椭圆C:1ab0的右焦点和下顶点，B是x轴上一

a2b2

点，且OFBF，过点B且与AF平行的直线l与C有唯一公共点，则l的斜率为（）

23

A．2B．3C．D．

22

8．已知fx的定义域为R，fx的图象关于点1,2对称，gxfx23x，且gx的图象关于点1,0

对称，则g19（）

A．99B．78C．66D．52

二、多选题

m

9．已知函数fxxn在区间0,1上有两个不同的零点，则（）

x

1

A．0m1B．mn1C．2mnD．m1

n

π

10．将函数fxsin2x0π的图象向左平移个单位长度后得到函数gxcos2x2的图

4

象，则下列说法正确的是（）

π

A．直线x是曲线yfx的一条对称轴

6

5π

B．点,0是曲线ygx的一个对称中心

12

π

C．若fx和gx在0,上的单调性相同，则的最大值为

6

D．fxgx的最大值为62

2

11．如图，圆台OO的高为13，上底面圆O的半径为1，下底面圆O的半径为3，P是圆O上一点，ABC

是圆O的内接正三角形，则下列说法正确的是（）

A．PA的最小值为22

π

B．直线PA与平面ABC所成角的最小值为

3

C．圆台OO的外接球的表面积为16π

D．PA2PB2PC2为定值

三、填空题

12．已知向量a2,x，b1,1，若bab，则x________

x2y23

13．已知双曲线:1ab0的左、右焦点分别为F1,F2，点A在E的右支上，若cosF1AF2，

a2b25

且直线AF1与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为_______.

2

14．设a0，函数.fxxalnx的极小值为0，则a的取值范围是_______.

四、解答题

15．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，BCCD,PBBC.

(1)证明:平面PAB平面PBC；

(2)若PAPB2,ABBC2,CD4,求平面PBD与平面ABCD所成二面角的正弦值.

16．已知在ABC中，sinBsinCcos2B1，D是BC边上一点，AD是BAC的平分线，且ADAC．

(1)求cosBAC；

BE

(2)设AEAD(01)，当λ为何值时，取得最大值?

CE

11

17．在平面直角坐标系xOy中，点P到直线y的距离的平方比点P到点O的距离的平方大，记动点P

22

的轨迹为.

(1)求的方程.

(2)已知A1,A2,A3为上不同的三点.

（i）若线段A1A2的中点坐标为1,3，求A1OA2的面积;

2

29

（ii）若直线A1A2和直线A1A3均与圆C:xy1相切，证明：直线A2A3与圆C相切.

4

18．已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.

现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1

个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.

(1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望.

(2)记n次操作后游戏终止的概率为Pn.

(i)求Pn关于n的表达式;

(ii)求Pn的最大值.

19．已知函数fxxeaxbxelnxa0,b0．

(1)若a1，be，求fx的最小值；

(2)若alnb，当x1时fx0，求a的取值范围；

参考答案

1．C

【详解】由x24，得x2或x2，则Axx2或x2，

由xx23即x1x30，得1x3，则B{x1x3}，

所以ABx2x3.

2．C

【详解】因为zaii2ai2ai22i2a1a2i，且复数z为纯虚数，

a201

所以a.

2a102

3．D

11

解：x100200300400500300，y81524303823，

55

aˆ230.0753000.5，则yˆ0.075x0.5，

x1000时，yˆ0.07510000.575.5，

故此估计扫描1000页古籍所需时间为75.5min．

4．D

【详解】由fxx2x1，得fx12x1x2x1ln22x11xln2，

所以f1201ln21ln2，又f11201，

曲线在1,1处的切线方程为y11ln2x1，

令x0得y轴上的截距为ln2．

5．B

【详解】设等差数列{an}的公差为d，则d0，

因S7a47a121da13d8(a13d)0，则得a13d，

则ana1(n1)d(n4)d，因d0，

则当n3时，an0，当n4时，an0，当n5时，an0.

于是，S1010a145d15d，

T10|a1||a2||a10|(a1a2a3)0a5a6a10，

因a1a2a33d2dd6d，a5a6a10d2d3d4d5d6d21d，

S1015d5

则T10(6d)021d27d，故.

T1027d9

6．B

【详解】5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1，

C2C2C1103

5313

所以215，又因为A36，

A22

所以总方案数15690，

2

若A、B安排在同一天：共C33分组方式，

3

又因为三个组分配到3天，共A36种排列，

因此A、B同天的方案数3618，

所以901872，即不同的安排方案种数为72.

7．A

【详解】由题意知F(c,0)，A(0,b)，B(2c,0)，

bb

直线l的斜率k，所以直线l的方程为y(x2c)，

cc

b

y(x2c)

c1124

得()xx30，

x2y2a2c2c

1

a2b2

1611

因为直线l与C有唯一公共点，所以12()0，

c2a2c2

整理得a23c2，又因为a2b2c2，所以b22c2，

b

所以l的斜率为k2

c

8．A

【详解】因为f(x)关于(1,2)对称，所以f(1x)f(1x)4，

用x1替换x可得fx2fx4①，

因为g(x)关于(1,0)对称，所以g1xg1x0，

又g(x)f(x2)3x，用x1替换x可得g1xfx13x3，

用1x替换x可得g1xfx133x，

两式相加可得f(x1)f(x1)6，

用x1替换x可得fx2fx6②，

由①-②可得fx2fx210，

用x2替换x可得fx4fx10

因为g(19)f(192)319f(17)57，

在f(1x)f(1x)4中令x0，得2f14，故f12，

f17f1310f91010f51020f11030f141042，

因此g(19)425799.

9．ACD

【详解】当m0时，函数fx在区间0,1上单调递增，因此此时函数fx不可能有两个零点，不符合题

意；

当m0时，函数fx在区间0,m上单调递减，在区间m,上单调递增，

当m1时，函数fx在区间0,1上单调递减，因此此时函数fx不可能有两个零点，不符合题意；

当0m1时，函数fx在区间0,m上单调递减，在区间m,1上单调递增，

m

所以此时fxminfmmn2mn，f11mn，

m

m

要想函数fxxn在区间0,1上有两个不同的零点，

x

fx02mn0

只需min，

f101mn0

显然选项A正确；

由1mn0mn1，选项B不正确；

1

因为，所以，

0m1m2mmm2m2m

因为2mn0，

所以2m2mn，因此选项C正确；

由2mn02mnn0，

11

由1mn01mnmn1mn1，

nn

111

因为n12n11，当且仅当n时取等号，即当n1时取等号，

nnn

1

所以m1，因此选项D正确.

n

10．BC

ππ

【详解】将函数fxsin2x0π的图象向左平移个单位长度后得到，gxsin2x，

42

π

由题意sin2xcos2xcos2x2，

2

所以2x2x22kπ或2x2x22kπ，kZ，

2kπ

所以kZ，或4x2kπ（不恒成立，舍去），

3

2π

又0π，所以k1,，

3

2π4π2π

所以fxsin2x，gxcos2xcos2x，

333

ππ2π3

由fsin21，

6632

π

则直线x不是曲线yfx的一条对称轴，A错；

6

5π5π2π3π

因为gcos2cos0，

121232

5π

所以点,0是曲线y=g(x)的一个对称中心，B对；

12

2π2π2π

由x0,，则2x,2，

333

2π3π2π3π5π

要使fx在0,上单调，由正弦函数在,上单调递减，可知2，所以，

323212

2π

若fx和gx在0,上的单调性相同，由余弦函数在,π上单调递减，

3

2πππ

可知2π，所以，则的最大值为，C对；

366

2π2π

因为fxsin2x，gxcos2x，

33

2π2π5π

所以fxgxsin2xcos2x2sin2x，其最大值为2，D错.

3312

11．ACD

【详解】以点O为坐标原点，OA、OO、BC的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间

直角坐标系，

3333

则点A3,0,0、B,,0、C,,0、O0,0,13，

2222

设点Pcos,sin,13，

22

对于A选项，PAcos3sin21382323cos

822，

当且仅当cos1时，等号成立，即PA的最小值为22，A对；

对于B选项，APcos3,sin,13，易知平面ABC的一个法向量为m0,0,1，

APm131362

cosAP,m，

APm82323cos224

5πππππππ26

且sinsinsincoscossin，

126464644

625π5π

故cosAP,msin，故直线PA与平面ABC所成角的最小值为，B错；

41212

对于C选项，设球心为E0,0,a，

2

根据EAEP可得3a2cos2sin213a，解得a1，

故该圆台的外接球半径为REA3a22，

故圆台OO的外接球的表面积为4πR24π416π，C对；

22

对于D选项，PA2PB2PC2cos3sin213

2222

332332

cossin13cossin13

2222

2463，D对.

12．4

【详解】因为向量a2,x，b1,1，则ab3,x1，

因为bab，则bab3x1x40，解得x4.

13．13

2

4

【分析】利用焦点到渐近线的距离为b构造直角三角形，得到sinF1AF2，再结合正弦定理、双曲线定义

5

和余弦定理建立a和c的关系，即可求得离心率.

b

【详解】由题意可得F(c,0)，如图，不妨设点A在第一象限，AF与E的渐近线yx交于点B，

11a

b

因为直线AF与E的渐近线yx垂直，

1a

bbc

所以点F1到直线yx的距离为F1Bb，

aa2b2

a

在RtOBF中，因为OFc，所以OBa，所以sinAFF.

1112c

34

由cosFAF，得sinFAF，

125125

2cAF2

F1F2AF2

在△AF1F2中，由正弦定理可得，即4a，

sinFAFsinAFF

12125c

5a

故AF，

22

9a

由双曲线的定义可得：AFAF2a，故AF，

1212

222

所以由余弦定理可得：F1F2AF1AF22AF1AF2cosF1AF2，

29a25a29a5a3c13

即4c()()2，得13a24c2，所以e.

22225a2

14．0a1

【详解】因为fx的极小值为0，令fx0，则xa或x1，

故xa或x1为fx的极小值点.

若a1，即x1为fx的极小值点.

2(x1)lnxlnxxlnx2x2

由题设f(x)(lnx)2，

xx

令g(x)xlnx2x2，x0，则g(x)lnx3，

当x(0,e3)时，g(x)0，当x(e3,)时，g(x)0，

故g(x)在(0,e3)上递减，(e3,)上递增，

而e31且g(1)0，故x(e3,1)时g(x)0，x(1,)时g(x)0，

而x(e3,1)时，lnx0，x(1,)时lnx0，

故x(e3,1)时，fx0，x(1,)时fx0，

此时x1不是fx的极小值点，与题设矛盾；

若a1,

若xa为fx的极小值点，故fa0，

2(xa)lnxlnxxlnx2x2a

由题设f(x)(lnx)2，

xx

因lna0，故必有alna2a2a0，故alna0即a1，与a1矛盾；

若x1为fx的极小值点，

lnxxlnx2x2a

因为f(x)，且0x1时，lnx0，x1时lnx0，

x

故vxxlnx2x2a在x1的附近总有vx0，

由局部保号性可得v122a0即0a1.

综上，0a1.

15．(1)证明见解析

(2)30

6

【详解】（1）因底面ABCD是梯形，AB//CD，BCCD，则BCAB，

又BCPB，PBABB,PB,AB平面PAB，则BC平面PAB，

又BC平面PBC，故平面PAB平面PBC.

（2）取AB的中点为O，连接PO，因PAPB，则POAB，

由（1）得BC平面PAB，PO平面PAB，则BCPO，

又ABBCB,AB,BC平面ABCD，则PO平面ABCD.

过点O作BC的平行线，交CD于点E，则OEAB，即PO,AB,OE两两垂直，

故可以OA,OE,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

因PAPB2,ABBC2,CD4，由PA2PB2AB2，可得PAPB，

1

则POAB1，P(0,0,1),B(1,0,0),D(3,2,0).

2

设平面PBD的法向量为m(x,y,z)，

因PB(1,0,1),PD(3,2,1)，

PBmxz0

则，故可取m(1,2,1)，

PDm3x2yz0

因PO平面ABCD，故平面ABCD的法向量可取为n(0,0,1)，

mn16

则cosm,n，

mn66

30

设平面PBD与平面ABCD所成二面角的平面角为，则sin1cos2m,n，

6

30

即平面PBD与平面ABCD所成二面角的正弦值为.

6

1

16．(1)

8

(2)22

【详解】（1）sinBsinCcos2B1，sinBsinC1cos2B2sin2B，

B0,π，sinB0，则sinC2sinB，

设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则由正弦定理得c2b，

BAC

又AD是BAC的平分线，CADBAD，

2

又S△ACDS△ABDS△ABC，ADACb，

1BAC1BAC1

bADsincADsinbcsinBAC，

22222

BACBACBACBAC

即bbsin2bbsinb2b2sincos，

2222

BACBACBAC

即3b2sin4b2sincos，

222

BACBAC3

sin0,b0，解得cos，

224

BAC1

cosBAC2cos21

28

（2）如图，

AEAD，AEb，

2222BAC232

在△ACE中，由余弦定理得CEbb2bbcos1b，

22

2222BAC22

在ABE中，由余弦定理得BE4bb4bbcos34b，

2

BE223432

1

22

23，

CE1232

2

令2t，则t1,2，2t，

BE23t33322122

1111

CE22t25t4224257，

2t54t5

tt

当且仅当t2，即22时取等，

BE

所以当22时，取得最大值．

CE

1

17．(1)yx2；

4

(2)（i）7；（ii）证明见解析.

2

【详解】（1）设动点P的坐标为x,y，

11

由已知点P到y的距离的平方比到原点O的距离平方大，

22

2

1221

所以yxy

22

1

化简可得yx2，

4

1

所以的方程为yx2，

4

（2）（i）设A1x1,y1,A2x2,y2，

11

因为A,A都在上，故yx2,yx2，

12114224

所以y1y2x1x2x1x2，

yy

12

所以直线A1A2​的斜率kx1x2，

x1x2

因为A1A2​中点为(1,3)，所以x1x2212，

所以k2，直线A1A2的方程为y32(x1)，即y2x1，

联立直线与抛物线方程：

y2x1

3

2，

21x2x0

yx4

4

2323

方程x2x0的判别式24170

44

3

由韦达定理得xx2,xx，

12124

所以∣∣2

x1x2(x1x2)4x1x2437

117

所以A1OA2的面积S∣b∣∣xx∣17(b1是直线在y轴截距)；

A1OA221222

21

（ii）设Aixi,xi,i1,2,3，

4

1

所以直线A1A2的方程为x1x2xyx1x20，

4

2929

圆C:x(y)1的圆心为C0,，半径r1，

44

因为A1A2​与圆C相切，故圆心到直线距离等于1，

91

0xx2xx

4412121

所以1，即2，

2x1x21

x1x21

22

所以2x1x2x1x21，

22

同理2x1x3x1x31，

22

所以x2，x3​是一元二次方程(x1t2)(x1t)1的两个根，

222

故x2，x3​是方程x11t2x1t3x10，

22222242

方程x11t2x1t3x10的判别式4x14x113x14x112x1120

2xx23

由韦达定理得xx1，xx1，

232232

1x11x1

(xx2)2

223

对直线A2A3，同理得圆心到A2A3的距离平方为d2，

(x2x3)1

x23x21(x21)2

1121

又x2x32222，故(x2x32)22

1x1x11(x11)

2

2x(x21)2

211，

(x2x3)12122

1x1(x11)

2

所以d1，即d=1=r，故直线A2A3与圆C相切.

18．(1)X的分布列为

X012

2149

P

252525

32

X的数学期望EX

25

142374

(2)(i)P()n()n；(ii)

n2535625

【详解】（1）由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，

212

且P(X0)，

5525

243214

P(X1)，

555525

339

P(X2)，

5525

所以X的分布列为

X012

2149

P

252525

214932

X的数学期望E(X)012.

25252525

212

（2）（i）由题意知：P0,P，

125525

当n3时，第n次操作后游戏终止分两种情形：

3

①第1次摸出的是黑球，则还需n1次摸球游戏才能终止，则PP；

n5n1

②第1次摸出的是红球，则剩下n1次摸球中，最后1次摸出红球，中间n2次摸出的都是黑球，则

24124

P()n2()n2，

n555255

324

所以PP()n2，

n5n1255

14314

即当n3时，P()n[P()n1].

n255n125

14214314

又因为P()1,P()2[P