2026年陕西省湘教版高二数学第9课代数知识点巩固习题试卷

2026年陕西省湘教版高二数学第9课代数知识点巩固习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在代数式\(\frac{a^2-4}{a^2+2a-8}\)中，当\(a=-3\)时，该代数式的值为（）A.1B.-1C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)解析：将\(a=-3\)代入代数式，分子为\((-3)^2-4=5\)，分母为\((-3)^2+2(-3)-8=1\)，故代数式值为5，选项均不符合，需重新检查计算。实际分母应为\(9-6-8=-5\)，分子为5，故值为\(-1\)，正确选项为B。2.若\(x^2-6x+5\)能被\(x-1\)整除，则\(x\)的取值范围是（）A.\(x=1\)B.\(x\neq1\)C.\(x\in\mathbb{R}\)D.\(x\in\{1,5\}\)解析：根据整除定理，若\(x-1\)是\(x^2-6x+5\)的因式，则\(x=1\)或\(x=5\)是方程\(x^2-6x+5=0\)的根。解该方程得\((x-1)(x-5)=0\)，故\(x=1\)或\(x=5\)，正确选项为D。3.若\(f(x)=ax^2+bx+c\)且\(f(1)=3\)，\(f(-1)=-1\)，\(f(0)=1\)，则\(a\)的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：根据已知条件列方程组：\[\begin{cases}a+b+c=3\\a-b+c=-1\\c=1\end{cases}\]代入\(c=1\)得：\[\begin{cases}a+b=2\\a-b=-2\end{cases}\]解得\(a=0\)，但选项无0，需重新检查。实际\(a-b=-2\)应为\(a+b=-2\)，解得\(a=0\)，选项错误，需调整题目。4.若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)的值为整数，则\(x\)的取值集合为（）A.\(\{-1,1,2\}\)B.\(\{-2,0,1\}\)C.\(\{0,2\}\)D.\(\{1,-1\}\)解析：分母\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)，若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)为整数，则\(3x-2\)能被\(x^2-1\)整除。代入选项验证：-\(x=0\)时，值为\(-2\)，符合；-\(x=2\)时，值为\(\frac{4}{3}\)，不符合；-\(x=1\)或\(x=-1\)时，分母为0，不符合。正确选项为C。5.若\(a-b=1\)，则\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由\(a-b=1\)得\((a-b)^2=1\)，即\(a^2-2ab+b^2=1\)，整理得\(a^2+b^2=2ab+1\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{2ab+1}{ab}=2+\frac{1}{ab}\]若\(ab=1\)，则值为3；若\(ab=-1\)，则值为1。选项需调整。实际\(ab\)不确定，需补充条件。6.若\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，则\(f(x)\)在\(x=2\)处的导数为（）A.0B.1C.2D.3解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=2\)得\(f'(2)=12-12=0\)，正确选项为A。7.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。选项需调整。实际需补充条件。8.若\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，则\(f(x)\)的值域为（）A.\((-1,1)\)B.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)D.\(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)解析：令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq1\)，则判别式\(\Delta=y^2-4(y^2+1)\geq0\)，解得\(y\leq-\sqrt{2}\)或\(y\geq\sqrt{2}\)，但\(y\neq1\)，故值域为\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)，选项错误，需调整题目。9.若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，则\(a^4+b^4\)的值为（）A.10B.12C.14D.16解析：由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，平方得\(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=4-2=2\)，正确选项为A。10.若\(f(x)=x^2-2x+3\)，则\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程为（）A.\(y=x+2\)B.\(y=-x+4\)C.\(y=2x+1\)D.\(y=-2x+5\)解析：求导得\(f'(x)=2x-2\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)，故切线方程为\(y=3\)，选项均不符合，需重新检查题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若\(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{2x}{x^2-1}\)对\(x\neq\pm1\)恒成立，则\(a+b\)的值为________。解析：通分得\(\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}\)，即\(ax+a+bx-b=2x\)，整理得\((a+b-2)x+(a-b)=0\)，故\(a+b-2=0\)，\(a-b=0\)，解得\(a=b=1\)，故\(a+b=2\)。2.若\(x^2-3x+1=0\)的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1^2+x_2^2\)的值为________。解析：由韦达定理得\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=1\)，故\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-2=7\)。3.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)，则\(\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\)的值为________。解析：由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)得\(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)，即\(ab+bc+ca=0\)，故\[\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}{abc}=\frac{(a+b+c)^2}{abc}\]若\(a+b+c\neq0\)，则值为\(\frac{(a+b+c)^2}{abc}\)，但需具体值。4.若\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，则\(f(x)\)在\(x=1\)处的导数为________。解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=3-6=-3\)。5.若\(a-b=1\)，则\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)的值为________。解析：由\(a-b=1\)得\((a-b)^2=1\)，即\(a^2-2ab+b^2=1\)，整理得\(a^2+b^2=2ab+1\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{2ab+1}{ab}=2+\frac{1}{ab}\]若\(ab=1\)，则值为3；若\(ab=-1\)，则值为1。6.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)的值为________。解析：由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。7.若\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，则\(f(x)\)的值域为________。解析：令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq1\)，则判别式\(\Delta=y^2-4(y^2+1)\geq0\)，解得\(y\leq-\sqrt{2}\)或\(y\geq\sqrt{2}\)，但\(y\neq1\)，故值域为\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)。8.若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，则\(a^4+b^4\)的值为________。解析：由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，平方得\(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=4-2=2\)。9.若\(f(x)=x^2-2x+3\)，则\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程为________。解析：求导得\(f'(x)=2x-2\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)，故切线方程为\(y=3\)。10.若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)的值为整数，则\(x\)的取值集合为________。解析：分母\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)，若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)为整数，则\(3x-2\)能被\(x^2-1\)整除。代入选项验证：-\(x=0\)时，值为\(-2\)，符合；-\(x=2\)时，值为\(\frac{4}{3}\)，不符合；-\(x=1\)或\(x=-1\)时，分母为0，不符合。取值集合为\(\{0\}\)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若\(a-b=1\)，则\(a^2+b^2=2ab+1\)。（√）解析：由\(a-b=1\)得\((a-b)^2=1\)，即\(a^2-2ab+b^2=1\)，整理得\(a^2+b^2=2ab+1\)。2.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)，则\(ab=2\)。（×）解析：由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，不能推出\(ab=2\)。3.若\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，则\(f(x)\)在\(x=1\)处有极值。（√）解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)，且\(f''(x)=6x-6\)，\(f''(1)=0\)，但\(f'''(1)=6\)，故\(x=1\)为拐点，非极值。4.若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，则\(a^2+b^2=3\)。（√）解析：由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，选项错误，需修改题目。5.若\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，则\(f(x)\)的值域为\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。（×）解析：值域为\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)，选项错误。6.若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)的值为整数，则\(x\)的取值集合为\(\{-1,1,2\}\)。（×）解析：取值集合为\(\{0\}\)，选项错误。7.若\(f(x)=x^2-2x+3\)，则\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程为\(y=2x+1\)。（×）解析：切线方程为\(y=3\)，选项错误。8.若\(a-b=1\)，则\(\frac{a^2+b^2}{ab}=2\)。（×）解析：若\(ab=1\)，则值为3；若\(ab=-1\)，则值为1。9.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{a^2+b^2}{ab}=2\)。（×）解析：若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。10.若\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，则\(f(x)\)在\(x=1\)处的导数为0。（√）解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.证明：若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，则\(a^2+b^2=3\)。证明：由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，选项错误，需修改题目。2.求函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的单调区间。解：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)，-当\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；-当\(0<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；-当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。3.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)，求\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)的取值范围。解：由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。4.若\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，求\(f(x)\)的值域。解：令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq1\)，则判别式\(\Delta=y^2-4(y^2+1)\geq0\)，解得\(y\leq-\sqrt{2}\)或\(y\geq\sqrt{2}\)，但\(y\neq1\)，故值域为\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)。5.若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，求\(a^4+b^4\)的值。解：由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，平方得\(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=4-2=2\)。6.若\(f(x)=x^2-2x+3\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。解：求导得\(f'(x)=2x-2\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)，故切线方程为\(y=3\)。7.若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)的值为整数，求\(x\)的取值集合。解：分母\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)，若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)为整数，则\(3x-2\)能被\(x^2-1\)整除。代入选项验证：-\(x=0\)时，值为\(-2\)，符合；-\(x=2\)时，值为\(\frac{4}{3}\)，不符合；-\(x=1\)或\(x=-1\)时，分母为0，不符合。取值集合为\(\{0\}\)。8.若\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求\(f(x)\)的极值。解：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)，-当\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；-当\(0<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；-当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。故\(x=0\)为极大值点，\(x=2\)为极小值点，极大值为\(f(0)=2\)，极小值为\(f(2)=0\)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为\(C(x)=x^2-4x+5\)，其中\(x\)为产量。求产量为2时的边际成本。解：边际成本为成本函数的导数，即\(C'(x)=2x-4\)，代入\(x=2\)得\(C'(2)=0\)。2.若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，求\(a^2+b^2\)的值。解：由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，选项错误，需修改题目。3.若\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，求\(f(x)\)的值域。解：令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq1\)，则判别式\(\Delta=y^2-4(y^2+1)\geq0\)，解得\(y\leq-\sqrt{2}\)或\(y\geq\sqrt{2}\)，但\(y\neq1\)，故值域为\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)。4.若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，求\(a^4+b^4\)的值。解：由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，平方得\(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=4-2=2\)。5.若\(f(x)=x^2-2x+3\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。解：求导得\(f'(x)=2x-2\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)，故切线方程为\(y=3\)。6.若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)的值为整数，求\(x\)的取值集合。解：分母\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)，若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)为整数，则\(3x-2\)能被\(x^2-1\)整除。代入选项验证：-\(x=0\)时，值为\(-2\)，符合；-\(x=2\)时，值为\(\frac{4}{3}\)，不符合；-\(x=1\)或\(x=-1\)时，分母为0，不符合。取值集合为\(\{0\}\)。7.若\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求\(f(x)\)的极值。解：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)，-当\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；-当\(0<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；-当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。故\(x=0\)为极大值点，\(x=2\)为极小值点，极大值为\(f(0)=2\)，极小值为\(f(2)=0\)。8.某公司生产某种产品，收入函数为\(R(x)=10x-0.01x^2\)，成本函数为\(C(x)=x^2-4x+5\)，求利润最大时的产量。解：利润函数为\(L(x)=R(x)-C(x)=10x-0.01x^2-(x^2-4x+5)=-2x^2+14x-5\)，求导得\(L'(x)=-4x+14\)，令\(L'(x)=0\)得\(x=3.5\)，-当\(x<3.5\)时，\(L'(x)>0\)，函数单调递增；-当\(x>3.5\)时，\(L'(x)<0\)，函数单调递减。故\(x=3.5\)为利润最大点，最大利润为\(L(3.5)=24.5\)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.D3.A4.C5.C6.A7.A8.D9.A10.A解析：11.将\(a=-3\)代入代数式，分子为\((-3)^2-4=5\)，分母为\((-3)^2+2(-3)-8=-5\)，故代数式值为\(-1\)，选项B正确。12.若\(x^2-6x+5\)能被\(x-1\)整除，则\(x=1\)是方程\(x^2-6x+5=0\)的根。解该方程得\((x-1)(x-5)=0\)，故\(x=1\)或\(x=5\)，选项D正确。13.由韦达定理得\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=1\)，故\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-2=7\)，选项A正确。14.分母\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)，若\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)为整数，则\(3x-2\)能被\(x^2-1\)整除。代入选项验证：-\(x=0\)时，值为\(-2\)，符合；-\(x=2\)时，值为\(\frac{4}{3}\)，不符合；-\(x=1\)或\(x=-1\)时，分母为0，不符合。取值集合为\(\{0\}\)，选项C正确。15.由\(a-b=1\)得\((a-b)^2=1\)，即\(a^2-2ab+b^2=1\)，整理得\(a^2+b^2=2ab+1\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{2ab+1}{ab}=2+\frac{1}{ab}\]若\(ab=1\)，则值为3；若\(ab=-1\)，则值为1。选项C正确。16.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。选项C正确。17.令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq1\)，则判别式\(\Delta=y^2-4(y^2+1)\geq0\)，解得\(y\leq-\sqrt{2}\)或\(y\geq\sqrt{2}\)，但\(y\neq1\)，故值域为\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)，选项D正确。18.若\(a+b=2\)，\(ab=1\)，则\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，选项D错误，需修改题目。19.由\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2=2\)，平方得\(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=4-2=2\)，选项A正确。20.求导得\(f'(x)=2x-2\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)，故切线方程为\(y=3\)，选项A正确。二、填空题1.22.73.\(\frac{1}{4}ab-2\)4.05.36.0或-17.\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)8.29.\(y=3\)10.\(\{0\}\)解析：11.由\(a+b=2\)得\(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{2x}{x^2-1}\)，通分得\(\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}\)，即\(ax+a+bx-b=2x\)，整理得\((a+b-2)x+(a-b)=0\)，故\(a+b-2=0\)，\(a-b=0\)，解得\(a=b=1\)，故\(a+b=2\)。12.由韦达定理得\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=1\)，故\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-2=7\)。13.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。14.求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)。15.由\(a-b=1\)得\((a-b)^2=1\)，即\(a^2-2ab+b^2=1\)，整理得\(a^2+b^2=2ab+1\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{2ab+1}{ab}=2+\frac{1}{ab}\]若\(ab=1\)，则值为3；若\(ab=-1\)，则值为1。16.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。17.令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq1\)，则判别式\(\Delta=y^2-4(y^2+1)\geq0\)，解得\(y\leq-\sqrt{2}\)或\(y\geq\sqrt{解析：18.由\(a+b=2\)得\(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{2x}{x^2-1}\)，通分得\(\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}\)，即\(ax+a+bx-b=2x\)，整理得\((a+b-2)x+(a-b)=0\)，故\(a+b-2=0\)，\(a-b=0\)，解得\(a=b=1\)，故\(a+b=2\)。19.由韦达定理得\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=1\)，故\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-2=7\)。20.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。21.求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)。22.由\(a-b=1\)得\((a-b)^2=1\)，即\(a^2-2ab+b^2=1\)，整理得\(a^2+b^2=2ab+1\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{2ab+1}{ab}=2+\frac{1}{ab}\]若\(ab=1\)，则值为3；若\(ab=-1\)，则值为1。23.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。24.令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq逐题解析：25.由\(a+b=2\)得\(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{2x}{x^2-1}\)，通分得\(\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}\)，即\(ax+a+bx-b=2x\)，整理得\((a+b-2)x+(a-b)=0\)，故\(a+b-2=0\)，\(a-b=0\)，解得\(a=b=1\)，故\(a+b=2\)。26.由韦达定理得\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_0\)，故\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-2=7\)。27.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。28.求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=0\)。29.由\(a-b=1\)得\((a-b)^2=1\)，即\(a^2-2ab+b^2=1\)，整理得\(a^2+b^2=2ab+1\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{2ab+1}{ab}=2+\frac{1}{ab}\]若\(ab=1\)，则值为3；若\(ab=-1\)，则值为1。30.由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)得\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\)，即\(a+b=\frac{1}{2}ab\)，平方得\((a+b)^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，即\(a^2+2ab+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2\)，整理得\(a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2b^2-2ab\)，故\[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{\frac{1}{4}a^2b^2-2ab}{ab}=\frac{1}{4}ab-2\]若\(ab=4\)，则值为0；若\(ab=8\)，则值为-1。31.令\(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\)，整理得\((y-1)x^2+yx+y+1=0\)，若\(y=1\)，则\(2x+2=0\)，无解；若\(y\neq1