陕西咸阳民盟中学2025−2026学年第二学期期末质量检测高一数学试题（含答案）

陕西咸阳民盟中学2025−2026学年第二学期期末质量检测高一数学一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．为了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级中抽取100人进行各项指标测试.已知高一年级有640人，高二年级有660人，高三年级有700人，则从高三年级抽取的人数为（

）A．32 B．33 C．35 D．403．若是的重心，且（为实数），则（

）A． B． C．1 D．4．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（

）A．4 B．5 C．6 D．75．已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（

）A． B． C． D．6．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（

）A．至少有名女生 B．至少两名男生C．至多一名女生 D．全是男生7．在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（

）A．若，则B．，则为等腰三角形C．若，，，则符合条件的三角形有两个D．若的面积为，则8．已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（）A． B． C． D．二、多选题9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，且，则D．若，则10．已知向量，，则（

）A．若，则B．若，则C．的最大值为D．若，则11．某次数学考试的一道多项选择题，要求是“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，则下列表述正确的有（

）A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是三、填空题12．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．13．已知，则向量在向量上的投影向量是__________.14．已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________．四、解答题15．如图，在中，，，，分别为边，上的点，且，.（1）求；（2）求.16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角；（2）若，求边长和的面积.17．某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值；（2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数；（3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．18．如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．19．甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件.（1）求事件“甲只回答2道题且通过”的概率；（2）求事件和事件同时发生的概率；（3）求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.

参考答案1．【答案】B【详解】2．【答案】C【详解】根据分层抽样的性质可知：从高三年级抽取的人数为.故选C.3．【答案】B【详解】如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点，则，代入整理得，因点在上，故得，则.故选B4．【答案】B【详解】因的平均数为1，方差为2，则，于是数据的平均数为，又，则，于是数据的方差为：.5．【答案】D【详解】由题意，上底面面积

S上=2×12×2×2×sin60∘=23故选D.6．【答案】D【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误；B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误；C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件，，C选项错误；D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念，又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确；故选D.7．【答案】B【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，故A正确；对于B，因为，所以或，由于,所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，因为，故三角形有两个，故C正确；对于D，因为，又因为，所以，所以，又因为，所以，故D正确.8．【答案】D【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则，解得，设圆锥的母线长为，高为，则，，即，解得或（舍去），，设圆锥表面积为，则．9．【答案】BD【详解】对于A，若，则或直线与直线互为异面直线，故A错误；选项B，若，根据线面垂直的性质与线面平行的性质可得，故B正确，选项C，若，且，则或平面与平面相交，故C错误；选项D，若，根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理可得，故D正确.10．【答案】AD【详解】因为，，所以，，对于A选项，若，则，所以，故A正确；对于B选项，若，则，所以，又，解得或，故B错误；对于C选项，，其中，当时，取得最大值，故C错误；对于D选项，若，则，即，所以，所以，故D正确.11．【答案】ABC【详解】甲同学仅随机选一个选项，包含的样本点为A，B，C，D，事件“能得2分”包含的样本点为C，D，故“能得2分”的概率为，A正确；乙同学仅随机选两个选项，包含的样本点为，事件“能得5分”包含的样本点为CD，故“能得5分”的概率为，B正确；丙同学随机至少选择一个选项，选择一项或选择两项共包含10个样本点，选择三项或全选，包含的样本点为，事件“能得分”包含的样本点为C，D，CD，故“能得分”的概率为，C正确；丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知，样本点共有11个，事件“能得分”包含的样本点为CD，故“能得分”的概率为，D错误．故选ABC．12．【答案】【详解】连接、，在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，则，所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角，易知，故是等边三角形，则，因为为的中点，所以平分，故，所以异面直线与所成角的余弦值为.13．【答案】【详解】根据投影向量公式可得，向量在向量上的投影向量为.14．【答案】【详解】由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接，由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以，由三角形面积公式，.15．【答案】（1）0（2）【详解】（1）因为,所以，又因为所以，因为所以，所以（2）由题意可得,,,所以16．【答案】（1）（2），面积【详解】（1）已知，由余弦定理得：，所以，化简可得：．又，故．（2），由正弦定理，代入；所以．因为，所以．17．【答案】（1）（2）（3）15.3125【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得．（2）由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为，则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为．（3）因为，所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内．设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则，解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125．18．【答案】（1）证明：，F是BC，PB的中点．．又平面，平面，平面．（2）证明：平面ABCD，平面ABCD，．，平面PAB，平面PAB，平面PAB，，，F是PB中点，，，EB、平面PBC，平面PBC，平面PBC，；（3）．【详解】（1）略；（2）略；（3）三棱锥的体积等于三棱锥的体积，平面ABCD，ABCD是矩形，，，三棱锥的体积为．19．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通