华师大版初三数学上全册教案

22.1.二次根式(1)

教学内容：二次根式的概念与其运用

教学目标：1.理解二次根式的概念，并利用(a>0)的意义解答具体题目.

2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键：L重点：形如(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用“3>0)”解决具体问题.

教学过程：一、回顾

当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.

当a是负数时，没有意义.

二、概括：(a>0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，(a>0)是一

个非负数，它的平方等于a.即有：(1)>0(a>0);(2)=a

(a>0).

形如(a>0)的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式中，字母a必须满足a>0,即被开方数必须是非

负数.

三、例题讲解

例题：x是怎样的实数时，二次根式有意义？

分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数.

解：被开方数x-l>0,即x>L

所以，当x>l时，二次根式有意义.

思考：等于什么?

我们不妨取a的一些值，如2,・2,3,-3,……分别计算对应的a2的值,

看看有什么规律：

概括：当a>0时，；当avO时，.

这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运

用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的.例如：

=2x（x>0）;

四、练习：X取什么实数时，下列各式有意义.

（］）；（2）J3x-2；（3）yj（x~^2.（4）J3x-4+44-3x

五、拓展

例：当x是多少时，+在实数范围内有意义？

分析:要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的>0和中的x+1

W0.

解：依题意，得

由①得：x>-

由②得:xW-1

当x>-且XW-1时，+在实数范围内有意义.

例：⑴已知y=++5,求的值.（答案⑵

⑵若+=0,求a2004+b2004的值.（答案：）

六、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：

1.形如（a>0）的式子叫做二次根式，""称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

七、布置作业：教材P4:1.2

八、反思与感想:

22.1二次根式(2)

教学内容：L(a>0)是一个非负数；2.()2=a(a>0).

教学目标：1.理解(a>0)是非负数和()2=a(a>0),并利用它们进行

计算和化简.

2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推

出(a>0)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出()2=a

(a>0);最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键：1.重点：(9>0)是一个非负数；()2=a(分>0)与其

运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出(a>0)是一个非负数；•用探究的

方法导出()2=a(a>0).

教学过程：一、复习引入(学生活动)口答

1.什么叫二次根式?

2.当a>0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？

二、探究新知

议一议：(学生分组讨论，提问解答)

(a>0)是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

(a,。)是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

(4)2=;(3)2=;(内)2=；(有)2=；

()2=;()2=;()2=.

老师点评：①、是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，

②、是一个平方等于4的非负数，因此有()2=4.

同理可得：()2=2,()2=9,()2=3,()2=,()2=,

()2=0,所以：()2=a(a>0)

三、例题讲解

例1计算：1.()2,2.(3)2,3.()2,4.()

2

分析：我们可以直接利用()(分>0)的结论解题.

解：1.()=....2.(3).=32・()2=32-5=45,

3.()2=,4.()2=.

四、巩固练习

计算下列各式的值:

(M)2(昌2(—)2(To)2(4g)2(3后_(5后

V34V8

五、应用拓展

例2计算

1.()2(x>0),2.()2,3.()2,4.()2

分析：(1)因为x>0,所以x+l>0;

(2)a2>0;

(3)a2+2a+l=(a+1)>0;

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4题都可以运用()2=a(a>0)的重要结论解题.

解：(1)因为x>0,所以x+l>0,()2=x+l

(2),/a2>0,/.()2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,又•「(a+1)2>0,

.*.a2+2a+l>0,=a2+2a+l

(4)v4x2-12x+9=(2x)2—2・2x・3+32=(2x-3)2,又「(2x-3)

2>0

.,.4x2-12x+9>0,()2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)x2-3(2)x4-4⑶2x2-3

六、归纳小结：本节课应掌握：

1.(a>0)是一个非负数；2.()2=a(a>0);反之:a=()

2(a>0).

七、布置作业：教材P4:3.4

八、反思与感想:

22.1二次根式(3)

教学内容V?=a(a>0)

教学目标：1.理解=a(a>0)并利用它进行计算和化简.

2.通过具体数据的解答，探究=a(a>0),并利用

这个结论解决具体问题.

教学重难点关键：1.重点：=a(a>0).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a>0时，=@才成立.

教学过程：一、复习引入：(老师口述并板收上两节课的重要内容)

1.形如(a>0)的式子叫做二次根式；

2.(a>0)是一个非负数；

3.()2=a(a>0).

那么，我们猜想当a>0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个

问题.

二、探究新知：(学生活动)填空：

V?=；Vo.oi2=；=；

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到:

=2;=0.01;=;=;=0;=.

因此，一般地：=a(a>0)

三、例题讲解：

例1化简：(1)(2)(3)(4)

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,

所以都可运用=a(a>0)•去化简.

解：⑴==3(2)==4

(3)底=后=5(4)J(—3)2=后=3

四、巩固练习：(见小黑板)

五、应用拓展

例2填空：当a>0时，=;当2<0时，=—，•并根据这一性质

回答下列问题.

(1)若=a，则a可以是什么数？(2)若=-a,则a可以是什么数？

(3)>a,则a可以是什么数？

分析：・・・=a(a>0)，二要填第一个空格可以根据这个结论，第二空

格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当a<0时,

=,那么・a>0.

(1)根据结论求条件；(2)根据笫二个填空的分析，逆向思想；(3)

根据(1)、(2)可知=|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？

A<0.

解：(1)因为=a,所以a>0;(2)因为=-a,所以a<0;

(3)因为当a>0时=a,要使>a,即使a>a所以a不存在；当a<0

时，=-a,要使>a,即使-a>a,a<0综上，a<0

例3当x>2,化简-.

六、归纳小结：本课掌握：=a(a>0)与运用，同时理解当a<0时，=-

a的应用拓展.

七、布置作业:1.先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如

下：

中的解答为：原式=a+=a+(l-a)=l;乙的解答为：原式=a+=a+(a-l)

=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是__________.

2.若门995-a|+=a，求a-19952的值.(提示：注意根式有意义的隐含

条件)

3.若-3<x<2时，试化简|x-2|++o

八、反思与感想：

22.2二次根式的乘除(1)

教学内容：,=(#>0,b>。)，反之=•(分>。，b>。)与其运

用.

教学目标：1、理解-=(a>O,b>O),=・(a>O,b>O),并

利用它们进行计算和化简

2、由具体数据，发现规律，导出(a>0,b>0)并运用

它进行计算；•利用逆向思维，得出=­(a>0,b>0)并运用它进行解

题和化简.

教学重难点关键

1.重点：，=(a>0,b>0),=,(a>0,b>0)与它

们的运用.

2.难点：发现规律，导出-=(a>0,b>0).

3、关键：要讲清(a<0,b<0)=，如=

或==X.

教学过程：一、设疑自探——解疑合探

自探.(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空：(1)X=,=—;(2)X=,=.

(3)X=,=•

参考上面的结果，用““<或="填空.

X,X,X

2.利用计算器计算填空

(1)X,(2)X,

(3)X,(4)X,

⑸X.

(学生活动)让3.4个同学上台总结规律.

老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个

二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的

被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

(a>0,b>0)

反过来：=­(a>0,b>0)

•合探1.计算：(1)X..(2)X..(3)X..(4)X

分析：直接利用-=(a>0,b>0)计算即可.

合探2化简(1),(2),(3),(4),(5)

分析：利用=­(a>0,b>。)直接化简即可.

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)J(-4)x(-9)=Cx"

(2)XV25=4XXV25=4^i|XV25=4712=873

四、巩固练习(1)计算(生练，师评)①X②3X2

③・

(2)化简：V20；V18；V24；754；J12—

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课掌握：⑴­==(a>0,b>0),=-(a>0,b>0)

与运用.

六、作业设计(写在小黑板上)

(一)、选择题

1.直角三角形两条直角边的长分别为cm和cm,•那么此直角三角形斜

边长是()

A.3cmB.3cmC.9cmD.27cm

2.化简a的结果是（）.A.B.C.-D.-

3.等式成立的条件是（）

A.x>1B.x>-lC.-l<x<1D.x>l或xW-l

4.下列各等式成立的是（）.

A.4X2=8;B.5X4=20;C.4X3=7;D.5X4=20

（二）、填空题：

1.=.

2.自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2）,若

物体下落的高度为720m,则下落的时间是_________.

（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式与其验证过程.

⑴2肾

验证：2=X==

=I23-22__/2（22-1）2-=

V22-1+=V22-1

（2）3肾

验证：3=X==

=/3（32-1）4-3-/3（32—1）3=

V32-1-V32-1+32-1

同理可得：45,.......

通过上述探究你能猜测出：a=3>0）,并验证你的结论.

七、反思与感想:

22.2二次根式的乘除(2)

教学内容：=(a>0,b>0),反过来=(a>0,b>0)与利用它们进行

计算和化简.

教学目标;1、理解=(a>0,b>0)和=(a>0,b>0)与利用它们进行

运算.

2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定,

并用逆向思维写出逆向等式与利用它们进行计算和化简.

教学重难点关键

1.重点：理解=(a>0,b>0),=(a>0,b>0)与用它们进

行计算和化简.

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程；一、设疑自探——解疑合探

自探.(学生活动)请同学们完成下列各题：

1.填空(1)=一,=；(2)=,=;

(3)=,=;(4)=,=.

规律：—；—；一；—・

2.利用计算器计算填空：

(1)=,(2)=,(3)=—,(4)=.

规律：一；；一；—O

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.(老师点评)，根据大家的练习和回

答，

我们进行合探：

二次根式的除法规定：

一般地，对二次根式的除法规定：

=(a>0,b>0),反过来=(a>0,b>0)

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

合探L计算：⑴(2)(3)(4)

分析：上面4小题利用=(a>0,b>0)便可直接得出答案.

合探2.化简：⑴⑵(3)(4)

分析：直接利用=(a>0,b>0)就可以达到化简之目的.

二、应用拓展

已知，且x为偶数，求(1+x)的值.

分析：式子=，只有a>0,b>0时才能成立.

因此得至U9-x>0且x-6>0,即6Vx<9,又因为x为偶数，所以x=8.

三、归纳小结(师生共同归纳)

本节课要掌握=(a>0,b>0)和=(a>0,b>0)与其运用.

四、作业：(写在小黑板上)

(一)、选择题：

1.计算的结果是().

A.;B.;C.;D.

2.阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母

有理化”，那么，化简的结果是().

A.2B.6C.D.

(二)、填空题1.分母有理化：(1)=；(2)=;(3)=.

2.已知x=3,y=4,z=5,那么的最后结果是_______.

(三卜综合提高题计算

(1)•(-)4-(m>0,n>0)

(2)-3+()X(a>0)

五、反思与感想：

22.2二次根式的乘除(3)

教学内容

最简二次根式的概念与利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运

算.

教学目标：1.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成

最简二次根式.

2.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根

据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.

重难点关键：1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、设疑自探——解疑合探

自探L(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)

计算(1),(2),(3)

老师点评：=,=,=

.・自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么

特点？(有如下两个特点：L被开方数不含分母.2.被开方数中不含能开得尽

方的因数或因式.)

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式.(L.(2..(3.

合探2.如图，在Rt2\ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6CHL

求AB的长.

因此AB的长为6.5cm.

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下!

三、应用拓展

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根

式：

==-1,

同理可得：=-,……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（+++……）（+1）的值.

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有

理化后就可以达到化简的目的.

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念与其运用.

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.如果（y>。）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.

A.（y>0）B.（y>0）C.（y>0）D.以上都不对

2.把（a-1）中根号外的（a・l）移入根号内得（）.

A.B.C.-D.-

3.在下列各式中，化简正确的是（）

A.=3B.=±C.=a2D.=x

4.化简的结果是（）A.-;B.-;C.-;D.-

（二）、填空题

1.化简=.（x>0）

2.a化简二次根式号后的结果是

(三)、综合提高题

1.已知a为实数，化简：-a,阅读下面的解答过程，请判断是否正确?

若不正确，•请写出正确的解答过程：

解：-a=a-a•=(a-1)

2.若x、y为实数，且y=，求的值.

六、反思与感想：

22.3二次根式的加减(1)

教学内容：二次根式的加减

教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法.

重难点关键：1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程：

一、设疑自探——解疑合探

自探(学生活动)：计算下列各式.

(1)2五+3及;(2)2限-3瓜+5瓜;(3)疗+2万+3反7;(4)

373-2^+72

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不

相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板书)3+=3+2=5和

3+=3+3=6

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开

方数相同的二次根式进行合并.

合探1.计算：⑴+(2)+

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步,

将相同的最简二次根式进行合并.

合探2.计算

(1)3748-9^1+3712(2)(>/48+720)+(V12-V5)

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+

(y-3)2=0,

即x=,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•

再合并同类二次根式，最后代入求值.

四、归纳小结(师生共同归纳)：本节课应掌握：

(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根

式进行合并.

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是

（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3=6:②=1;③+==2;④=2,其

中错误的有（）.A.3个B.2个C,1个D.0个

（二）、填空题

1.在、、、、、3、・2中，与是同类二次根式的有.

2.计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_______.

（三）、综合提高题

1.已知《2.236,求（-）-（+）的值.（结果精确到。.01）

2.先化简，再求值.

（6x+）-（4x+）,其中x=,y=27.

六、反思与感想:

22.3二次根式的加减(2)

教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标：运用二次根式、化简解应用题.

重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关

键点.

教学过程：

一、设疑自探一一解疑合探

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两

个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同

的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固.

自探L如图所示的RtZXABC中，NB=90°,点P从点B开始沿BA

边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2

厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后APEQ的面积为35平方厘米？PQ

的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设X秒后APEQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,

•根据三角形面积公式就可以求出x的值.

解:设x后aPBQ的面积为35平方厘米.贝I」有PB=x,BQ=2x

依题意，得：x-2x=35x2=35x=

所以秒后aPBQ的面积为35平方厘米.

PQ=晒?+BQ2=而=犀35=5近

答：秒后4PBQ的面积为35平方厘米,PQ的距离为5厘米.

自探2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到

0.1m）?

解：由勾股定理，得AB==2

BC=A/W+CD?=防+-=逐

所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2旧+逐+5+2=3石+7七3X

2.24+7=13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.）

三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展

若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值.

注：（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相

同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|・，才由同类

二次根式的定义得3a--b=・2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式化为最简二次根式:

-2加—M+6b?=（2a-1+6）=IbI•y/2a-h+6

由题意得「..,.a=l,b=l

五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解

决实际问题.

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为

（）.

A.5B.C.2D.以上都不对

2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了

增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）

米.

A.13B.C.10D.5

（二）、填空题

1.某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2,

•鱼塘的宽是__m.

2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的

周长是________.

（三）、综合提高题

1.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值.

2.同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2,你一定熟

练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括。）都可以

看作是一个数的平方，如3=()2,

5=()2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

(V2-1)2=(V2)2-2•1­>/2+12=2-272+1=3-272

反之，3-2=2-2+1=(-1)2/.3-2=(-1)2=-1

求：⑴；(2);(3)你会算吗？

(4)若=,则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.

六、反思与感想：

22.3二次根式的加减(3)

教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、

相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用.

教学目标：1.含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法

公式的应用.

2.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的

式子的乘除、乘方等运算.

重难点关键：1.重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、设疑自探——解疑合探

自探1.(学生活动)：请同学们完成下列各题：

1.计算：⑴(2x+y)-zx(2)(2x2y+3xy2)+xy

2.计算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)•单

项式X单项式；(2)单项式X多项式；(3)多项式+单项式；(4)完全平方公

式；(5)平方差公式的运用.

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立

呢？•仍成立.

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一

切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.

自探2.计算：⑴(+)X(2)(4-3)+2

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用

整式的运算规律.

.自探3.计算：⑴(+6)(3-...(2)(+)(-)

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算

中仍然成立.

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下!

三、应用拓展：已知=2-，其中a、b是实数，且a+bwO,

化简+,并求值.

分析：由于(+)(-)=1,因此对代数式的化简，可先将分母

有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果

即可.

解：原式=+

=+=(x+1)+x-21)+x+21)=4x+2

^^=2-.*.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax4-a2

a

(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2*/a+b#=O

x=a+b

.•・原式=4x+2=4(a+b)+2

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运

算.

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.（-3+2）X的值是（）.

A.-3B.3-C.2-D.

2.计算（+）（-）的值是（）.A.2B.3C.4D.1

（二）、填空题

1.（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________.

2.（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是______

3.若x=-1,则x2+2x+l=.

4.已知a=3+2,b=3-2,贝lja2b-ab2=

(三)、综合提高题

1.化简

2.当x=时，求+的值.（结果用最简二次根式表示）

六、反思与感想：

23.1一元二次方程

教学目标：

1.知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式(

于0)2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元

二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对

一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点：

1.一元二次方程的意义与一般形式，会正确识别一般式中的“项”与“系数

2.理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一做一做：

1.问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900

平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+10x-900=0.(1)

2.问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年

的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则

今年年底的图书数是5(l+x)万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底

的(14-x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2万册.可列得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5x2+10x-2.2=0.(2)

3.思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然，这两个方程都不

是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么

共同特点呢？

(学生分组讨论，然后各组交流)共同特点：(1)都是整式方程(2)只

含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样

的方程叫做一元二次方程).通常可写成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a#0)。其中叫做二次项，叫做二次项

系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.

三、例题讲解与练习巩固

1•例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

(1)3x+2=5x-3(2)/=4(3)(4)-4=U+2)2

2.例2将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系

数和常数项：

1)6/2)(x-2)(x+3)=83)U+3)(3x-4)=(x+2)2

说明：一元二次方程的一般形式(力0)具有两个特征：一是方程的右

边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次

项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3.例3方程(2a-4)x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方

程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当于2时是一元二次方程；当=2,力0时是一元一次方程；

4•例4已知关于x的一元二次方程(m-l)x2+3x-5m+4=。有一根为2,求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.练习一将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项

系数和常数项

2/=2-3x2x(x-l)=3(x-5)-4(2y-l)2-(^+1)2=(y+3\y-2)

练习二关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下

是一元一次方程？

本课小结：

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次

方程。

2、一元二次方程的一般形式为(*0),一元二次方程的项与系数都是根

据一般式定义的，这与多项式中的项、次数与其系数的定义是一致的。

3.在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二

次方程的必要性和重要性。

布置作业：课本第27页习题1、2、3

23.2.2一元二次方程的解法

教学目标：

1.会用直接开平方法解形如(a^0,ab>0)的方程；

2.灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次

方程无实根的解题过程。

教学过程：

问：怎样解方程的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

解：1.直接开平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2.原方程可变形为

(x+1)2-256=0

方程左边分解因式，得

(x+1+16)(x+1-16)=0

即可(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0,x—15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例题讲解与练习巩固

1•例1解下列方程

(1)(x+1)2-4=0;(2)12(2-x)2-9=0.

分析两个方程都可以转化为加”厅二〃(a#0,ab>0)

的形式，从而用直接开平方法求解.

解(1)原方程可以变形为

(x+1)2=4,

直接开平方，得

x+l=±2.

所以原方程的解是xl=l,x2=-3.

原方程可以变形为

有.

所以原方程的解是xl=,x2=.

2.说明：(1)这时，只要把看作一个整体，就可以转化为(>0)型的方

法去解决，这里体现了整体思想。

3、练习一解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0;(2)(x-l)2-18=0;

(3)(l-3x)2=l;(4)(2x+3)2—25=0.

二、读一1卖

四、讨论、探索：解下列方程

(1)(X+2)2=3(X+2)(2)2y(y-3)=9-3y(3)(x-2)2

—x+2=0

222

(4)(2x+l)=(x-l)(5)X-2X+1=49O

本课小结：

1.对于形如(a^O,a>0)的方程，只要把看作一个整体，就可转化为

(n>0)的形式用直接开平方法解。

2.当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因

式分解法解。

布置作业：课本第37页习题1(5、6)、P38页习题2(1、2)

23.2.3一元二次方程的解法

教学目标：

1.掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程转化为“+〃)2=q

教学过程：

一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据：

⑴3-2A*2=1(2)(文+1).6=0(3)(x—2)-1=0

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

x2=Z?(Z?>0)^n(x-r/)2=Z?(Z?>0)

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b<0,方程就没有实

数解。

如f=-2

请说出完全平方公式c

(x+a)~=x2+2ax+a2

(x-ez)"=x2-Icix+a1

二、引入新课

我们知道，形如的方程，可变形为，再根据平方根的意义，用直接开

平方法求解.那么，我们能否将形如的一类方程，化为上述形式求解呢？

这正是我们这节课要解决的问题.

三、探索：

1、例1、解下列方程：

/+2x=5;(2)"4x+3=0.

思考

能否经过适当变形，将它们转化为

=a的形式，应用直接开方法求解？

解(1)原方程化为+2x+l=6,(方程两边同时加上1)

(2)原方程化为r—4x+4=-3+4(方程两边同时加上4)

三、归纳

上面，我们把方程-4x+3=0变形为=1,它的左边是一个含有未知数的

完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这

种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而

转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

四、试一试：对下列各式进行配方：

x2+8x—__=(x+___x2-10.r_____=(x+_____)2

x2-5x+_____=u--—)2.X2-9X+______=u-__

23

厂——x+__=U--—)222

2*x+bx+.__=__a__+_____)

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一

次项系数一半的平方c

五、例题讲解与练习巩固

1•例2.用配方法解下列方程：

(1)d-6x-7=0;(2)V+3x+l=0.

2.练习：

①.填空:

⑴x2+6x+()=()-⑵V_8x+()=(x-)2

(3)/+x+()=(x+)2;(4)4——6x+()=4(x—)

2

②用配方法解方程：

(1)Y+8X-2=0(2)Y-5X-6=0.

(3)f+7=-6x六、试一试

用配方法解方程x2+px+q=0(p2—4q>0).

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

解：移项，得x24-px=-q,

配方，得x2+2・x・+()2=()2-q,

P_

即(X+2)2=.

因为p2—4q>。时，直接开平方，得

P_

x+2=±.

P_

所以x=-2±,

即x=.

思考：这里为什么要规定p2—4q>0?

七、讨论

1.如何用配方法解F列方程？

4X2-12X-1=0;

请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2.关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元

二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：(D将方程两边同时除以4,得x2—3x—=0

移项，得x2—3x=

配方，得x2-3x+()2=+()2

即(x-1)2=(

22

直接开平方，得x-=±

所匕ri以”x=-3±,—

所以xl=,x2=

3,练习：用配方法解方程：

.(1)(2)3x2+2x-3=0...

(3)2/-4x+5=0(原方程无实数解)

本课小结：让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方

程的步骤：1.把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的

二次项系数为1；2.在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成

为完全平方；

如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数,

则指出原方程无实根C

布置作业：P38页习题2

23.2.4一元二次方程的解法

教学目标：

1.使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3.在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证

唯物广义观点。

重点难点：

1.难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2.重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记

忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

(1)x2+15=10x(2)

2.用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种

更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

二、探索同底数耗除法法则

问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢？

教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨

论交流，达成共识：

因为，方程两边都除以，得

移项，得

配方，得

炉+242+(2)2=(2)2，

2a2a2aa

即

问题2:当，且时，大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从

而。

问题3:在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程

的根为，即。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式：（）

这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个

公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这

种解方程的方法叫做公式法。

思考：当时，方程有实数根吗？

三、例题

例L解下列方程：

L；2、；

3.;4.

教学要点：（1）对于方程（2）和（4）,首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错；

（3）先计算的值，再代入公式。

例2.（补充）解方程

解：这里，，，

因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。

让学生反思以上解题过程，归纳得出：

当时，方程有两个不相等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程没有实数根。

四、课堂练习

1.P35练习。

2.阅读P39“阅读材料”。

小结：

根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是

如何选择的？和同学交流一下。

作业：

P38习题4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）,5。

23.2.5一元二次方程的解法

教学目标：

1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

2.提高学生分析问题、解决问题的能力。

3.培养学生数学应用的意识。

重点难点：

认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本

节课的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1.叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2.用多种方法解方程

让学生尝试用多种方法解方程，归结为：

解法1：将方程化为，直接开平方，得

解得，。

解法2:将方程化为一般形式，进而转化为，用配方法可求方程的解。

解法3:将方程化为一般形式，用公式法求解，其中。

提问：用哪种方法解方程更简便