材料力学课件（路桥）第7章弯曲应力

第7章弯曲应力材料力学（路桥工程方向）|纯弯曲正应力·切应力·强度校核·设计优化Contents本章内容概览材料力学·弯曲应力章节核心知识点梳理01纯弯曲梁横截面上的正应力02横力弯曲梁横截面上的正应力03弯曲切应力04弯曲梁的强度条件05提高梁弯曲强度的措施CHAPTER01纯弯曲梁横截面上的正应力从弯曲变形现象出发，建立纯弯曲正应力的完整推导体系BendingMechanics纯弯曲与横力弯曲的基本概念纯弯曲是梁横截面上仅存在弯矩而无剪力的理想状态，是推导正应力公式的出发点；横力弯曲则同时存在弯矩与剪力，是工程中更普遍的受力形式。理解二者的区别是掌握弯曲应力理论的前提。简支梁弯曲受力实验示意01纯弯曲：梁段上剪力Q=0，弯矩M为常数，横截面仅受正应力作用，如简支梁对称加载的中间段。02横力弯曲（剪切弯曲）：梁段上剪力Q≠0，弯矩M随位置变化，横截面同时存在正应力和切应力。03研究策略：先从纯弯曲推导正应力公式（无切应力干扰），再推广至横力弯曲的工程应用。材料力学·弯曲应力弯曲变形的两个基本假设平面假设和纵向纤维无挤压假设是弯曲正应力推导的理论基石。由这两个假设可直接推出中性层和中性轴的存在，并确定横截面上应变沿高度方向呈线性分布的基本规律。平面假设变形前的横截面变形后仍保持为平面，仅绕中性轴转过一个角度，已被实验充分验证。该假设是建立弯曲理论的基础，使得横截面上各点的变形协调关系得以确定。纵向纤维无挤压各纵向纤维仅承受单向拉伸或压缩，纤维之间无正应力作用。这一假设简化了应力状态分析，使问题从平面应力状态退化为单向应力状态。中性层梁中必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，该层称为中性层。中性层将梁的受拉区与受压区分隔开来，是分析弯曲变形几何关系的关键参考面。中性轴中性层与横截面的交线，是横截面上正应力由拉变压（或由压变拉）的分界线。中性轴上各点正应力为零，其位置决定了截面弯矩的承载能力。GEOMETRICANALYSIS几何关系：应变沿截面高度的线性分布通过微段变形分析可得ε=y/ρ，即纵向应变与到中性轴的距离y成正比、与曲率半径ρ成反比。这一线性分布规律是后续应力推导的几何学基础。微段取法取微段dx分析：中性层曲率半径为ρ，中性层纤维原长dx=ρ·dθdx=ρ·dθ应变推导距中性轴y处弧长为(ρ+y)·dθ，纵向应变ε=[(ρ+y)dθ−ρdθ]/(ρdθ)=y/ρε=y/ρ分布规律中性轴处(y=0)应变为零，上下边缘应变最大，应变沿截面高度呈线性分布LINEAR物理意义曲率1/ρ越大（弯曲越剧烈），同一位置的应变越大，梁的变形程度越剧烈1/ρ↑BENDINGSTRESS·弯曲正应力物理关系：正应力沿截面高度的线性分布在线弹性范围内，由胡克定律σ=Eε得σ=Ey/ρ，正应力与到中性轴距离y成正比。该式揭示了应力的线性分布特征，但曲率半径ρ和中性轴位置仍需通过静力学方程确定。胡克定律应用在线弹性范围内σ=Eε，代入几何关系ε=y/ρ，推导出正应力公式σ=Ey/ρ。σ=Ey/ρ应力分布特征正应力σ沿截面高度呈线性分布，中性轴处为零，距中性轴越远应力越大。线性分布两个待求未知量曲率半径ρ决定应力大小，中性轴位置决定y的起算点，均需静力学方程求解。ρ&y₀截面应力图示上下边缘应力最大、符号相反，一侧受拉一侧受压，中性轴处应力为零。拉压对称MECHANICSOFMATERIALS静力学关系：中性轴位置与曲率公式由轴力为零的平衡条件推出中性轴必过截面形心；由力矩平衡条件推出曲率1/ρ=M/(EIz)，其中EIz称为梁的抗弯刚度。01轴力平衡→中性轴过形心∫σdA=0→(E/ρ)∫ydA=0→Sz=0，证明中性轴必过截面形心Sz=002力矩平衡→曲率公式∫σ·y·dA=M→(E/ρ)∫y²dA=M→(E/ρ)·Iz=M，得1/ρ=M/(EIz)1/ρ=M/(EIz)03抗弯刚度EIz弹性模量E与截面惯性矩Iz的乘积，EIz越大，梁在相同弯矩下弯曲越小，刚度越高EIz=E·Iz04截面惯性矩IzIz=∫y²dA，仅取决于截面几何形状和尺寸，与材料无关，是截面的固有几何性质Iz=∫y²dABendingStress·弯曲应力纯弯曲正应力公式综合几何、物理和静力学三方面关系，最终推导出σ=My/Iz——纯弯曲正应力的基本公式。该公式揭示了正应力与弯矩成正比、与惯性矩成反比、沿截面高度线性分布的规律。核心公式σ=My/Iz，其中M为截面弯矩，y为到中性轴距离，Iz为截面对中性轴的惯性矩。该公式是材料力学中计算弯曲正应力的基础，广泛应用于梁的强度校核与截面设计。σ=My/Iz最大正应力出现在距中性轴最远处（截面上下边缘），σmax=M·ymax/Iz=M/Wz。最大正应力是强度计算的关键指标，工程设计中需确保其不超过材料的许用应力。σmax=M/Wz抗弯截面系数Wz=Iz/ymax，是衡量截面抗弯能力的几何量，Wz越大，最大正应力越小。合理选择截面形状可有效提高Wz值，从而在相同材料用量下获得更高的承载能力。Wz=Iz/ymax正负号判定M和y取绝对值计算，拉压性质由弯矩方向判断——凸侧受拉、凹侧受压。通过观察梁的弯曲变形方向，可直观确定各纤维层的受力状态。凸侧受拉·凹侧受压SECTIONPROPERTIES常见截面的惯性矩与抗弯截面系数惯性矩Iz和抗弯截面系数Wz是截面固有的几何性质，直接决定梁的弯曲应力大小。将材料尽量布置在远离中性轴的位置可显著增大Iz和Wz，这也是工字形截面广泛应用的理论依据。01矩形截面Iz=bh³/12Wz=bh²/6h方向为弯曲平面内尺寸，对Wz影响为三次方02圆形截面Iz=πd⁴/64Wz=πd³/32各向同性，任意直径轴惯性矩相同03圆环形截面Iz=π(D⁴−d⁴)/64空心比实心更节省材料且保持较高的Iz/面积比04工字形截面Wz/面积比≫矩形翼缘承担大部分弯曲应力，腹板主要承担剪力05组合截面Iz=Izc+a²A利用平行移轴公式计算各部分对总中性轴的惯性矩再求和06设计原则工字形>箱形>圆形>矩形材料应尽量远离中性轴布置，同等面积下抗弯效率排序STRUCTURALMECHANICS例题：矩形截面简支梁的正应力计算通过矩形截面简支梁在集中力作用下的完整计算过程，演示从求弯矩到算最大正应力的标准解题流程。题目矩形截面b=120mm、h=200mm，跨中集中力F=20kN，跨度L=4m，求最大弯曲正应力120×200mm20kN4mStep01求跨中最大弯矩—简支梁跨中集中力公式Mmax=FL/4=20×4/4=20kN·m20kN·mStep02计算截面模量—矩形截面Wz=bh²/6=120×200²/6=8×10⁵mm³=8×10⁻⁴m³8×10⁻⁴m³Step03求最大正应力—σmax=Mmax/Wz=20×10³/(8×10⁻⁴)=25MPa，上缘受压、下缘受拉25MPaChapter02横力弯曲梁横截面上的正应力将纯弯曲正应力公式推广至工程实际的横力弯曲场景，分析其适用条件与精度MaterialMechanics·BendingStress横力弯曲正应力公式的适用条件横力弯曲时截面会产生翘曲，但对于跨高比l/h≥5的细长梁，采用纯弯曲正应力公式σ=My/Iz计算的误差在工程允许范围内，因此可将纯弯曲公式推广至横力弯曲的工程设计。横力弯曲的特点截面上同时存在弯矩M(x)和剪力Q(x)，截面不再严格保持平面而产生翘曲。这种翘曲现象使得应力分布与纯弯曲理论假设有所不同，但在细长梁条件下影响有限。弯矩+剪力截面翘曲弹性力学精确分析通过弹性力学精确解分析，当梁的跨高比满足一定条件时，纯弯曲公式仍具有足够精度。工程实践中通常以相对误差1%作为可接受标准。l/h≥5工程推广公式将纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲，只需用截面位置x处的弯矩M(x)代替常数弯矩M。公式形式保持不变，但弯矩随截面位置变化。σ=M(x)·y/Iz路桥工程适用性路桥工程中的梁绝大多数为细长梁，其跨高比l/h远大于5，完全满足公式适用条件。因此该简化公式在桥梁、道路结构设计中广泛适用，计算结果可靠。桥梁工程广泛适用METHODOLOGY横力弯曲正应力的计算方法横力弯曲正应力计算的关键是先确定弯矩图、找到最危险截面，再代入公式逐截面计算。对于等截面梁，最大正应力发生在最大弯矩截面的上下边缘，直接决定了梁的强度设计。01画弯矩图，确定最危险截面确定全梁最大弯矩Mmax的位置和数值，该截面即为最危险截面。通过弯矩图可直观识别内力分布规律。02计算最大正应力σmax等截面梁σmax=Mmax/Wz，最大正应力出现在最危险截面的上下边缘。该公式是强度校核的核心依据。03判断拉压性质正弯矩使梁下缘受拉、上缘受压；负弯矩使上缘受拉、下缘受压。正确判断应力性质对材料选型至关重要。04注意变截面梁Wz随位置变化，需逐截面计算σ=M(x)/Wz(x)，最大值不一定在Mmax处。应综合比较各截面应力水平。StructuralAnalysis例题：T形截面简支梁横力弯曲正应力T形截面是非对称截面，中性轴偏上使得下缘距中性轴更远，因此最大拉应力出现在下缘。在路桥设计中，需特别关注非对称截面的拉应力侧，因为混凝土抗拉能力远弱于抗压能力。ProblemT形梁跨度L=12m，均布荷载q=30kN/m，Iz=2.5×10⁻²m⁴，y₁=0.3m（上）、y₂=0.5m（下）L=12mBendingMoment简支梁均布荷载Mmax=qL²/8=30×144/8=540kN·m，位于跨中截面540kN·mUpperFiber上缘正应力σ₁=Mmax·y₁/Iz=540×10³×0.3/0.025=6.48MPa（受压）6.48MPaCritical·LowerFiber下缘正应力σ₂=Mmax·y₂/Iz=540×10³×0.5/0.025=10.8MPa（受拉），σmax=10.8MPa10.8MPaChapter03弯曲切应力推导弯曲切应力公式，掌握矩形、工字形、圆形等截面的切应力分布规律与最大值计算StructuralMechanics弯曲切应力公式的推导（矩形截面）通过在微段上做水平截面取隔离体，利用法向力差与切应力的平衡关系推导出茹拉夫斯基公式τ=QSz*/(Iz·b)。01取微段与隔离体取微段dx，在y处水平截开取上部分为隔离体。左右截面因弯矩差dM产生法向力差，该力差为(dM/Iz)·Sz*，这是推导的力学基础。02水平面切应力平衡水平面上切应力τ'与截面宽度b、长度dx的乘积平衡法向力差：τ'·b·dx=(dM/Iz)·Sz*。代入dM/dx=Q，得水平切应力τ'=QSz*/(Iz·b)。03切应力互等定理根据切应力互等定理，水平面上的τ'与竖直截面上的τ大小相等。因此截面切应力τ=QSz*/(Iz·b)，方向与剪力Q平行。04茹拉夫斯基公式最终得到茹拉夫斯基公式：τ=QSz*/(Iz·b)。其中Sz*为所求点以上（或以下）面积对中性轴的静矩，b为截面宽度。BENDINGSHEARSTRESS矩形截面切应力分布规律矩形截面弯曲切应力沿高度呈抛物线分布：上下边缘为零，中性轴处最大，τmax=1.5Q/A（平均切应力的1.5倍）。这一分布特征与正应力的线性分布形成鲜明对比。01Sz*=b(h²/4−y²)/2，代入公式得τ=Q(h²/4−y²)/(2Iz)，τ沿高度呈抛物线分布02上下边缘(y=±h/2)：Sz*=0，τ=0，切应力在自由表面处必然为零03中性轴处(y=0)：τmax=Qh²/(8Iz)=3Q/(2A)=1.5Q/A，是平均切应力的1.5倍04对比正应力：正应力上下边缘最大、中性轴为零（线性）；切应力中性轴最大、边缘为零（抛物线）切应力分布示意y=+h/2τ=0τmaxτ=0y=−h/2中性轴τmax抛物线00τ=Q·Sz*/(Iz·b)沿截面高度抛物线分布STRUCTURALANALYSIS工字形截面切应力分布特点工字形截面的剪力主要由腹板承担（约占95%-97%），腹板切应力呈抛物线分布；翼缘因宽度大而切应力极小，工程中可忽略。01腹板切应力分布分布规律同矩形（抛物线形），因腹板宽度δ小，τ值较大，承担95%-97%的剪力97%02翼缘切应力翼缘宽度B远大于腹板厚度δ，由τ=QSz*/(Iz·B)知翼缘τ值极小，可忽略≈003腹板最大切应力中性轴处τmax=QSz*max/(Iz·δ)，Sz*max为中性轴以上面积对中性轴的静矩τmax04工程近似计算精度要求不高时，可近似认为τmax≈Q/Aweb=Q/(h₁·δ)，即腹板均匀承担剪力Q/A材料力学·截面切应力分析圆形与薄壁圆筒截面的切应力圆形截面最大切应力τmax=4Q/(3A)，为平均切应力的1.33倍；薄壁圆筒截面τmax≈2Q/A，为平均切应力的2倍。不同截面形状的最大切应力与平均切应力之比反映了截面抗剪效率的差异。圆形截面：中性轴处τmax=4Q/(3A)=1.33Q/A，是平均切应力的4/3倍1.33×圆形截面切应力方向严格来说不完全平行于剪力，但工程近似取平行方向已足够精确工程近似薄壁圆筒截面：中性轴处τmax≈2Q/A，因材料集中于远离中性轴的上下翼缘，中性轴处面积少2.00×比较：矩形1.5倍、圆形1.33倍、薄壁圆筒2倍——实心截面比空心截面的τmax/Q/A比值更优1.50×矩形1.33×圆形2.00×薄壁ShearStress常见截面切应力分布汇总四种典型截面的切应力均在中性轴处取最大值、在自由表面处为零，但最大值与平均值之比因截面形状而异。常见截面弯曲切应力特征对比截面类型分布规律τmax公式τmax/τavg矩形(b×h)抛物线分布3Q/(2bh)1.50工字形腹板抛物线分布QSz*/(Izδ)≈1.0圆形(直径d)近似抛物线4Q/(3A)1.33薄壁圆筒近似均匀(腹板)2Q/A2.00所有截面τmax均在中性轴处，τmax/τavg比值从矩形1.5到薄壁圆筒2.0不等STRENGTHCRITERIA弯曲切应力强度条件与校核方法弯曲切应力强度条件为τmax≤[τ]，需在最危险截面的中性轴处校核。细长梁通常由正应力控制设计，但短粗梁、薄腹梁、木材梁和集中力靠近支座的情况下，切应力可能成为控制因素。01强度条件公式：τmax=Qmax·Sz*max/(Iz·b)≤[τ]，其中Qmax为全梁最大剪力，在中性轴处计算τmax。公式中各参数分别对应截面几何特性与材料许用应力。τmax≤[τ]02必须校核切应力的情况：短粗梁（l/h<5）、集中力作用点靠近支座处、薄腹板截面梁、木材梁（顺纹抗剪强度较弱），这些场景切应力可能成为控制因素。l/h<503一般规律：细长梁以正应力强度为主控因素，切应力强度条件通常自然满足，工程设计中不必对细长梁单独进行切应力校核。正应力主控04工程设计流程：先按正应力强度条件初步设计截面尺寸，再对危险截面校核切应力强度，若不满足则调整截面参数直至两项条件同时满足。先设计后校核CHAPTER04弯曲梁的强度条件综合正应力与切应力强度条件，建立梁的强度校核、截面设计和许可载荷确定的完整方法EngineeringApplication弯曲正应力强度条件的三种应用弯曲正应力强度条件σmax=Mmax/Wz≤[σ]是梁设计的核心依据，可分别用于强度校核、截面设计和许可载荷确定，覆盖设计全流程。Section01强度校核与截面设计01强度校核：已知截面（Wz）和荷载（Mmax），验算σmax=Mmax/Wz≤[σ]是否成立02截面设计：已知荷载和许用应力[σ]，求Wz≥Mmax/[σ]，据此选定截面形状和尺寸03材料适配：塑性材料[σ拉]=[σ压]，选对称截面；脆性材料[σ压]>[σ拉]，宜选非对称截面Section02许可载荷与梁的设计流程01许可载荷：已知截面（Wz）和[σ]，求Mmax≤[σ]·Wz，再反推梁能承受的最大荷载02设计流程：按正应力条件初步设计截面→校核切应力强度→必要时进行局部承压和刚度校核03安全系数：路桥设计中荷载分项系数和材料分项系数需按规范取值，确保结构可靠度STRENGTHOFMATERIALS危险截面与危险点的判定等截面梁的正应力危险截面为Mmax所在截面，危险点在上下边缘；切应力危险截面为Qmax所在截面，危险点在中性轴。非对称截面和变截面梁需逐截面分析，工字形截面还需关注腹板与翼缘交接处的复合应力。正应力危险截面等截面梁为|M|max所在截面，危险点在截面上下边缘（距中性轴最远处）Mmax切应力危险截面为|Q|max所在截面，危险点在中性轴处（切应力抛物线分布的顶点）Qmax变截面梁Wz随位置变化，σmax不一定在Mmax处，需逐截面计算M(x)/Wz(x)找最大值M(x)/Wz(x)复合应力危险点工字形截面腹板与翼缘交接处，正应力和切应力都较大，需用强度理论校核σ+τSTRUCTURALANALYSIS例题：工字钢梁的综合强度校核工字钢梁的强度校核需同时检验正应力和切应力。正应力接近许用值，切应力远小于许用值，细长梁的强度主要由正应力控制。题目条件I32a工字钢简支梁，跨度L=6m，跨中集中荷载F=80kN，截面模量Wz=692cm³692cm³正应力校核最大弯矩Mmax=FL/4=120kN·m，σmax=Mmax/Wz=173.4MPa，超限2%在工程允许范围内173.4MPa切应力校核最大剪力Qmax=F/2=40kN，τmax=QSz*/(Izb)=15.3MPa，远小于许用值100MPa15.3MPa结论细长工字钢梁以正应力为主控因素，切应力强度富余量大，设计时应重点关注弯曲正应力σ-CONTROLLEDSTRUCTURALANALYSIS脆性材料梁的强度校核特点脆性材料抗压强度远大于抗拉强度，梁设计时须分别校核拉压应力，宜采用非对称截面使中性轴偏向受拉侧，并配合钢筋承担拉力。01分别校核拉压应力—σ拉max≤[σ拉]和σ压max≤[σ压]需同时满足，混凝土[σ压]/[σ拉]通常为10–1502非对称截面优势—T形截面中性轴偏上，使受拉区y值减小，有效降低最大拉应力03正负弯矩交替—连续梁中正弯矩段下缘受拉、负弯矩段上缘受拉，需逐段检查拉应力最大值04配筋原则—在受拉区配置纵向钢筋，由钢筋承担拉力、混凝土承担压力，形成钢筋混凝土梁CHAPTER05提高梁弯曲强度的措施从降低最大弯矩、优化截面形状和采用等强度设计三个维度系统提升梁的弯曲强度STRUCTURALOPTIMIZATION措施一：合理安排受力以降低最大弯矩通过调整支座位置、优化荷载分布和增加支座数量等方法，可以在不改变截面的情况下显著降低最大弯矩，从而减小最大正应力。这是最经济有效的提高梁弯曲强度的途径。01支座内移：简支梁两端支座各内移0.2L，最大弯矩从qL²/8降至约qL²/16，降幅达50%50%02荷载靠近支座：集中力越靠近支座，最大弯矩越小，工程中应尽量避免跨中集中荷载AVOIDMIDSPAN03变集中力为均布力：总力相同时，均布荷载的最大弯矩(qL²/8)仅为跨中集中力(FL/4)的一半½04增加支座（变连续梁）：两跨连续梁最大弯矩比同跨简支梁降低约40%，桥梁工程中广泛采用40%CROSS-SECTIONEFFICIENCY措施二：选择合理截面形状提高抗弯效率截面抗弯效率用Wz/A衡量：工字形>箱形>T形>矩形>圆形。将材料布置在远离中性轴的位置可大幅提高Wz/A，但需注意腹板过薄可能引发局部失稳，需综合强度与稳定性设计。效率指标Wz/A工字形截面Wz/A最大，材料远离中性轴；圆形最小，材料集中于中性轴附近。Wz/A塑性材料·对称截面拉压许用应力相等，上下边缘同时达到许用值，材料利用率最大化。100%脆性材料·非对称截面如T形梁，中性轴偏向受拉侧，使拉压应力同时达到各自许用值。T形梁稳定约束腹板不能过薄以防局部屈曲，翼缘不能过宽过薄，需满足宽厚比限值。宽厚比STRUCTURALDESIGN措施三：等强度梁的设计思想等强度梁使每个截面的最大正应力都等于许用应力，实现材料的100%利用率。虽然理想等强度梁加工困难，但分段变截面、加腋梁和鱼腹梁等近似方案在路桥工程中已广泛应用。01等强度条件：σmax=M(x)/Wz(x)=[σ]，即截面抗弯模量随弯矩变化，使各截面