【学习课件】第十二章弯曲应力工程力学教学

工程力学·教学课件第十二章弯曲应力BendingStressAnalysisContents本章目录第十二章弯曲应力01纯弯曲时横截面上的正应力02梁弯曲时的应力强度条件03梁弯曲时截面上的切应力04提高梁承载能力的措施CHAPTER01纯弯曲时横截面上的正应力从变形现象到应力公式的完整推导Section12·BendingStress弯曲的基本分类：横力弯曲与纯弯曲梁的弯曲分为横力弯曲和纯弯曲两类。横力弯曲时截面同时存在剪力和弯矩，对应正应力与切应力并存；纯弯曲时仅有弯矩而无剪力，截面上只存在正应力。正应力公式首先在纯弯曲条件下推导，再推广应用于横力弯曲。横力弯曲简支梁受力分析实验模型横截面上同时存在剪力Q和弯矩M两种内力分量，是最常见的工程弯曲形式截面上同时产生正应力σ（由弯矩引起）和切应力τ（由剪力引起），应力状态较复杂典型实例：简支梁在均布荷载作用下的跨中段，以及集中力作用点附近的区段纯弯曲四点弯曲实验装置实拍某段梁的内力只有弯矩M而剪力Q为零，该段梁的变形称为纯弯曲截面上只有正应力σ而无切应力τ，应力分析相对简单，是理论推导的起点典型实例：简支梁在两个对称集中力作用下，两力之间的区段即为纯弯曲段CHAPTER12·BENDINGSTRESS梁纯弯曲的变形现象与基本假设通过纯弯曲实验观察到横向线保持直线但转动、纵向线变为曲线且上缩下伸、横纵线仍正交三大现象，据此建立平面假设和纵向纤维无挤压假设，为后续推导正应力公式奠定基础。现象一：横向线（ab、cd）变形后仍为直线，但绕中性轴发生了刚性转动，不再互相平行。这说明横截面在弯曲过程中保持平面形态，仅发生整体转动。平面假设：横截面变形后仍为平面，仅绕中性轴转动，且与弯曲后的轴线保持垂直。该假设是推导正应力分布规律的核心前提。现象二：纵向线变为曲线，靠近凹面一侧的纤维缩短（受压），靠近凸面一侧的纤维伸长（受拉）。中性层处纤维长度保持不变，形成应力过渡区域。纵向纤维无挤压假设：各纵向纤维处于单向受力状态，纤维之间不存在相互挤压的正应力。该假设简化了应力分析，使问题退化为单向应力状态。现象三：横向线与纵向线变形后仍保持正交关系，说明截面未发生剪切变形。这一几何特征验证了平面假设的合理性，排除了剪切变形的影响。基本假设·AssumptionsCHAPTER12·BENDINGSTRESS核心概念：中性层与中性轴梁弯曲时存在一层既不伸长也不缩短的纵向纤维层——中性层，它与横截面的交线即为中性轴。中性轴通过截面形心，是正应力分布的零值分界线，上方为压应力区、下方为拉应力区，距中性轴越远应力越大。中性层梁内存在一层纵向纤维，在弯曲变形中既不伸长也不缩短，不受拉应力和压应力作用。该层纤维长度保持不变，是区分拉压区域的基准面。σ=0（正应力为零）中性轴中性层与横截面的交线，是截面上正应力为零的轴线。中性轴必然通过截面的形心位置，是计算截面惯性矩和抗弯模量的基准轴。通过形心·惯性矩基准应力分布规律中性轴一侧纤维受拉产生拉应力，另一侧受压产生压应力，中性轴处应力为零。应力大小与到中性轴距离成正比，呈线性分布。距轴越远应力越大·线性分布纵向对称面包含梁轴线和横截面纵向对称轴的平面，弯曲变形在此平面内发生。保证平面弯曲条件，使中性轴垂直于纵向对称面。平面弯曲·变形约束面第十二章·弯曲应力正应力推导（一）：变形的几何关系通过分析梁微段的弯曲变形几何关系，推导出距中性轴y处的纵向纤维线应变ε=y/ρ，表明线应变沿截面高度呈线性分布。01微段设定取梁的微段dx分析，设弯曲后中性层曲率半径为ρ，对应圆心角为dθ，则中性层纤维长度dx=ρdθdx=ρdθ02应变推导距中性轴y处的纤维变形后长度为(ρ+y)dθ，线应变ε=[(ρ+y)dθ−ρdθ]/ρdθε=y/ρ03核心结论纵向纤维的线应变ε与距中性轴的距离y成正比，沿截面高度呈线性分布LINEAR04物理意义中性轴处（y=0）线应变为零；距中性轴最远的上下边缘处线应变达到最大值ε(0)=0PHYSICALRELATIONS正应力推导（二）：变形的物理关系基于纵向纤维互不挤压假设，各纤维处于单向应力状态，利用胡克定律σ=Eε将几何关系转化为应力表达式，揭示正应力沿截面高度线性分布的规律。01前提条件纵向纤维互不挤压假设成立，任意一点均处于单向应力状态，可应用胡克定律σ=Eε。该假设是材料力学分析弯曲正应力的理论基础，确保各纤维独立变形。02应力表达式将ε=y/ρ代入胡克定律，得到σ=Ey/ρ。正应力与距中性轴距离y成正比，表明应力沿截面高度呈线性分布，中性轴处应力为零。03坐标系建立以横截面纵向对称轴为y轴，中性轴为z轴，y向上为正。应力符号规定：拉应力为正，压应力为负。该坐标系为后续积分运算和应力分布分析提供统一参考框架。04待解决问题公式中曲率半径ρ为未知量，需通过截面上内力的静力学平衡条件来确定。利用轴力为零和弯矩平衡两个条件，可建立ρ与弯矩M的关系，完成应力公式的最终推导。DERIVATION·09正应力推导（三）：静力学关系与最终公式通过截面力系的三个静力学平衡条件——轴力为零证明中性轴过形心、y轴力矩为零证明形心主轴、z轴力矩等于弯矩确定曲率——最终推导出弯曲正应力公式σ=My/Iz，这是梁弯曲分析的核心公式。01轴力平衡→中性轴过形心轴力平衡条件∫σdA=0：代入σ=Ey/ρ得E/ρ∫ydA=0，由于E/ρ≠0，故∫ydA=0，证明中性轴（z轴）通过截面形心∫ydA=002力矩平衡→确定曲率力矩平衡条件∫yσdA=M：代入σ=Ey/ρ得E/ρ∫y²dA=M，其中∫y²dA=Iz（截面对z轴的惯性矩），得1/ρ=M/(EIz)1/ρ=M/(EIz)03弯曲正应力公式将1/ρ=M/(EIz)代回σ=Ey/ρ，得到弯曲正应力公式σ=My/Iz，其中M为截面弯矩，Iz为截面惯性矩σ=My/Iz04公式适用范围严格适用于纯弯曲的等截面直梁；对横力弯曲，当梁跨度远大于截面高度时近似成立L≫hSectionModulus最大正应力与抗弯截面模量最大正应力发生在距中性轴最远处，引入抗弯截面模量Wz=Iz/ymax将公式简化为σmax=M/Wz。Wz是衡量截面抗弯能力的几何参数，不同截面形状有不同的计算公式，掌握常见截面的Wz值是工程计算的基础。COREFORMULAσmax=M·ymax/Iz=M/Wz最大正应力发生在距中性轴最远的上下边缘处，Wz=Iz/ymax单位为m³或mm³01矩形截面bh²/6Wz=bh²/6，Iz=bh³/12，ymax=h/202圆形截面πd³/32Wz=πd³/32，Iz=πd⁴/64，ymax=d/203圆环截面πD³(1−α⁴)/32α=d/D（D外径，d内径），适用于空心圆管工程制图·截面型材样品BENDINGSTRESS·弯曲应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时由于剪力存在，截面会发生翘曲而不完全符合平面假设。但弹性力学精确分析表明，当梁跨度与截面高度之比l/h>5时，翘曲影响很小，纯弯曲正应力公式σ=My/Iz仍可近似使用。01横力弯曲的特点截面上同时存在弯矩M和剪力Q，各截面的弯矩随位置变化，剪力使截面产生翘曲变形，导致平截面假设不再严格成立02弹性力学精确分析横力弯曲时截面不再严格保持平面，平截面假设不完全成立，正应力分布存在一定偏差，需通过弹性力学方法进行精确求解03工程近似条件当梁的跨度l与截面高度h之比大于5（l/h>5）时，截面翘曲对正应力影响很小，可忽略不计，此时采用简化公式具有足够的工程精度04近似公式应用在l/h>5条件下，仍可使用σ=My/Iz计算横力弯曲正应力，最大误差通常小于5%，完全满足工程设计的精度要求CHAPTER02梁弯曲时的应力强度条件强度校核、截面设计与许用荷载计算第十二章·弯曲应力弯曲正应力强度条件梁的弯曲正应力强度条件为σmax=(M/Wz)max≤[σ]，要求梁内最大正应力不超过材料许用应力。基于该条件可解决三类工程问题：强度校核（验证安全性）、截面设计（确定尺寸）和确定许用荷载（计算承载力），覆盖工程设计全流程。STRENGTHCRITERIONσmax

=

M/Wz≤[σ]M最大弯矩Wz抗弯截面模量[σ]材料许用正应力01强度条件表达式σmax=(M/Wz)max≤[σ]，其中M为最大弯矩，Wz为抗弯截面模量，[σ]为材料许用正应力02强度校核已知荷载、截面尺寸和材料许用应力，计算σmax并与[σ]比较，判断梁是否满足安全要求03截面设计已知荷载和许用应力，由Wz≥Mmax/[σ]确定最小抗弯截面模量，进而选定截面型号04确定许用荷载已知截面尺寸和许用应力，由Mmax≤Wz·[σ]反算梁能承受的最大荷载值Example·BendingStress例题：矩形截面简支木梁的强度校核通过简支木梁在均布荷载下的强度校核实例，演示完整的计算流程：先求跨中最大弯矩Mmax=ql²/8，再算抗弯截面模量Wz=bh²/6，最后代入强度条件σmax=M/Wz≤[σ]验证安全性，计算结果为3.89MPa<10MPa，满足强度要求。01题目条件矩形截面简支木梁，跨度l=4m，截面尺寸b=140mm、h=210mm，承受均布荷载q=2kN/m，材料许用应力[σ]=10MPa。需要校核该梁在弯曲作用下的强度是否满足设计要求。l=4m02最大弯矩简支梁在均布荷载作用下，跨中截面弯矩最大。根据材料力学公式Mmax=ql²/8，代入数据计算：Mmax=2×4²/8=4kN·m=4×10⁶N·mm。此为梁的危险截面。4kN·m03截面模量矩形截面对中性轴的抗弯截面模量计算公式为Wz=bh²/6。将截面尺寸b=140mm、h=210mm代入：Wz=140×210²/6=140×44100/6≈1.029×10⁶mm³。1.029×10⁶04强度校核最大弯曲正应力σmax=Mmax/Wz=4×10⁶/1.029×10⁶≈3.89MPa。与许用应力比较：3.89MPa<[σ]=10MPa，强度满足要求，梁安全。3.89MPa第十二章·弯曲应力例题：根据强度条件确定最大许用荷载承接上例木梁，利用强度条件反算梁能承受的最大荷载：由Mmax=Wz·[σ]求得最大允许弯矩，再通过弯矩与荷载的关系式反算qmax=5.15kN/m，远大于实际荷载2kN/m，安全储备充足。弹性范围内也可用应力与荷载的正比关系简便求解。01最大允许弯矩由强度条件Mmax≤Wz·[σ]，得Mmax=1.029×10⁶×10=10.29×10⁶N·mm=10.29kN·m02反算最大荷载由Mmax=ql²/8反推，qmax=8Mmax/l²=8×10.29/16=5.15kN/m03简便方法弹性范围内应力与荷载成正比，qmax=q×[σ]/σmax=2×10/3.89≈5.14kN/m，结果一致。此方法无需计算截面模量，步骤更简洁。04结论验证梁能承受的最大均布荷载为5.15kN/m，是实际荷载2kN/m的2.57倍，安全储备充足。两种方法相互验证，计算结果可靠。SECTION12·EXAMPLE例题：根据强度条件选择工字钢型号通过简支梁选钢型的实例演示截面设计流程：先画弯矩图确定Mmax=38kN·m，再由Wz≥Mmax/[σ]=223.5cm³查型钢表选取20a号工字钢（Wz=237cm³）。01题目条件：简支梁跨度l=6m，集中力F₁=15kN、F₂=21kN，采用热轧普通工字钢，许用应力[σ]=170MPa02最大弯矩：画弯矩图分析，最大弯矩发生在F₂作用截面处，Mmax=38kN·m03截面模量：Wz≥Mmax/[σ]=38×10⁶/170≈223.5cm³04选型结论：查型钢表选取20a号工字钢（Wz=237cm³>223.5cm³），满足强度条件；工程允许Wz偏差≤5%热轧普通工字钢型材·钢材仓库实拍第十二章·弯曲应力脆性材料梁的强度校核：T形截面铸铁梁脆性材料（如铸铁）的抗拉与抗压许用应力不同，加之T形截面中性轴位置不对称，需分别校核最大拉应力和最大压应力。当弯矩正负变化时，危险截面可能有多个，需逐一分析各截面的拉压应力状态，确保均不超过各自许用值。脆性材料特性铸铁的抗压许用应力远大于抗拉许用应力（通常3–5倍），需分别校核拉应力σt≤[σt]和压应力σc≤[σc]。3–5×T形截面特点中性轴不通过截面几何中心，上下边缘到中性轴距离不等，导致最大拉应力和最大压应力数值不同。σ=My/Iz多危险截面分析当弯矩正负变化时，最大正弯矩截面和最大负弯矩截面都可能是危险截面，需逐一校核。M+/M−校核方法对每个危险截面分别计算上下边缘的σ=My/Iz，取最大拉应力与[σt]比较、最大压应力与[σc]比较。σt≤[σt]&σc≤[σc]CHAPTER03梁弯曲时截面上的切应力矩形、工字形与圆形截面的切应力分析第十二章·弯曲应力矩形截面梁的切应力矩形截面梁的弯曲切应力沿截面高度呈抛物线分布，中性轴处最大（τmax=3Q/2bh=1.5倍平均切应力），上下边缘处为零。这一分布规律与正应力的线性分布形成互补，是理解梁截面应力状态的重要基础。01茹拉夫斯基公式τ=QSz/(Izb)，其中Q为截面剪力，Sz为截面部分面积对中性轴的静矩，Iz为截面惯性矩，b为截面宽度。τ=QSz/(Izb)02切应力分布规律τ(y)=3Q/(2bh)·(1−4y²/h²)，沿截面高度呈二次抛物线分布，关于中性轴对称。抛物线分布03最大切应力发生在中性轴处（y=0），τmax=3Q/(2bh)=1.5×(Q/A)，为截面平均切应力的1.5倍。avg1.5τavg04边界条件在上下边缘处（y=±h/2），切应力τ=0，与梁表面无切向外力的边界条件一致。τ=0第十二章·SHEARSTRESS工字形截面梁的切应力工字形截面切应力主要集中在腹板，中性轴处最大；工程简化为剪力全由腹板承担，τmax≈Q/(h₀δ)。工字钢梁截面结构与施工现场实拍01截面特征：工字形截面由上翼缘、下翼缘和腹板三部分组成，翼缘主要承担弯矩，腹板主要承担剪力02切应力分布：腹板上切应力较大且近似均匀分布，翼缘上切应力很小，上下边缘处为零03最大切应力：τmax=Q/(8Izδ)·[bh₀²−(b−δ)h²]，发生在中性轴处，δ为腹板厚度04工程简化：常取τmax≈Q/(h₀δ)，假设全部剪力由腹板均匀承担，计算简便且偏安全第十二章·弯曲应力圆形截面梁切应力与正应力/切应力比较圆形截面中性轴处最大切应力τmax=4Q/(3A)，为平均切应力的4/3倍。细长梁中正应力是强度控制因素，仅在短粗梁或薄壁梁中切应力校核才成为必要。最大切应力公式发生在中性轴处，τmax=4Q/(3A)，为平均切应力的4/3倍4/3应力量级比矩形悬臂梁σmax/τmax=2l/h，当l/h=10时正应力为切应力的20倍20×细长梁特征当l/h>5时弯曲正应力远大于切应力，切应力校核通常自动满足l/h>5需校核切应力短粗梁、薄壁梁、集中力作用点附近及M小Q大的特殊工况SPECIALCASESStrengthAnalysis弯曲切应力强度条件与联合强度分析弯曲切应力强度条件为τmax=(QSz,max/Izδ)max≤[τ]。细长梁通常仅需校核正应力，但短粗梁、薄壁梁及M小Q大的工况需同时校核切应力。01切应力强度条件τmax=(QSz,max/Izδ)max≤[τ]，要求最大切应力不超过材料在纯剪切时的许用切应力τ≤[τ]02仅校核正应力的条件细长非薄壁梁（l/h>5），弯曲正应力远大于切应力，切应力强度通常自动满足l/h>503需同时校核切应力的工况短粗梁、薄壁截面梁、M小而Q大的区域、集中荷载作用点附近的截面M小Q大04联合强度条件在正应力σ和切应力τ均较大的危险点处，需按适当强度理论（如第四强度理论）进行综合评定σ+τ联合CHAPTER04提高梁承载能力的措施从受力优化、截面选型到变截面设计的工程策略StructuralOptimization措施一：合理安排梁的受力与支座布置通过优化支座位置和荷载分布可以有效降低梁的最大弯矩，在不增加材料用量的前提下提高承载能力。例如将简支梁改为外伸梁可使最大弯矩降低约50%，增加中间支座形成连续梁也能显著改善弯矩分布，是经济高效的结构优化策略。01外伸梁方案均布荷载下简支梁Mmax=ql²/8，若两端各外伸0.2l，Mmax降至约ql²/16，降幅达50%50%02荷载位置优化将集中荷载尽量移近支座处，可有效降低荷载作用截面的弯矩值，减小最大弯矩03增设中间支座将单跨简支梁改为多跨连续梁，各跨最大弯矩显著降低（双跨连续梁Mmax≈ql²/12）ql²/1204工程应用桥梁工程中的连续梁桥、建筑中的多跨连续楼板，都是利用这一原理提高结构承载效率SECTION·截面设计措施二：选择合理的截面形状合理截面的核心原则是让材料尽量远离中性轴以获得更大的Iz和Wz。工字形、箱形等薄壁截面比实心矩形更高效，可用Wz/A比值衡量截面经济性。工字钢、槽钢、角钢等多种截面形状钢材01核心原则：在截面面积相同条件下，尽量使材料远离中性轴分布，以获得更大的惯性矩和抗弯截面模量02截面经济性：工字形＞箱形＞矩形＞圆形（按Wz/A比值排序），工字形截面的抗弯效率最高工字形>箱形>矩形>圆形03脆性材料截面：采用T形等不对称截面，使中性轴偏向受拉一侧，让拉应力和压应力同时接近各自许用值04薄壁截面注意：壁厚不能过薄，需防止局部屈曲失稳，在抗弯效率与局部稳定性之间取得平衡ENGINEERINGMECHANICS措施三：采用变截面梁与等强度设计等强度梁使各截面最大应力恰好等于许用应力，充分利用材料。实际常以阶梯状变截面梁近似实现。鱼腹式吊车梁·工业厂房实景等强度梁原理：使梁各截面的Wz(x)=M(x)/[σ]，即截面模量随弯矩变化，每个截面的σmax都等于许用应力[σ]。材料利用效率：等截面梁仅最危险截面材料充分利用，等强度梁全部截面均充分利用，节省材料可达30%以上。工程近似实现：完全等强度梁外形复杂、加工困难，实际采用阶梯状变截面梁或多层叠板梁来近似等强度效果。典型应用实例：鱼腹式吊车梁（下翼缘曲线变化）、汽车板簧（多层叠板递减排列）、桥梁变高度梁。SUMMARY本章核心概念与公式总结以纯弯曲正应力公式为核心，结合切应力分析形成完整应力工具体系，服务于强度校核、截面设计和承载力确定三类工程问题。CoreConcepts核心概念弯曲分类：横力弯曲与纯弯曲的区别、中性层与中性轴的定义、纵向对称面与平面弯曲条件截面模量：抗弯截面模量Wz=Iz/ymax的物理意义，矩形、圆形、工字形截面的计算公式应力分布：正应力沿截面高度线性分布，中性轴上应力为零，上下边缘应力最大中性轴CoreFormulas核心公式正应力公式：弯曲正应力σ=My/Iz，最大正应力σmax=M/Wz切应力公式：切应力τ=QSz/(Izb)，矩形截面最大切应力τmax=1.5Q/A强度条件：σmax≤[σ]与τmax≤[τ]，分别用于正应力与切应力强度校核σ=My/IzApplications工程应用三类问题：强度校核、截面设计、许用荷载确定的计算流程与工程实践要点优化措施：提高承载能力三种措施——优化受力布置、选择合理截面、采用变截面等强度设计设计原则：材料远离中性轴可提高抗弯效率，工字形截面是梁结构的优选形式三类问题SECTIONPROPERTIES常见截面几何性质汇总表系统整理矩形、圆形、圆环和工字形四种常见截面的惯性矩Iz、抗弯截面模量Wz和最大切应力系数，为弯曲应力计算和截面选型提供快速查阅依据。矩形和圆形截面的公式使用频率最高，是工程设计的基础工具。常见截面几何性质对比截面类型惯性矩Iz抗弯截面模量Wzτmax/(Q/A)矩形

(b×h)bh³/12bh²/61.50圆形

(直径d)πd⁴/64πd³/321.33圆环

(外径D,内径d)πD⁴(1-α⁴)/64πD³(1-α⁴)/32≈1.33工字形查型钢表查型钢表≈Q/(h₀δ)注：矩形和圆形截面公式最常用；工字形截面参数需查型钢表获得；圆环α=d/D为内外径之比CalculationExample综合例题：矩形截面悬臂梁的正应力计算通过悬臂梁在集中力作用下的正应力计算实例，演示完整的计算流程：确定截面弯矩→计算惯性矩Iz→代入σ=My/Iz→根据弯矩方向和点位置判断拉压性质。计算中注意单位统一（N·m、m、m⁴→Pa），应力正负由物理判断确定。01题目条件：矩形截面悬臂梁，h=0.18m，b=0.12m，l=2m，自由端集中力F=1.5kN，求C截面K点（y=0.06m）正应力02截面惯性矩：Iz=bh³/12=0.12×0.18³/12=5.832×10⁻⁵m⁴，这是矩形截面对中性轴的标准惯性矩公式03代入公式计算：σ=My/Iz，其中M和y均取绝对值代入，单位为N·m、m、m⁴，计算结果单位为Pa04应力性质判断：C截面弯矩为负值，K点位于中性轴上方，梁上侧受拉，故K点产生拉应力（正值）STRESSDISTRIBUTION弯曲正应力沿截面高度的分布规律弯曲正应力沿截面高度线性分布：中性轴处为零，上下边缘达最大值。对称截面等值反号；不对称截面（如T形）不等，需分别校核。对称截面矩形、圆形01中性轴位于截面高度中点，上下边缘到中性轴的距离相等（ymax相同）02最大拉应力和最大压应力数值相等：|σt,max|=|σc,max|=M/Wzσmax=M/Wz不对称截面T形、槽形01中性轴不位于截面高度中点，上下边缘到中性轴的距离不等（y1≠y2）02最大拉应力和最大压应力数值不等，需分别校核：σt=M·y1/Iz，σc=M·y2/Izσ=M·y/IzSTRESSANALYSIS梁内各点应力状态与主应力轨迹线梁内不同位置的点处于不同的应力状态：上下边缘处为单向应力状态，中性轴处为纯剪切状态，截面内部为二向应力状态。主应力轨迹线揭示了梁内部的力