2022考研数学三强化试卷｜考前押题卷

2022考研数学三强化试卷｜考前押题卷1.设函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，且满足$\lim_{x\toa^+}f(x)=A$，$\lim_{x\tob^-}f(x)=B$，其中$A<B$。若存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=\frac{A+B}{2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(a,b)$上必存在最大值和最小值B.$f(x)$在$(a,b)$上必存在唯一的极值点C.$f(x)$在$(a,b)$上必存在零点D.$f(x)$在$(a,b)$上必存在不连续点2.设函数$y=\ln(x+1)-x^2$，则当$x\to0^+$时，$y$的渐近线方程为（）A.$y=x$B.$y=-x$C.$y=0$D.不存在渐近线3.已知函数$z=f(x,y)$满足$\frac{\partial^2f}{\partialx^2}+\frac{\partial^2f}{\partialy^2}=0$，且$f(1,1)=1$，$f_x(1,1)=2$，则$f(2,2)$的值为（）A.1B.2C.3D.44.设级数$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，且$a_n>0$，则下列级数中必收敛的是（）A.$\sum_{n=1}^\infty(a_n+\frac{1}{n})$B.$\sum_{n=1}^\infty\sqrt{a_n}$C.$\sum_{n=1}^\inftya_n^2$D.$\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n}$5.设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}$，则矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$为（）A.$\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&-2&6\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&-2&7\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$6.设向量组$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的秩为2，且$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\beta$，则向量组$\{\beta,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的秩为（）A.2B.3C.4D.57.设随机变量$X$的分布函数为$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x^3}{8},&0\leqx<2\\1,&x\geq2\end{cases}$，则$P(X\leq1)$的值为（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{7}{8}$8.设随机变量$X$和$Y$的联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{8},&0\leqx\leq2,0\leqy\leq4-x\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$E(XY)$的值为（）A.1B.2C.3D.49.设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$未知，$\sigma^2$已知，$X_1,X_2,\ldots,X_n$为样本，则$\mu$的无偏估计量是（）A.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$B.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^nX_i$C.$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nX_i$D.$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^nX_i$10.设总体$X$的概率分布为：$$P(X=k)=\begin{cases}p,&k=0\\1-2p,&k=1\\p,&k=2\end{cases}$$且已知$E(X)=1$，则$p$的值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$11.设函数$f(x)=\int_0^xt\sint^2\,dt$，则$f'(x)$的值为________。12.设函数$y=x^2\lnx$，则$y^{(10)}(1)$的值为________。13.设级数$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^p}$收敛，则$p$的取值范围是________。14.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A$的伴随矩阵$A^$的行列式$|A^|$的值为________。15.设随机变量$X$和$Y$的期望分别为$E(X)=2$，$E(Y)=3$，方差分别为$D(X)=1$，$D(Y)=4$，且$\rho_{XY}=\frac{1}{2}$，则$E(3X-2Y+5)$的值为________。16.设总体$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$X$的期望$E(X)$的值为________。17.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：存在$c\in(0,1)$，使得$f(c)=c$。18.（12分）计算二重积分$I=\iint_De^{x^2+y^2}\,dA$，其中$D$为圆域$x^2+y^2\leq1$。19.（12分）设函数$y=y(x)$由方程$xy^3+y^2-x=1$确定，求$y'(x)$和$y''(x)$。20.（12分）设向量组$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的秩为2，且$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$，$\alpha_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$。求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。21.（12分）设随机变量$X$和$Y$的联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}1,&0\leqx\leq1,0\leqy\leqx\\0,&\text{其他}\end{cases}$，求$E(XY)$和$D(XY)$。22.（12分）设总体$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\thetae^{-\thetax},&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$，其中$\theta>0$未知。$X_1,X_2,\ldots,X_n$为样本，求$\theta$的最大似然估计量。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：由连续函数介值定理，$f(x)$在$(a,b)$上必存在最大值和最小值，但未必存在极值点或零点。2.B解析：$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(x+1)-x^2}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x+1}-2x}{1}=1-0=1$，故渐近线为$y=-x$。3.C解析：由拉普拉斯方程，设$f(x,y)=x^2+y^2+C$，代入$f(1,1)=1$和$f_x(1,1)=2$，得$f(2,2)=3$。4.D解析：由比较判别法，$\frac{a_n}{n}\leqa_n$，且$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$收敛，故$\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n}$收敛。5.A解析：$A$为上三角矩阵，逆矩阵为$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$。6.B解析：向量组$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的秩为2，$\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，故$\{\beta,\alpha_1,\alpha_2\}$线性无关，秩为3。7.C解析：$P(X\leq1)=F(1)=\frac{1^3}{8}=\frac{1}{8}$。8.B解析：$E(XY)=\int_0^2\int_0^{4-x}xy\cdot\frac{1}{8}\,dy\,dx=\frac{1}{8}\int_0^2x(4-x)^2\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{8}{3}=\frac{1}{3}$。9.A解析：样本均值$\bar{X}$为$\mu$的无偏估计量。10.A解析：$E(X)=0\cdotp+1\cdot(1-2p)+2\cdotp=1$，解得$p=\frac{1}{3}$。二、填空题1.$x\sinx^2$解析：由变限积分求导公式，$f'(x)=x\sinx^2$。2.$-\frac{9!}{4}$解析：$y^{(10)}(x)=x^2\cdot\frac{10!}{x^8}+2x\cdot\frac{9!}{x^7}-2\cdot\frac{8!}{x^6}=10!+\frac{18!}{x^6}$，代入$x=1$得$-\frac{9!}{4}$。3.$(1,+\infty)$解析：由交错级数判别法，$p>1$时收敛。4.4解析：$|A^|=|A|^{n-1}=\left|\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\right|^1=1\cdot4-2\cdot3=-2$。5.1解析：$E(3X-2Y+5)=3E(X)-2E(Y)+5=3\cdot2-2\cdot3+5=1$。6.$\frac{2}{3}$解析：$E(X)=\int_0^1x\cdot2x\,dx=\frac{2}{3}$。三、解答题1.证明：令$g(x)=f(x)-x$，则$g(0)=0$，$g(1)=1-1=0$，由零点定理，存在$c\in(0,1)$，使$g(c)=0$，即$f(c)=c$。2.解：$$I=\int_0^{2\pi}\int_0^1e^r^2r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\left[\frac{1}{2}e^r^2\right]_0^1\,d\theta=\pi(e-1)$$3.解：$$y^3+3xy^2y'+2yy'-1=0$$对$x$求导：$$3y^2y'+3x(2y(y')+y^2y'')+2(y'-y''y)+0=0$$解得$y'=\frac{1-xy^3}{xy^2+1}$，$y''=\frac{2y^3-3xy^4}{(xy^2+1)^2}$。4.解：向量组秩为2，$\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$，极大无关组为$\{\alpha_1,\alpha_2\}$，$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$。5.解：$$E(XY)=\int_0^1\int_0^xxy\cdot1\,dy\