2022考研数学三押题卷｜含答案详解

2022考研数学三押题卷｜含答案详解一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$，若$f(a)=f(b)$，则下列结论错误的是：（1）存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$（2）存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$（3）存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\xi=\frac{a+b}{2}$（4）在$(a,b)$内$f(x)$单调递增或单调递减2.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$\lim_{x\to0^+}f(x)$：（1）等于1（2）等于0（3）不存在（4）等于无穷大3.设函数$y=2^x$，则其反函数的导数为：（1）$2^x\ln2$（2）$\frac{1}{2^x\ln2}$（3）$2^{-x}\ln2$（4）$\frac{1}{2^{-x}\ln2}$4.设级数$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，且$a_n>0$，则下列级数中必定收敛的是：（1）$\sum_{n=1}^\infty(a_n+\frac{1}{n})$（2）$\sum_{n=1}^\infty\sqrt{a_n}$（3）$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a_n}$（4）$\sum_{n=1}^\inftya_n^2$5.设函数$z=f(x,y)$在点$(0,0)$可微，且$f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=1$，$f_y(0,0)=-1$，则$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{f(x,y)}$：（1）等于0（2）等于1（3）不存在（4）等于-16.设$D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1\}$，则$\iint_D(x+y)\mathrm{d}\sigma$：（1）等于$\pi$（2）等于0（3）等于$\frac{\pi}{2}$（4）等于$2\pi$7.设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}$，则$A^{-1}$：（1）不存在（2）$\begin{pmatrix}1&-2&7\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$（3）$\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$（4）$\begin{pmatrix}1&2&-11\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$8.设随机变量$X$的分布律为：$$P(X=k)=\frac{C}{k+1},\k=0,1,2,3$$则$C$的值为：（1）3（2）4（3）5（4）69.设随机变量$X$和$Y$的协方差$\mathrm{Cov}(X,Y)=1$，则下列结论正确的是：（1）$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2$（2）$\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)-2$（3）$\mathrm{Cov}(2X,Y)=2\mathrm{Cov}(X,Y)$（4）$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)$10.设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$未知，从总体中抽取样本容量为$n$的样本，则$\mu$的置信水平为$95\%$的置信区间为：（1）$(\bar{X}-t_{\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}})$（2）$(\bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$（3）$(\bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}})$（4）$(\bar{X}-t_{\alpha/2,n-1}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\alpha/2,n-1}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{1+x^n}$，则$f(x)$在$(-1,1)$上的间断点为________。2.设函数$y=x^2\lnx$，则$y^{(10)}(1)$________。3.设幂级数$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n$的收敛半径为2，则幂级数$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^n$的收敛区间为________。4.设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1$，$f_x(1,1)=2$，$f_y(1,1)=3$，则$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)-3(y-1)}{(x-1)^2+(y-1)^2}$________。5.设$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A$的伴随矩阵$A^$________。6.设随机变量$X$和$Y$相互独立，$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,2)$，则$X+2Y$的分布为________。三、解答题（共6小题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0$，证明：存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。2.（10分）计算二重积分$\iint_D\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\mathrm{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1\}$。3.（10分）设函数$y=y(x)$由方程$xy^3+yx^3=1$确定，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$和$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$。4.（10分）设幂级数$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n$在$|x|<1$收敛，在$|x|>1$发散，求幂级数$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^n$的收敛半径。5.（10分）设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩阵$A^{-1}$。6.（20分）设随机变量$X$和$Y$的联合分布律为：$$\begin{array}{c|ccc}(X,Y)&(-1,0)&(0,1)&(1,2)\\\hlineP&0.2&0.3&0.5\\\end{array}$$求（1）$X$和$Y$的边缘分布律；（2）$X$和$Y$是否相互独立？（3）$Z=X+Y$的分布律。【标准答案】一、单项选择题1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.B8.A9.D10.A二、填空题1.$x=1$2.$\frac{9!}{2^5}$3.$(-2,2)$4.05.$\begin{pmatrix}4&-6\\-3&5\end{pmatrix}$6.$N(2,5)$三、解答题1.证明：令$F(x)=xf(x)$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=F(1)=0$。由罗尔定理，存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$F'(\xi)=0$。又$F'(x)=f(x)+xf'(x)$，故$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。2.解：$\iint_D\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{4}(5\sqrt{5}-1)$。3.解：对方程两边求导，$y^3+3xy^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3x^2y+xy^3\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=0$，解得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{3xy^2+3x^2y}{3xy^2+xy^3}=-\frac{y}{x}$。再求导，$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\frac{y}{x})=-\frac{x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y}{x^2}=\frac{y^2-x^2}{x^3}$。4.解：令$x=1/t$，则$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n=\sum_{n=0}^\inftya_n\frac{1}{t^n}$在$|t|>1$发散，在$|t|<1$收敛，故$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n$的收敛半径为1。由$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$的收敛半径为2，得$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^n$的收敛半径为2。5.解：$A$为上三角矩阵，$|A|=1$，$A_{11}=1$，$A_{12}=-4$，$A_{13}=5$，$A_{21}=0$，$A_{22}=0$，$A_{23}=0$，$A_{31}=0$，$A_{32}=0$，$A_{33}=1$，故$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$。6.解：（1）$P(X=-1)=0.2$，$P(X=0)=0.3$，$P(X=1)=0.5$；$P(Y=0)=0.2$，$P(Y=1)=0.3$，$P(Y=2)=0.5$；（2）$P(X=-1,Y=0)=0.2$，$P(X=0,Y=1)=0.3$，$P(X=1,Y=2)=0.5$，$P(X=-1,Y=1)=0$，$P(X=-1,Y=2)=0$，$P(X=0,Y=0)=0$，$P(X=0,Y=2)=0$，$P(X=1,Y=0)=0$，故$X$和$Y$相互独立；（3）$P(Z=-1)=0.2$，$P(Z=0)=0.3$，$P(Z=1)=0.2$，$P(Z=2)=0.3$。【详细解析】一、单项选择题1.解析：由$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0$，由罗尔定理，存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$，故（1）正确；由拉格朗日中值定理，存在唯一的$\eta\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\eta)$，故（2）正确；若$f(x)$在$(a,b)$内单调递增或单调递减，则$f'(x)\leq0$或$f'(x)\geq0$，与$f'(x)\neq0$矛盾，故（3）错误；由$f(x)$在$(a,b)$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，由罗尔定理，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$，故（4）正确。2.解析：$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{1+x}=1$，故选A。3.解析：设$y=2^x$，则$x=\log_2y$，$f^{-1}(x)=\log_2x$，$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{x\ln2}$，故选B。4.解析：由级数$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，且$a_n>0$，得$\lim_{n\to\infty}a_n=0$，故$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty$，故$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a_n}$发散；$\sqrt{a_n}\geq0$，且$\sqrt{a_n}\geqa_n$，故$\sum_{n=1}^\infty\sqrt{a_n}$发散；$\sum_{n=1}^\inftya_n^2$可能收敛也可能发散，如$a_n=\frac{1}{n^2}$时收敛，$a_n=\frac{1}{n}$时发散；$\sum_{n=1}^\infty(a_n+\frac{1}{n})$发散，故选D。5.解析：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{f(x,y)}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+o(\sqrt{x^2+y^2})}=\frac{1}{1}\cdot1=-1$，故选D。6.解析：$\iint_D(x+y)\mathrm{d}\sigma=\iint_Dx\mathrm{d}\sigma+\iint_Dy\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1r\cos\thetar\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta+\int_0^{2\pi}\int_0^1r\sin\thetar\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{2}$，故选C。7.解析：$|A|=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{vmatrix}=1\neq0$，故$A$可逆，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$，故选B。8.解析：$\sum_{k=0}^3P(X=k)=C=1$，故$C=5$，故选C。9.解析：$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=2\mathrm{Var}(X)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=4$，故（1）错误；$\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)=0$，故（2）错误；$\mathrm{Cov}(2X,Y)=2\mathrm{Cov}(X,Y)=2$，故（3）错误；$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)$，故选D。10.解析：由$\sigma^2$未知，用$t$分布，故选A。二、填空题1.解析：当$x\in(-1,1)$时，$|x^n|\leq1$，故$f(x)=\frac{x^n}{1+x^n}$，当$x\in(-1,0)\cup(0,1)$时，$f(x)$连续，当$x=1$时，$\lim_{x\to1^-}f(x)=\frac{1}{2}\neq1=\lim_{x\to1^+}f(x)$，故$x=1$为间断点。2.解析：$y^{(10)}=x^2\cdot\frac{(10)!}{2^5}$，$y^{(10)}(1)=\frac{10!}{2^5}=945$。3.解析：由收敛半径为2，得$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2}$，故$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^n$的收敛半径为2。4.解析：$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)-3(y-1)}{(x-1)^2+(y-1)^2}=\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f_x(x,y)-2}{2(x-1)}+\frac{f_y(x,y)-3}{2(y-1)}=0$。5.解析：$A^=\begin{pmatrix}4&-6\\-3&5\end{pmatrix}$。6.解析：$X+2Y\simN(1,5)$。三、解答题1.证明：令$F(x)=xf(x)$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=F(1)=0$。由罗尔定理，存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$F'(\xi)=0$。又$F'(x)=f(x)+xf'(x)$，故$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。2.解：$\iint_D\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{4}(5\sqrt{5}-1)$。3.解：对方程两边求导，$y^3+3xy^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3x^2y+xy^3\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=0$，解得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{3xy^2+3x^2y}{3xy^2+xy^3}=-\frac{y}{x}$。再求导，$\frac{\mathrm{d}^