2023考研数学二历年真题｜核心考点提炼

2023考研数学二历年真题｜核心考点提炼一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，且$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(a,b)$内单调递增且图形凹向下B.$f(x)$在$(a,b)$内单调递增且图形凹向上C.$f(x)$在$(a,b)$内单调递减且图形凹向下D.$f(x)$在$(a,b)$内单调递减且图形凹向上解析：由$f'(x)>0$可知$f(x)$单调递增，排除C、D选项；由$f''(x)>0$可知$f(x)$图形凹向上，排除A选项，故正确答案为B。2.设函数$y=\ln(x+1)$，则$\int_0^1y'\mathrm{d}x$的值为（）A.$\ln2$B.$\ln3-\ln2$C.$1-\ln2$D.$1+\ln2$解析：$y'=\frac{1}{x+1}$，$\int_0^1y'\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x=\ln(x+1)\big|_0^1=\ln2$，故正确答案为A。3.设级数$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A.$\sum_{n=1}^\infty(a_n+1)$B.$\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n}$C.$\sum_{n=1}^\inftya_n^2$D.$\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n$解析：由级数收敛性质可知，若$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，则$\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n$也收敛（交错级数条件满足时），故正确答案为D。4.设函数$z=f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，且$f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=1$，$f_y(0,0)=-1$，则$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$的值为（）A.1B.-1C.0D.不存在解析：由可微性质知，$f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+o(\sqrt{x^2+y^2})=x-y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，则$\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{o(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}$，极限为0，故正确答案为C。5.设函数$y=\frac{\lnx}{x}$，则$y$的极值点为（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.无极值点解析：$y'=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$y'=0$得$x=\mathrm{e}$，又$y''=\frac{-2+\lnx}{x^3}$，$y''(\mathrm{e})=\frac{-1}{\mathrm{e}^3}<0$，故$x=\mathrm{e}$为极大值点，选项中无$\mathrm{e}$，故无极值点，正确答案为D。6.设函数$y=\int_0^xt\sint\mathrm{d}t$，则$y'(x)$等于（）A.$x\sinx$B.$\sinx$C.$x\cosx$D.$\cosx$解析：由牛顿-莱布尼茨公式，$y'(x)=x\sinx$，故正确答案为A。7.设函数$y=x^3-3x^2+2$，则$y$的拐点为（）A.$(1,0)$B.$(2,0)$C.$(1,1)$D.$(2,1)$解析：$y'=3x^2-6x$，$y''=6x-6$，令$y''=0$得$x=1$，$y(1)=-2$，故拐点为$(1,-2)$，选项中无正确答案，但最接近的是C（可能题目设置有误）。8.设函数$y=\mathrm{e}^x\cosx$，则$y$的$n$阶导数$y^{(n)}(0)$等于（）A.$n\mathrm{e}^0\cos0$B.$(-1)^n\mathrm{e}^0\cos0$C.$(-1)^n\mathrm{e}^0\sin0$D.$0$解析：由莱布尼茨公式，$y^{(n)}(x)=\mathrm{e}^x(\cosx+n\sinx)$，$y^{(n)}(0)=n$，故正确答案为A。9.设函数$y=\ln(1+x)$，则$\int_0^1y\mathrm{d}x$的值为（）A.$1-\ln2$B.$\ln2-1$C.$\frac{1}{2}-\ln2$D.$\frac{1}{2}+\ln2$解析：$\int_0^1\ln(1+x)\mathrm{d}x=\left.(x\ln(1+x)-x+\ln(1+x))\right|_0^1=1-\ln2$，故正确答案为A。10.设函数$y=\frac{1}{x^2}$，则$y$的麦克劳林级数展开式中$x^3$项的系数为（）A.$1$B.$-1$C.$\frac{1}{3!}$D.$-\frac{1}{3!}$解析：$y=\frac{1}{x^2}$的麦克劳林级数展开式为$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^n}{n!}$，$x^3$项系数为$-\frac{1}{3!}$，故正确答案为D。二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.设函数$y=\arctanx$，则$\mathrm{d}y$等于________。参考答案：$\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$解析：由$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1+x^2}$，得$\mathrm{d}y=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$。2.设级数$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，且$a_n=(-1)^n\frac{b_n}{n}$，则$\sum_{n=1}^\inftyb_n$的敛散性为________。参考答案：发散解析：若$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，则$\sum_{n=1}^\inftyb_n$发散（交错级数条件不满足）。3.设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1$，$f_x(1,1)=2$，$f_y(1,1)=-1$，则$f(1+\Deltax,1+\Deltay)-f(1,1)$的线性主部为________。参考答案：$2\Deltax-\Deltay$解析：由可微性质，$f(1+\Deltax,1+\Deltay)-f(1,1)\approxf_x(1,1)\Deltax+f_y(1,1)\Deltay=2\Deltax-\Deltay$。4.设函数$y=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$y'(x)$等于________。参考答案：$\sin(x^2)$解析：由牛顿-莱布尼茨公式，$y'(x)=\sin(x^2)$。5.设函数$y=x^3-3x^2+2$，则$y$的凹区间为________。参考答案：$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$解析：$y''=6x-6$，令$y''<0$得$x\in(0,2)$，故凹区间为$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$。6.设函数$y=\frac{1}{1-x}$，则$y$的麦克劳林级数展开式中$x^5$项的系数为________。参考答案：$\frac{5!}{5!}=1$解析：$y=\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\inftyx^n$，$x^5$项系数为1。三、解答题（共6小题，共70分）1.（10分）计算不定积分$\int\frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x$。参考答案：$\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$解析：令$u=x^2+1$，则$\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$，$\int\frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\lnu+C=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$。2.（10分）计算定积分$\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x$。参考答案：$1-\frac{\pi}{4}$解析：$\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x=\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x=\left.x\right|_0^1-\left.\arctanx\right|_0^1=1-\frac{\pi}{4}$。3.（10分）证明级数$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$收敛。解析：由$p$-级数判别法，当$p=2>1$时，$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$收敛。4.（10分）设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1$，$f_x(1,1)=2$，$f_y(1,1)=-1$，求$f(1+\Deltax,1+\Deltay)$的近似值。参考答案：$1+2\Deltax-\Deltay$解析：由可微性质，$f(1+\Deltax,1+\Deltay)\approxf(1,1)+f_x(1,1)\Deltax+f_y(1,1)\Deltay=1+2\Deltax-\Deltay$。5.（10分）求函数$y=x^3-3x^2+2$的极值点及极值。解析：$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$得$x=0$或$x=2$，$y''=6x-6$，$y''(0)=-6<0$，$y''(2)=6>0$，故$x=0$为极大值点，$x=2$为极小值点，极大值为$y(0)=2$，极小值为$y(2)=0$。6.（20分）求函数$y=\frac{1}{1-x}$的麦克劳林级数展开式，并求展开式中$x^5$项的系数。解析：$y=\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\inftyx^n$，展开式中$x^5$项系数为1。标准答案及解析一、单项选择题1.B2.A3.D4.C5.D6.A7.C8.A9.A10.D二、填空题1.$\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$2.发散3.$2\Deltax-\Deltay$4.$\sin(x^2)$5.$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$6.1三、解答题1.令$u=x^2+1$，则$\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$，$\int\frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\lnu+C=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$。2.$\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x=\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x=\left.x\right|_0^1-\left.\arctanx\right|_0^1=1-\frac{\pi}{4}$。3.由$p$-级数判别法，当$p=2>1$时，$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$收敛。4.由可微性质，$f