2023考研数学三历年真题｜核心考点提炼

2023考研数学三历年真题｜核心考点提炼一、单项选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置上。）1.设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=c$，其中$c$为非零常数，则$f(x)$在$x_0$处（A）取极值但非最值（B）非极值但存在最值（C）既非极值也非最值（D）取最值且为极值点2.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f''(x)>0$，已知$f(0)=0$，$f'(0)=1$，则当$x>0$时，下列不等式成立的是（A）$f(x)>x$（B）$f(x)>x^2$（C）$f(x)>x^3$（D）$f(x)>x^4$3.已知函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1$，$\frac{\partialf}{\partialx}(1,1)=2$，$\frac{\partialf}{\partialy}(1,1)=-3$，则$\lim\limits_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)+3(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}$等于（A）1（B）2（C）3（D）44.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-y+x=1$确定，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在点$(1,1)$处的值为（A）-2（B）-1（C）1（D）25.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$\int_0^xf(t)dt=x^2(1+x)$，则$f(0)$等于（A）1（B）2（C）3（D）46.设函数$F(x)=\int_0^xf(t)(x-t)dt$，其中$f(x)$连续，则$F''(x)$等于（A）$f(x)$（B）$2f(x)$（C）$x^2f(x)$（D）$x^2f'(x)$7.已知函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$存在且非零，则当$x\to0$时，$f(x)$是（A）$x$的同阶无穷小（B）$x^2$的同阶无穷小（C）$x^3$的同阶无穷小（D）$x^4$的同阶无穷小8.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，则下列结论正确的是（A）若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$（B）若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增（C）若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凹向向上（D）若$f(a)>f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)>0$9.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内除有限个点外$f'(x)$存在且连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可积（A）正确（B）错误10.已知级数$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，且$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=1$，则级数$\sum_{n=1}^\inftyn(a_n-a_{n+1})$（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不确定11.设幂级数$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n$的收敛半径为R，则幂级数$\sum_{n=0}^\inftya_n(x-2)^n$的收敛半径为（A）$\frac{R}{2}$（B）$R$（C）$2R$（D）$2/R$12.设函数$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}$，则$f(x)$的麦克劳林级数展开式为（A）$\frac{1}{2}\mathrm{e}^x+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}$（B）$\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$（C）$\frac{1}{2}(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x})$（D）$\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}$13.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)dx=1$，则下列不等式成立的是（A）$\int_0^1f^2(x)dx\leq1$（B）$\int_0^1f^2(x)dx\geq1$（C）$\int_0^1f^3(x)dx\leq1$（D）$\int_0^1f^3(x)dx\geq1$14.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx=0$，$\int_a^bxf(x)dx=1$，则$\int_a^b(f(x)+1)^2dx$等于（A）1（B）2（C）3（D）415.已知函数$y=\ln(\sinx)$，则$y^{(10)}(0)$的值为（A）$-\frac{9!}{\sin0}$（B）$-\frac{9!}{\cos0}$（C）$\frac{9!}{\sin0}$（D）$\frac{9!}{\cos0}$16.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，则下列结论正确的是（A）若$f'(x)\equiv0$，则$f(x)$为常数（B）若$f(x)$为常数，则$f'(x)\equiv0$（C）若$f''(x)>0$，则$f'(x)$单调递增（D）若$f'(x)>0$，则$f''(x)>0$17.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，则下列结论正确的是（A）若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$（B）若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增（C）若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凹向向上（D）若$f(a)>f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)>0$18.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内除有限个点外$f'(x)$存在且连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可积（A）正确（B）错误19.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，则下列结论正确的是（A）若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$（B）若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增（C）若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凹向向上（D）若$f(a)>f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)>020.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，则下列结论正确的是（A）若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$（B）若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增（C）若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凹向向上（D）若$f(a)>f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)>0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡相应位置上。）1.设函数$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{x^n}{1+x^n}+\frac{x}{2}\right)$，则$f(x)$的间断点为________。2.设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$存在且非零，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x^2$的同阶无穷小，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$的值为________。3.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，若$f(a)=f(b)$，则根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=$________。4.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx=1$，则根据柯西不等式，$\left(\int_a^bf^2(x)dx\right)\left(\int_a^b1^2dx\right)\geq$________。5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增，则$f(x)$在$(a,b)$内________极值。6.设幂级数$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n$的收敛半径为R，则幂级数$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^n$的收敛半径为________。三、解答题（本大题共10小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）【标准答案及解析】一、单项选择题1.（D）解析：由$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=c$，令$t=x-x_0$，则$\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t+x_0)-f(x_0)}{t^2}=c$。当$t\to0$时，$\frac{f(t+x_0)-f(x_0)}{t^2}=\frac{f'(t+x_0)}{2t}+\frac{f''(t+x_0)}{2}$，由$f'(x_0)=0$，得$\lim\limits_{t\to0}\frac{f'(t+x_0)}{2t}=0$，故$\lim\limits_{t\to0}\frac{f''(t+x_0)}{2}=c$，即$f''(x_0)=2c\neq0$。由泰勒公式，$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)$，故$f(x)=f(x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)$。当$x\tox_0$时，$f(x)-f(x_0)=\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)\sim\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$，故$f(x)$在$x_0$处取极值。又$f''(x_0)\neq0$，故$f(x)$在$x_0$处取最值。故选D。2.（A）解析：由$f''(x)>0$，得$f'(x)$单调递增。由$f(0)=0$，$f'(0)=1$，得$f'(x)>f'(0)=1$，即$f'(x)>1$。故$f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)dt=f(0)+\int_0^x(f'(t)-1)dt+\int_0^x1dt>0+x=x$。故选A。3.（A）解析：由$f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，得$f(x,y)=f(1,1)+\frac{\partialf}{\partialx}(1,1)(x-1)+\frac{\partialf}{\partialy}(1,1)(y-1)+o(\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2})$，故$f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)+3(y-1)=\frac{\partialf}{\partialx}(1,1)(x-1)+\frac{\partialf}{\partialy}(1,1)(y-1)+o(\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2})$，故$\lim\limits_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)+3(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=\frac{\partialf}{\partialx}(1,1)+\frac{\partialf}{\partialy}(1,1)=2-3=-1$。故选A。4.（D）解析：对方程$2y^3-y+x=1$两边关于$x$求导，得$6y^2y'-y'+1=0$，在点$(1,1)$处，$y=1$，$y'=1$，代入上式，得$6y^2y'-y'+1=6-1+1=6\neq0$，故方程$2y^3-y+x=1$在点$(1,1)$处不可导。故选D。5.（B）解析：对$\int_0^xf(t)dt=x^2(1+x)$两边关于$x$求导，得$f(x)=2x+3x^2$，故$f(0)=0+0=0$。故选B。6.（B）解析：$F(x)=x\int_0^xf(t)dt-\int_0^xtf(t)dt$，故$F'(x)=\int_0^xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=\int_0^xf(t)dt$，故$F''(x)=f(x)$。故选B。7.（B）解析：由$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$存在且非零，得当$x\to0$时，$f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}x^2=Ax^2$，其中$A=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$非零。故$f(x)$是$x^2$的同阶无穷小。故选B。8.（B）解析：由$f'(x)>0$，得$f(x)$单调递增。故选B。9.（A）解析：由$f(x)$在$[a,b]$上连续，得$f(x)$在$[a,b]$上可积。故选A。10.（C）解析：由$\sum_{n=1}^\inftya_n$收敛，得$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，故$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=1$，得$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n}}=1$，故$\sum_{n=1}^\inftyn(a_n-a_{n+1})$与$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$同敛散，故$\sum_{n=1}^\inftyn(a_n-a_{n+1})$发散。故选C。11.（C）解析：由$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=R^{-1}$，得$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}(x-2)^{n+1}}{a_nx^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}(\frac{x-2}{x})^{n+1}=R^{-1}(\frac{x-2}{x})^{n+1}=0$，故幂级数$\sum_{n=0}^\inftya_n(x-2)^n$的收敛半径为2R。故选C。12.（A）解析：$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(x^2)^n}{(2n)!}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-x^2)^n}{(2n)!}$，故$f(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^x+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}$。故选A。13.（A）解析：由柯西不等式，$\left(\int_0^1f^2(x)dx\right)\left(\int_0^11^2dx\right)\geq\left(\int_0^1f(x)dx\right)^2=1^2=1$，故$\int_0^1f^2(x)dx\leq1$。故选A。14.（C）解析：$\int_a^b(f(x)+1)^2dx=\int_a^b(f^2(x)+2f(x)+1)dx=\int_a^bf^2(x)dx+2\int_a^bf(x)dx+\int_a^b1dx$，故$\int_a^b(f(x)+1)^2dx=\int_a^bf^2(x)dx+2+1=\int_a^bf^2(x)dx+3$。故选C。15.（B）解析：$y'=\frac{1}{\sinx}\cosx=\cotx$，$y''=-\csc^2x$，$y'''=-2\csc^2x\cotx$，$y^{(4)}=-2\csc^2x\cotx+4\csc^4x$，故$y^{(10)}(0)=-\frac{9!}{\cos0}=-\frac{9!}{1}=-9!$。故选B。16.（B）解析：若$f(x)$为常数，则$f'(x)=0$，故$f'(x)\equiv0$。故选B。17.（A）解析：由罗尔定理，若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。故选A。18.（A）解析：由$f(x)$在$[a,b]$上连续，得$f(x)$在$[a,b]$上可积。故选A。19.（A）解析：由罗尔定理，若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。故选A。20.（A）解析：由罗尔定理，若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。故选A。二、填空题1.0解析：当$|x|<1$时，$f(x)=\frac{x}{2}$；当$x=1$时，$f(x)=1$；当$x=-1$时，$f(x)=\frac{1}{2}$；当$|x|>1$时，$f(x)=1$。故$f(x)$的间断点为$x=-1$。2.1解析：由$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$存在且非零，得当$x\to0$时，$f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}x^2=Ax^2$，其中$A=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$非零。故$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=A$。3.0解析：由罗尔定理，若$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。4.1解析：由柯西不等式，$\left(\int_a^bf^2(x)dx\right)\left(\int_a^b1^2dx\right)\geq\left(\int_a^bf(x)dx\right)^2=1^2=1$。5.无解析：由$f'(x)>0$，得$f(x)$单调递增，故$f(x)$在$(a,b)$内无极值。6.R解析：由$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=R^{-1}$，得$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{a_{n+1}}{n+2}}{\frac{a_n}{n+1}}=R^{-1}$，故幂级数$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^n$的收敛半径为R。三、解答题1.证明：由$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$存在且非零，得当$x\to0$时，$f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}x^2=Ax^2$，其中$A=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$非零。故$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=A$，且$f(x)$是$x^2$的同阶无穷小。2.证明：由罗尔定理，若$