2023年全国统考数学三历年真题（详细解析）

2023年全国统考数学三历年真题（详细解析）1.设函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上具有二阶导数，且$f(1)=0,\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x\lnx}=1$，则（）（A）$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加；（B）$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调减少；（C）存在$a\in(0,+\infty)$，使得$f(x)$在$(0,a)$上单调增加，在$(a,+\infty)$上单调减少；（D）存在$a\in(0,+\infty)$，使得$f(x)$在$(0,a)$上单调减少，在$(a,+\infty)$上单调增加。2.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)dx=0,\int_0^1xf(x)dx=1$，则$\int_0^1(x-1)^2f(x)dx$等于（）（A）-2；（B）-1；（C）1；（D）2。3.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f(x)$满足微分方程$xy''+3y'-3y=0$，若$f(1)=0,f'(1)=2$，则$f(2)$等于（）（A）$-2$；（B）$-1$；（C）1；（D）2。4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^3}\int_0^xt^3\mathrm{d}t$，则$f^{'}(1)$等于（）（A）$-\frac{1}{3}$；（B）$-\frac{1}{6}$；（C）$\frac{1}{3}$；（D）$\frac{1}{6}$。5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则方程$\int_a^xf(t)dt=\frac{1}{2}\int_x^bf(t)dt$在$(a,b)$内有唯一实根$x_0$的充分条件是（）（A）$f(x)$在$(a,b)$上单调增加；（B）$f(x)$在$(a,b)$上单调减少；（C）$f(x)$在$(a,b)$上不单调；（D）$f(x)$在$(a,b)$上单调，且$f(x)$在$(a,b)$上不恒等于常数。6.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geq0$，则$\iint_{D}f(x,y)d\sigma\leq\iint_{D}f(x,y)d\sigma$成立的充分条件是（）其中$D_1=\{(x,y)\mida\leqx\leqb,a\leqy\leqb\}$，$D_2=\{(x,y)\mida\leqx\leqb,0\leqy\leqf(x)\}$。（A）$f(x)$在$[a,b]$上单调增加；（B）$f(x)$在$[a,b]$上单调减少；（C）$f(x)$在$[a,b]$上不单调；（D）$f(x)$在$[a,b]$上单调，且$f(x)$在$[a,b]$上不恒等于常数。7.已知函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上连续，且$\int_0^xf(t)dt=x^2(1+\sinx)$，则$f(\pi)$等于（）（A）$2\pi+1$；（B）$2\pi-1$；（C）$4\pi+2$；（D）$4\pi-2$。8.已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=1,f(1)=2$，则存在$\xi\in(0,1)$，使得$3\xi^2f'(\xi)+2\xif(\xi)=1$的充分条件是（）（A）$f(x)$在$[0,1]$上单调增加；（B）$f(x)$在$[0,1]$上单调减少；（C）$f(x)$在$[0,1]$上不单调；（D）$f(x)$在$[0,1]$上单调，且$f(x)$在$[0,1]$上不恒等于常数。9.已知函数$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶连续导数，且$f(0)=1,f(1)=2$，则$\int_0^1f(x)dx\leq\int_0^1f(x)dx$的充分条件是（）（A）$f(x)$在$[0,1]$上单调增加；（B）$f(x)$在$[0,1]$上单调减少；（C）$f(x)$在$[0,1]$上不单调；（D）$f(x)$在$[0,1]$上单调，且$f(x)$在$[0,1]$上不恒等于常数。10.已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0,f(1)=1$，则存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=1$的充分条件是（）（A）$f(x)$在$[0,1]$上单调增加；（B）$f(x)$在$[0,1]$上单调减少；（C）$f(x)$在$[0,1]$上不单调；（D）$f(x)$在$[0,1]$上单调，且$f(x)$在$[0,1]$上不恒等于常数。1.设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上具有二阶导数，且$f(0)=0,\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x\lnx}=1$，若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调性为________。2.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)dx=0,\int_0^1xf(x)dx=1$，则$\int_0^1(x-1)^2f(x)dx$等于________。3.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f(x)$满足微分方程$xy''+3y'-3y=0$，若$f(1)=0,f'(1)=2$，则$f(2)$等于________。4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^3}\int_0^xt^3\mathrm{d}t$，则$f^{'}(1)$等于________。5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则方程$\int_a^xf(t)dt=\frac{1}{2}\int_x^bf(t)dt$在$(a,b)$内有唯一实根$x_0$的充分条件是________。6.已知函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geq0$，则$\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\leq\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$成立的充分条件是________。其中$D_1=\{(x,y)\mida\leqx\leqb,a\leqy\leqb\}$，$D_2=\{(x,y)\mida\leqx\leqb,0\leqy\leqf(x)\}$。1.（10分）设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上具有二阶导数，且$f(0)=0,\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x\lnx}=1$，若$f''(x)>0$，证明$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加。2.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)dx=0,\int_0^1xf(x)dx=1$，求$\int_0^1(x-1)^2f(x)dx$的值。3.（10分）设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f(x)$满足微分方程$xy''+3y'-3y=0$，若$f(1)=0,f'(1)=2$，求$f(2)$的值。4.（10分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^3}\int_0^xt^3\mathrm{d}t$，求$f^{'}(1)$的值。5.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明方程$\int_a^xf(t)dt=\frac{1}{2}\int_x^bf(t)dt$在$(a,b)$内有唯一实根$x_0$的充分条件是$f(x)$在$(a,b)$上单调，且$f(x)$在$(a,b)$上不恒等于常数。6.（20分）已知函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geq0$，证明$\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\leq\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$成立的充分条件是$f(x)$在$[a,b]$上单调，且$f(x)$在$[a,b]$上不恒等于常数。其中$D_1=\{(x,y)\mida\leqx\leqb,a\leqy\leqb\}$，$D_2=\{(x,y)\mida\leqx\leqb,0\leqy\leqf(x)\}$。标准答案及解析一、单项选择题1.（A）解析：由$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x\lnx}=1$，得$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x}=0$，即$f(0)=0$，又$f(1)=0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加。2.（B）解析：$\int_0^1(x-1)^2f(x)dx=\int_0^1(x^2-2x+1)f(x)dx=\int_0^1x^2f(x)dx-2\int_0^1xf(x)dx+\int_0^1f(x)dx=1-2+0=-1$。3.（C）解析：$f(x)$满足微分方程$xy''+3y'-3y=0$，即$y''+\frac{3}{x}y'-\frac{3}{x}y=0$，其特征方程为$r^2+\frac{3}{x}r-\frac{3}{x}=0$，解得$r_1=1,r_2=-3$，所以通解为$y=C_1x+C_2x^{-3}$，由$f(1)=0,f'(1)=2$，得$C_1=1,C_2=-1$，所以$f(x)=x-x^{-3}$，$f(2)=2-2^{-3}=2-\frac{1}{8}=\frac{15}{8}$。4.（D）解析：$f(x)=\frac{1}{x^3}\int_0^xt^3\mathrm{d}t=\frac{1}{4x^3}x^4=\frac{x}{4}$，所以$f^{'}(x)=\frac{1}{4}$，$f^{'}(1)=\frac{1}{4}$。5.（D）解析：令$F(x)=\int_a^xf(t)dt-\frac{1}{2}\int_x^bf(t)dt$，则$F'(x)=-\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(x)=0$，所以$F(x)$在$(a,b)$上单调，且$f(x)$在$(a,b)$上不恒等于常数。6.（A）解析：$\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_a^bf(x,y)dy$，$\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_0^{f(x)}f(x,y)dy$，由于$f(x)$在$[a,b]$上单调增加，所以$\int_0^{f(x)}f(x,y)dy\leq\int_a^bf(x,y)dy$，所以$\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\leq\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$。7.（B）解析：$\int_0^xf(t)dt=x^2(1+\sinx)$，两边对$x$求导得$f(x)=2x(1+\sinx)+x^2\cosx$，所以$f(\pi)=2\pi(1+\sin\pi)+\pi^2\cos\pi=2\pi-1$。8.（A）解析：令$F(x)=3x^2f'(x)+2xf(x)$，则$F(0)=0,F(1)=3f'(1)+2f(1)=8$，由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$F'(\xi)=0$，即$6\xif'(\xi)+3x^2f''(\xi)+2f(\xi)+2xf'(\xi)=0$，所以$3\xi^2f'(\xi)+2\xif(\xi)=1$。9.（D）解析：令$F(x)=\int_0^xf(t)dt$，则$F(0)=0,F(1)=\int_0^1f(t)dt$，由积分中值定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$F(1)=f(\xi)$，所以$\int_0^1f(x)dx=F(1)=f(\xi)$，由于$f(x)$在$[0,1]$上单调，且$f(x)$在$[0,1]$上不恒等于常数，所以$f(\xi)\neqf(0)=1$，所以$\int_0^1f(x)dx\leq\int_0^1f(x)dx$。10.（A）解析：令$F(x)=f(x)-x$，则$F(0)=1,F(1)=1$，由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$F'(\xi)=0$，即$f'(\xi)-1=0$，所以$f'(\xi)=1$。二、填空题1.单调增加解析：由$f''(x)>0$，得$f'(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加，又由$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x\lnx}=1$，得$f'(0)=0$，所以$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加。2.-1解析：$\int_0^1(x-1)^2f(x)dx=\int_0^1(x^2-2x+1)f(x)dx=\int_0^1x^2f(x)dx-2\int_0^1xf(x)dx+\int_0^1f(x)dx=1-2+0=-1$。3.1解析：$f(x)$满足微分方程$xy''+3y'-3y=0$，即$y''+\frac{3}{x}y'-\frac{3}{x}y=0$，其特征方程为$r^2+\frac{3}{x}r-\frac{3}{x}=0$，解得$r_1=1,r_2=-3$，所以通解为$y=C_1x+C_2x^{-3}$，由$f(1)=0,f'(1)=2$，得$C_1=1,C_2=-1$，所以$f(x)=x-x^{-3}$，$f(2)=2-2^{-3}=2-\frac{1}{8}=\frac{15}{8}$。4.$\frac{1}{4}$解析：$f(x)=\frac{1}{x^3}\int_0^xt^3\mathrm{d}t=\frac{1}{4x^3}x^4=\frac{x}{4}$，所以$f^{'}(x)=\frac{1}{4}$，$f^{'}(1)=\frac{1}{4}$。5.$f(x)$在$(a,b)$上单调，且$f(x)$在$(a,b)$上不恒等于常数解析：令$F(x)=\int_a^xf(t)dt-\frac{1}{2}\int_x^bf(t)dt$，则$F'(x)=-\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(x)=0$，所以$F(x)$在$(a,b)$上单调，且$f(x)$在$(a,b)$上不恒等于常数。6.$f(x)$在$[a,b]$上单调，且$f(x)$在$[a,b]$上不恒等于常数解析：$\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_a^bf(x,y)dy$，$\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_0^{f(x)}f(x,y)dy$，由于$f(x)$在$[a,b]$上单调增加，所以$\int_0^{f(x)}f(x,y)dy\leq\int_a^bf(x,y)dy$，所以$\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\leq\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$。三、解答题1.证明：由$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x\lnx}=1$，得$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x}=0$，即$f'(0)=0$，又$f''(x)>0$，所以$f'(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加，又由$f'(0)=0$，得$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加。2.解：$\int_0^1(x-1)^2f(x)dx=\int_0^1(x^2-2x+1)f(x)dx=\int_0^1x^2f(x)dx-2\int_0^1xf(x)dx+\int_0^1f(x)dx=1-2+0=-1$