2023年全国统考数学一习题集（核心考点提炼）

2023年全国统考数学一习题集（核心考点提炼）（数学一真题范式：单项选择题约10题，每题5分，共50分；填空题约6题，每题5分，共30分；解答题约6题，共70分，总分150分）一、单项选择题（每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶连续导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=0$，则下列命题正确的是（）A.$f(0)=0$且$f'(0)=0$B.$f(0)=0$但$f'(0)\neq0$C.$f(0)\neq0$且$f'(0)=0$D.$f(0)\neq0$且$f'(0)\neq0$2.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}&x\neq0\\0&x=0\end{cases}$，则$f(x)$在$x=0$处（）A.不连续B.连续但不可导C.可导且$f'(0)=0$D.可导但$f'(0)\neq0$3.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则下列结论不一定成立的是（）A.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$B.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$C.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{2}{b-a}(f(b)-f(a))$D.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b+a}$4.设函数$f(x)$在区间$I$上连续可微，且$f'(x)>0$，则$f(x)$在$I$上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增5.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则（）A.$f(0)=0$且$f'(0)=0$B.$f(0)=0$但$f'(0)\neq0$C.$f(0)\neq0$且$f'(0)=0$D.$f(0)\neq0$且$f'(0)\neq0$6.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\geq0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(a,b)$内单调递增B.$f(x)$在$(a,b)$内单调递减C.$f(x)$在$(a,b)$内先增后减D.$f(x)$在$(a,b)$内先减后增7.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=-1$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^2}$等于（）A.$-\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{4}$8.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则下列结论正确的是（）A.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$B.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$C.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{2}{b-a}(f(b)-f(a))$D.存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b+a}$9.设函数$f(x)$在区间$I$上连续可微，且$f'(x)>0$，则$f(x)$在$I$上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增10.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则（）A.$f(0)=0$且$f'(0)=0$B.$f(0)=0$但$f'(0)\neq0$C.$f(0)\neq0$且$f'(0)=0$D.$f(0)\neq0$且$f'(0)\neq0$二、填空题（每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上。）1.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶连续导数，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x^2}{x^3}=0$，则$f(0)=$，$f'(0)=$，$f''(0)=$。2.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2&x\leq0\\ax+b&x>0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$a=$，$b=$。3.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则根据罗尔定理，至少存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=$。4.设函数$f(x)$在区间$I$上连续可微，且$f'(x)>0$，则$f(x)$在$I$上的单调性为。5.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$f(0)=1$，$f'(0)=2$，$f''(0)=3$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1-2x-\frac{3}{2}x^2}{x^3}$等于。6.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则根据拉格朗日中值定理，至少存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=$。三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。证明：存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。2.（10分）设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶连续导数，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$。证明：$f(0)=0$，$f'(0)=0$，$f''(0)=2$。3.（10分）设函数$f(x)$在区间$I$上连续可微，且$f'(x)>0$。证明：$f(x)$在$I$上单调递增。4.（10分）设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$f(0)=1$，$f'(0)=2$，$f''(0)=-1$。求$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1-2x-x^2}{x^3}$。5.（10分）设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。证明：存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。6.（10分）设函数$f(x)$在区间$I$上连续可微，且$f'(x)>0$。证明：$f(x)$在$I$上严格单调递增。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=0$可得$\sinx-f(x)=o(x^3)$，即$\sinx-f(x)=Ax^3+o(x^3)$，其中$A$为常数。因为$\sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，所以$f(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-Ax^3+o(x^3)=(1-A)x^3+o(x^3)$。由于$f(x)$在$x=0$处具有二阶连续导数，所以$f(x)$在$x=0$处必须可导且$f'(0)=0$。因此，$A=1$，即$f(x)=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。所以$f(0)=0$且$f'(0)=0$。2.C解析：因为$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$，所以$f(x)$在$x=0$处可导且$f'(0)=0$。3.D解析：根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。根据柯西中值定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{2}{b-a}(f(b)-f(a))$。但根据中值定理，不存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b+a}$。4.A解析：因为$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$I$上单调递增。5.A解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$可得$f(x)=x^2+o(x^2)$，即$f(x)=x^2+Ax^2+o(x^2)$，其中$A$为常数。因为$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，所以$f(x)$在$x=0$处必须可导且$f'(0)=0$。因此，$A=1$，即$f(x)=2x^2+o(x^2)$。所以$f(0)=0$且$f'(0)=0$。6.A解析：因为$f'(x)\geq0$，所以$f(x)$在$(a,b)$内单调递增。7.A解析：由泰勒公式可得$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)=x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$。所以$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x-\frac{1}{2}x^2-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}=-\frac{1}{2}$。8.D解析：根据柯西中值定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b+a}$。9.A解析：因为$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$I$上单调递增。10.A解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$可得$f(x)=x^2+o(x^2)$，即$f(x)=x^2+Ax^2+o(x^2)$，其中$A$为常数。因为$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，所以$f(x)$在$x=0$处必须可导且$f'(0)=0$。因此，$A=1$，即$f(x)=2x^2+o(x^2)$。所以$f(0)=0$且$f'(0)=0$。二、填空题1.$0$，$0$，$2$解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x^2}{x^3}=0$可得$f(x)=x^2+o(x^3)$，即$f(x)=x^2+Ax^3+o(x^3)$，其中$A$为常数。因为$f(x)$在$x=0$处具有二阶连续导数，所以$f(x)$在$x=0$处必须可导且$f'(0)=0$。因此，$A=0$，即$f(x)=x^2+o(x^3)$。所以$f(0)=0$，$f'(0)=0$，$f''(0)=2$。2.$1$，$0$解析：因为$f(x)$在$x=0$处可导，所以$f(x)$在$x=0$处连续，即$\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=0$。又因为$f(x)=ax+b$，所以$\lim_{x\to0^+}f(x)=a+b=0$，即$a=-b$。另一方面，$f'(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{ax+b-0}{x}=a=1$。因此，$a=1$，$b=-1$。3.$0$解析：根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。4.单调递增解析：因为$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$I$上的单调性为单调递增。5.$-\frac{1}{2}$解析：由泰勒公式可得$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)=1+2x+\frac{3}{2}x^2+o(x^2)$。所以$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1-2x-\frac{3}{2}x^2}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{1+2x+\frac{3}{2}x^2-1-2x-\frac{3}{2}x^2}{x^3}=-\frac{1}{2}$。6.$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$解析：根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。三、解答题1.证明：根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。2.证明：由$\lim_