新课标人教版九年级上册数学全册教案

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

教学目标

1.通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx

+c=O(aWO),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.

2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.

重点难点

重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax?十

bx+c=O(aWO)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题.

难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别.

教学过程

活动一：创设情境

1.什么是方程？什么是一元一次方程？

2.指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？

451

(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；(3)3x-y=0；(4)5y=5；(5)x2-70x+825

34xy

=0；(6)7+y-2=4；(7)x(x+5)=150；(8)5—3=0.

3.什么是“元”？什么是“次”？

活动二：一元二次方程及其相关概念的学习

自学教材第2〜3页，思考教师所提下列问题：

1.问题1中列方程的等量关系是,所列方程为,化简后

为.

2.问题2中列方程的等量关系是,为什么要乘3?所列方程为

，化简后为.

3.观察上面化简后的方程,会发现:等号两边都是,只含有

个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程.

4.任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为

(aW).为什么？

5.说出一元二次方程ax?+bx+c=0(aW0)的二次项、二次项系数、一次项、

一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？

设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对

一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现

实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭

建了交流平台.

活动三：尝试练习

1.判断下列方程是否为一元二次方程.

5

(l)3x+2=5y-3；(2)x2=4；(3)3x2-x=0；(4)x2-4=(x+2)2；(5)ax2

+bx+c=O.

2.方程2/=3(x—6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分

别为()

A.2,3,16B.2,13,18C.2,—3,6D.2,3,

6

(答案:1.略；2.B.)

活动四：知识拓展

例关于x的方程(m+l)xg+i+3x=6,当皿=时，该方程是一元二

次方程.

分析：要使(m+l)x'"+i+3x=6为一元二次方程，除了考虑未知数的最高次

数为2,还要想到m+lWO.解题过程略.

活动五：课堂小结和作业布置

课堂小结：

1.一元二次方程的概念是什么？一个一元二次方程必须同时满足三个要素:

⑴整式；(2)方程整理后含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是二次.

2.一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次

项系数、常数项的概念分别是什么？

作业布置：

1.教材第4页练习第1〜2题.

2.若X?—2X“T+3=0是关于x的一元二次方程，求m的值.

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法(2课时)

第1课时配方法的基本形式

教学目标

1.理解一元二次方程降次的转化思想.

2.会利用直接开平方法对形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程进行求解.

重点难点

重点：运用开平方法解形如(x+m)2=n(nN0)的方程，领会降次一一转化的

数学思想.

难点：通过根据平方根的意义解形如义=11的方程，将知识迁移到根据平方

根的意义解形如(x+m)2=n(n20)的方程.

教学过程

活动一：情境引入

印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一

再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少,

两队猴子在一起.”

大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的5的平方，另一队

猴子数是12,那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

(多媒体展示问题.学生互相讨论、分析理解.教师点拨、启发、引导学生

分析解题.)

设计意图：寓教于乐，可激发学生的探索欲望.

活动二：探索发现

1.如图，在4ABC中，NB=90°,点P从点B开始，沿BA边向点A以1cm/s

的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB

=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

2.能否求下列方程的解？

(1)(2t+l)2=8；(2)4(x—3/=225；(3)9x2-6x+l=0；(4)x2+4x+4=l.

(教师引导学生观察、分析、探索.学生小组内交流、探讨知识的发展变化,

找出规律，升华为理论知识.)

设计意图：通过该活动引导学生探究、发现解一元二次方程的解法.通过根

据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x

+m)2=n(n20)的方程.

活动三：归纳总结一一由感性到理性

问题1：你能和同伴交流吗？

降次的实质：.

降次的方法：.

降次体现了思想.

2.如果方程能化成x2=p或(nx+m)2=p(p20)的形式，那么可得x=

，或nx+m=.

(学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同探索.)

设计意图：进一步体验充满探索与创造的数学活动，感受数学的严谨性和数

学结论的确定性.

活动四：巩固练习

1.教材第6页练习.

2.你学会了吗？解下列方程：

(1)应x—2尸=3；(2)2x2—98=0；(3)x2-6x+9=2；(4)10(l+x)2=14.4；

(5)(l+x+2)2=2.56；(6)x'-6x2+9=0；(7)4(3x+l)2-15=0.

(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总

结规律，对学生存在的共性问题做好补教.强调该方法的依据是平方根的意义.学

生独立思考解决问题.)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握开平方法的应用，从而培养学生分

析问题、解决问题的能力.

活动五：师生小结

1.本节课你感受到了什么？

2.根据本节课解方程的方法，你能谈谈你的收获吗？

3.你认为应该注意什么？

4.本节课你的困惑是什么？

5.你认为最让你费解的地方在哪里？

（教师启发学生回忆.学生可以与同伴交流，也可以请教老师.）

设计意图：创造一个平等民主的学习氛围，尽可能地让学生把自己的所思所

想表达出来，以期共同提高.

活动六：布置作业

教材第16页习题21.2第1题.

（教师布置作业，学生按要求课外完成.）

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法（2课时）

第2课时配方法的灵活应用

教学目标

1.理解配方法.

2.会利用配方法熟练、灵活地解二次项系数为1的一元二次方程.

重点难点

重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程.

难点：灵活地运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

教学过程

活动一：复习引入

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和

宽应各是多少？

（1）如何设未知数？根据题目的等量关系如何列出方程？

（2）所列方程和之前我们学习的方程x2+6x+9=2有何联系与区别？

⑶你能由方程①x?+6x+9=2的解法联想到怎样解方程②x?+6x—16=0

吗？

(学生完成问题(1),列出方程.如何解这个方程呢？学生观察问题(2),找

到联系与区别，教师可点拨启发.问题(3),学生思考、讨论.)

设计意图：问题⑴益于培养学生的应用意识，可激发学生的探究欲.问题

⑵激起学生学习的欲望.

活动二：实验发现

我们研究方程X2+6X+7=0的解法：

将方程视为X2+2-x-3=-7,

配方，得x2+2•x•3+32=32—7,即(x+3)z=2,

由此可得x+3=±,

-

所以X|=-3+,x2=3—.

这种解一元二次方程的方法叫做配方法.这种方法的特点是：先把方程的常

数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可

以进一步通过直接开平方法来求出它的解.

总结发现：用配方法解一元二次方程的步骤.

①把原方程化为ax2+bx+c=0(aWO)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右

边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果

右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

(教师引导学生观察、分析、发现和提出问题.让学生用自己的方法探究一

元二次方程的解法.)

设计意图：通过引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解

决问题的意识和能力.培养学生善于总结思考的能力.

活动三：用配方法解决问题

例解下列方程：

(1)x2—2x—35=0；(2)2x2—4x—1=0.

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化

为完全平方式；(2)同上.

解：⑴X2—2X=35.

X2-2X+12=35+12.

(x—1)2=36,x—1=±6,

x—1=6,x-1=-6,

Xi=7,x2=-5.

2

可以验证x.=7,X2=-5都是方程X-2X-35=0的根.

(2)x2—2x—2—0,x2—2x=2,

i

X2-2X+12=2+1S

3

(X—1)2=2,

6

x—1=±2,

6

即x—1=2,

x-l=-2,

66

Xi=l+2,X2=1—2.

66

可以验证x.=l+2,X2=1—2都是方程2x?—4x—1=0的根.

(可以让两位学生演示.可给学生提示两边同时除以二次项的系数.验证不

可少，但可写也可不写.)

设计意图：通过练习，使学生认识到：配方的关键是在方程两边同时添加的

常数项等于一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).培养学生做事严谨周

密的习惯.

活动四：巩固练习

1.填空：

(l)x2+10x+()=(此

(2)X2-8X+()=(X-y；

(3)x'+x+()=(x+)

(4)4xJ—6x+()=4(x—)"+().

2.用配方法解方程：

(l)x'+8x—2=0；(2)x2—5x—6=0；(3)x"+7=6x.

(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总

结规律，共性问题做好补教.学生独立思考解决问题.)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握方法的应用，从而培养学生分析问

题、解决问题的能力.

活动五：师生小结

1.小结：应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的要点是：

(1)化二次项系数为1;

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方.

2.布置作业：教材第17页习题21.2第2,3题.

(教师发动学生共同参与，语言切忌主观，站在学生的角度看待每一点.教

师布置作业，分层次提出要求.)

设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知

识体系.加深认识，深化提高，形成知识体系.

21.2.2公式法

教学目标

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.

2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.

重点难点

重点：求根公式的推导和公式法的应用.

难点：一元二次方程求根公式的推导.

教学过程

活动一：复习引入

用配方法解下列方程：

(1)6X2-7X+1=0；

(2)4x-3x=52.

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评).

(1)移项；

(2)化二次项系数为1；

(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

(4)原方程变形为(x+m)z=n的形式；

(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数,

则一元二次方程无解.

(安排两名学生板书.教师引导学生回忆用配方法解一元二次方程的基本思

路及基本步骤.)

设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法的解题思路，并通过两道练习

题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫.

活动二：实验发现

如果一个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a^0),你能否用上面配

方法的步骤求出它的两根？请同学独立完成下面这个问题.

b2—4ac

问题：已知ax2+bx+c=0(a#0)且b?—4ac20,试推导它的两个根Xi=2a,

b2—4ac

x2=2a.

分析：因为前面具体数字已做得很多了，我们现在不妨把a,b,c也当成一

个具体数字，根据上面的解题步骤可以一直推导下去.

解：移项，得ax?+bx=­c,

二次项系数化为1,得

bc

x'+ax=­a,

配方，得

bb

x2+ax+(2a)2

=-a+(2a)2,

bb2-4ac

即(x+2a”=4a2①.

因为aWO,所以4a2>0,式子b?—4ac的值有以下三种情况：

b2—4ac

⑴当b—ac>0时，4a2>0.

由①直接开平方，得

bb2—4ac

x+2a=±2a,

b2—4ac

即x=2a,

b2—4ac

••X]=2a,

b2—4ac

X2=2a.

b2-4ac

(2)当b2—4ac=0时，4a2=0,由①可知，方程有两个相等的实数根治=也

b

=-2a.

b2—4acb

⑶当b2—4ac<0时,4a2<0,由①可知(x+2a)2<0,因此方程无实数根.

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根由方程的系数a,b,c

而定，一般地，式子b。4ac叫做方程ax*+bx+c=O(aNO)根的判别式,通常

用希腊字母△表示它，即A=b2—4ac,因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当

b2—4ac

0时，将a,b,c的值代入式子x=2a就能得到方程的根；当△〈0时就能得到

方程无实数根.

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

(教师引导、启发学生探索求根公式并得出公式法的概念.也可课件演示推

导过程.引导学生做完题后总结.)

设计意图：让学生亲自动手实验，探究结论，激发兴趣.培养学生爱动脑思

考的好习惯.

活动三：利用公式解决问题

教材第11页例2.

(找四位学生板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适

当鼓励.)

设计意图：加深对所学知识的理解.

活动四：巩固练习

1.解下列方程：

(1)X2+3X+2=0；(2)2X2-7X=4；(3)2x2-3x+l=0.

2.应用题：

有一长方形的桌子，长为3m,宽为2m,一长方形桌布的面积是桌面面积

的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为,宽

为长度相同，则桌布长为.

(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规

律，共性问题做好补教.学生独立思考解决问题.)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握公式法，从而培养学生分析问题、

解决问题的能力.

活动五：师生小结

1.本节课你有什么困惑，请你大声地告诉老师.

2.本节课你有何感想，请你畅所欲言.

3.本节课你有何收获，请你与同伴分享.

布置作业：

教材第17页习题21.2第4,5题.

21.2.3因式分解法

教学目标

1.了解因式分解法的概念.

2.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程.

重点难点

重点：应用因式分解法解一元二次方程.

难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解.

教学过程

活动一：复习引入

问题(学生活动)解下列方程.

(l)2x2+x=0(用配方法).

(2)3x?+6x=0(用公式法).

(3)要使一块矩形场地的长比宽多3m,并且面积为28m2,场地的长和宽应

各是多少？

(4)如何设未知数并根据题目的等量关系列出方程？

(5)所列方程和以前我们学习的方程x?+6x+9=2有何联系与区别？

(6)你能由方程x?+6x+9=2的解法联想到怎样解方程x?+3x—28=0吗？

(鼓励学生自主探究、小组合作交流.)

设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法和公式法的解题思路，并通过

两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫.

活动二：实验发现

思考：(l)x(2x+l)=0；(2)3x(x+2)=0.

问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？

(2)你知道方程的解吗？说说你的理由.

因式分解法的理论根据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式的值就至

少有一个等于零.即：

若ab=0,则a=0或b=0.

由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一

边等于0时，即可解之.这种方法叫做因式分解法.

(3)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解.

(教师展示练习.对于一部分学生老师可给予一定的帮助，也可以鼓励同学

之间互相帮助.)

设计意图：让学生亲自动手实验、探究结论、激发兴趣.

活动三：用因式分解法解决问题

教材第14页例3.

补充例题：解方程.

(l)3x2=8x,(2)(X-4)2=3X-12.

分析：(1)移项提取公因式x;(2)等号右侧移项到左侧得一3x+12,提取

因式一3,即一3(x—4),再提取公因式x-4,便可达到分解因式的目的，一边

为两个一次式的乘积，另一边为0的形式.

解:(1)移项,得3x?-8x=0,

因式分解，得x(3x—8)=0,

于是，得x=0或3x—8=0,

8

Xi=0,X2=3.

(2)移项，得(x—4)3x+12=0,

(x—4)'—3(x—4)=0,

因式分解，得(x—4)(x—4—3)=0,

整理，得(x—4)(x—7)=0,

于是，得x—4=0或x—7=0.

x1=4,X2=7.

(找两位同学板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适

当鼓励.)

设计意图：加深对所学知识的理解.

活动四：巩固练习

1.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2—6x+8=0的解，则这个

三角形的周长是()

A.8B.8或10C.10D.8和10

2.用因式分解法解方程4(x+D—3x(x+l)=0,可把其化为两个一元一次

方程、求解.

3.方程(x+l)(x—2)=0的根是()

A.x=—1B.x=2C.Xi=l,x2=—2D.x1=­1,x2=2

4.解下列方程：

(1)x2—3x—10=0；(2)(x+3)(x—1)=5.

(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规

律，共性问题做好补教.学生独立思考解决问题.)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握一元二次方程的解法，从而培养学

生分析问题、解决问题的能力.

活动五：师生小结

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一

元二次方程.

(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：

联系：①降次，它们的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降

次.

②公式法是由配方法推导而得到.

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二

次方程.

区别：①配方法要先配方，再开方求根.

②公式法直接利用公式求根.

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使每

个一次因式等于0.

布置作业：

教材第17页习题21.2第6题.

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.

2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题.

3.提高学生综合运用基础知识分析解决复杂问题的能力.

重点难点

重点：一元二次方程的根与系数的关系.

难点：对根与系数的关系的理解和推导.

教学过程

活动一：引入新课

我们知道，方程的根是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的各项系数a,

b,c决定的.我们还知道根是由b?—4ac决定其情况的.今天我们来研究方程的

两根的和及两根的积与a,b,c有怎样的关系？

(教师出示问题，学生初步了解本节课的学习内容.教师引出新课并板书课

题.)

设计意图：开门见山，引入新课.

活动二：思考与归纳

从下表中找出两根之和Xi+x?与两根之积XiXz和a,b,c的关系：

两根之两根之

两个根X1与x2

方程和积

Xi+x2X1X

X1X22

x：,+5x+6=0-2-3-56

X2-5x-6=06-15-6

x2-8x-9=09-18-9

244

3x2—4x—4=02-33-3

131

2x~—3x+1—01222

3171

6x2+7x—3=0-23—6-2

归纳：(1)形如x'+px+q：。的一元二次方程两根的和、积分别与系数有

如下关系：

X|+x2=—p,x)x2=q.

(2)形如ax2+bx+c=0(aW0)的一元二次方程的两根的和、积分别与系数有

如下关系：

bc

Xi+x2=—a,XjX2=a.

(教师引导学生先观察表格中前三行，看有什么共同规律？再观察后三行.学

生观察、思考、归纳、总结.)

设计意图：通过几个具体的方程，经过观察、归纳得出一般规律.

活动三：推理验证

验证ax,+bx+c=O(aWO)的两根X”x?与a,b,c的关系.

设ax''+bx+c=O(aWO)的两根为X”x2.

b2—4acb2-4ac

则X]—2a9x?=2a,

由此可知

b2—4acb2—4ac

X]+x2=2a+2a

-2bb

=2a=­a,

b2-4acb2-4ac

XiX2=2a•2a

(-b)2-(b2-4ac>c

=4a2=a.

(教师让学生通过推导证明前面的结论.教师引导：由求根公式求出土+制,

X1X2.)

设计意图：通过推导证明渗透由特殊到一般的认知规律.

活动四：巩固练习

1.应用

例4教材第16页.

补充例题：不解方程，若知道5x?+kx+12=0的一个根为4,你能求出方程

的另一个根吗？

2.巩固练习

教材第16页练习.

（教师让学生尝试独立解决，师生共议.学生独立完成后，小组交流.教师

引导：方法一，利用根与系数的关系，由两根之积和一个根，求出另一个根；方

法二，把已知的一根4,代入原方程求出k,再把k值代入原方程，再利用两根

之和与系数的关系求出另一根.教师巡视，学生独立完成.）

设计意图：巩固根与系数的关系（韦达定理）的同时，增强学生的应用意识.巩

固所学知识，培养学习能力.

活动五：师生小结

1.一元二次方程的根与系数有怎样的关系？

2.对本节课你还有什么困惑？

3.布置作业：

教材第17页第7题.

《实际问题与一元二次方程一一几何动点问题》

教学目标

1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.

2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代

数化.

3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动

探索事物之间内在联系的学习习惯。

教学重难点

1.动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几

何中的动点问题.

2.进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.

教学过程

（一）知识回顾

1.回顾列一元二次方程解实际问题的一般步骤.

2.回顾前几节课刚刚学过的利用一元二次方程可以解决的几类实际问题，引出新

课一一用一元二次方程解决几何动点问题.

（二）一起探究

1.设计问题内容：如图所示，在直角三角ABC中，NB=90,AB=6cm,BC=8cm,点P、

Q同时从点B出发，分别沿BC和BA向点C、A移动，点P的速度为2cm/s,点Q

的速度为lcm/s,当两个点中的一个点到达顶点后，两点停止运动。设两点的运

动时间为t,用含有t的代数式表示△BPQ的面积.

2.设计思考问题：

（1）有几个动点？

（2）动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？

（3）图中有哪些线段可以用t表示，试着在导学卡中写出来.

3.设计动点表格（在学生的导学卡中）

动点起点也占/、、、运动方向速度

P

Q

4.设计说明：本教学环节主要引导学生重点掌握题中动点的四个要素，同时让学

生体会用字母表示所需要的线段，进而写出三角形面积的表达式.

（三）考场实战

本环节是在上面一个环节的基础上，作两个变动：一个是由列代数式到列方程的

变动；另一个是动点要素的变动.主要培养学生认真审题，建立数学模型的能力.

1.问题设计：（2015•杭州上城区期末）如图所示，在a'中，N户90°,力庐6

cm,BCRcm,点P从点力出发，以1cm/s的速度沿四边向点8移动，与此同

时,点0从点C出发，以2cm/s的速度沿/边向点8移动，如果P,0同时出发,

经过几秒，的面积等于8平方厘米？

2.问题探索设计：

（1）本题与探究环节的主要区别有哪些？动点的起点、终点、运动方向、速度

分别是什么?

（2）如果把时间设为t,则图中哪些线段可以用t表示？

AP=BP=CQ=BQ=

（3）APeQ的面积怎么用t表示?根据题意，列出方程.

3.解决问题（此环节强调规范答题的重要性）

出示标准答案.

（四）一展身手

本环节重在考察生应用所学知识解决类似问题的能力，同时检测学生当堂的学习

效果.该环节中的试题在原来例题的基础上作了适当的变化，数据的变化、起点

及运动方向的变化，旨在考察学生认真审题的能力.

如图:已知在AABC中,ZB=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点

B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如

果P、Q同时出发，那么几秒后4PBQ的面积等于4平方厘米？

（五）课堂小结

本环节通过提问学生的课堂学习收获，再补充老师给的课堂小结.

（六）作业

完成老师布置的课后思考

第二十二章二次函数

22.1二次函数的图象和性质

22.1.1二次函数

教学目标

1.通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，理

解二次函数及有关概念.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，进一步体会建立函数

模型的思想.

重点难点

重点：二次函数的概念.

难点：寻找、发现实际生活中的二次函数问题，理解变量之间的对应关系.

教学过程

活动一：引入新课

回顾：

1.一元二次方程的一般形式是什么？

2.什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

引入新课:在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,

利用二次函数的有关知识研究和解决问题，具有很强的现实意义.本节课开始,

请同学们共同研究一一二次函数.

(教师出示问题，学生口答.教师引出新课并板书课题.)

设计意图：复习学过的函数，为本节课的学习做好铺垫.开门见山，直接引

入新课，让学生明确探究任务.

活动二：问题与求解

1.正方体的六个面是全等的正方形，如果正方体的棱长为x,表面积为y,

那么y与x的关系可以怎样表示？

2.n边形的对角线条数d与边数n之间有怎样的关系？

(l)n边形从一个顶点出发有几条对角线？

(2)n边形共有几条对角线？结合下图解决.

3.某工厂一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量.如果

每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的

x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

(教师出示问题，适时引导、点拨.然后由小组推荐三名学生板书三个问题,

其他小组学生讲评.学生尝试板演，教师点评，学生纠错.教师引导点拨：第1

个问题在前面三角形一章已经学习过.第2个问题需要弄清：从点A出发的对角

线AB与从点B出发的对角线BA是同一条.得出关系式后，让学生判断这两个变

量之间是否存在函数关系.对问题3引导：(1)这种产品的原产量是多少？(2)

一年后的产量是多少？(3)再经过一年后的产量是多少？(4)两年后的产量与x

有怎样的关系？)

设计意图：让学生在解决生活中实际的函数问题过程中为二次函数概念的得

出做好铺垫，并且初步了解二次函数的特征，同时激发学生学习数学的兴趣，培

养学生的应用意识和探究能力.

活动三：观察归纳

13

1.观察：(l)y=6x2；(2)d=2n2-2n；(3)y=20x2+40x+20这三个函数，

它们有什么共同特点？你觉得这些函数应该叫做什么函数？

2.归纳总结：

在学生思考、回答后，给出二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,

b,c是常数，aWO)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是

二次项系数、一次项系数和常数项.

(学生已经具备了一次函数、一元二次方程的知识，完全具备了给这三个函

数命名的条件，教师引导学生通过观察、猜想、归纳得出二次函数的名称，进一

步分析其特征.)

设计意图：通过三个具体函数解析式的观察、分析、猜想、归纳，让学生经

历二次函数概念的形成过程.

活动四：应用

例1(补充)分别说出下列函数哪些是一次函数，哪些是二次函数.

(1)y=3x—1；(2)y=3x°+2；(3)y=3xJ+2x-；

(4)y=2x2—2x+l；(5)y=x2—x(l+x)；(6)y=x-2+x.

分析：依据一次函数、二次函数的定义，进行选择.一次函数有：(1)(5)(整

理化简后自变量最高次数是一次)；二次函数有：(2)(4).

解：一次函数有：(1)(5)；二次函数有：(2)(4).

例2(补充)m取哪些值时,函数y=(m2—m)x2+mx+(m+l)是以x为自变量

的二次函数？

分析：若函数y=(m2—m)x2+mx+(m+l)是二次函数，须满足的条件是：m：

一mWO.

解：若函数y=(武一m)x2+mx+(m+1)是二次函数，则i/一mWO.解得mWO,

且m#l.

因此，当mWO,且mWl时，函数y=(n?—m)x'+mx+(m+1)是二次函数.

(学生尝试独立解答，教师点评、讲解.教师引导学生观察解析式，不要只

看表面特征，还要细致分析，是否真的具备了二次(一次)函数的必备条件.学生

先独立完成，再小组交流.教师点拨：形如y=ax2+ax+c的函数只有在a#0

的条件下才是二次函数.学生思考、解决、交流.)

设计意图：例题的设计都比较简单，目的是巩固二次函数的概念，加深对二

次函数的特征的认识与理解.

活动五：巩固练习

1.写出下列各关系式，并判断它们是什么类型的函数.

(1)写出圆的面积y(cnO与它的周长x(cm)之间的关系式；

(2)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不计利息税，写出

本息和y(元)与所存年数x(x为整数)之间的关系式；

(3)菱形的两条对角线的和为26cm,写出菱形的面积S(cm2)与一对角线长

x(cm)之间的关系式.

x2

答案：(1)由题意，得y=4"(x>0),其中y是x的二次函数；

(2)由题意，得y=10000+1.98%x•10000(x20且是正整数)，其中y是

x的一次函数；

(3)由题意，得S=3X(26—X)=—5X2+13X((KX<26),其中S是x的二次函

数.

2.下列函数中，哪些是二次函数？

(l)y—x2=0；(2)y=(x—2)(x—2)—(x—I)2；

(3)y=x2+x；(4)y=.

答案：(1)是二次函数.

3.当k为何值时，函数y=(k—l)xk2+k+l为二次函数？

答案：k=-2.

（学生当堂完成，小组互评，教师点评.教师引导，组织练习，巡回辅导,

重点问题进行强化，共性问题做好补教.）

设计意图：通过引导学生自主合作、探究，培养学生分析问题、解决问题的

意识和能力.通过练习，及时反馈学生学习的情况，便于教师把握教学效果，并

能及时查漏补缺，进一步优化教学，从而培养学生踏实、严谨的作风.

活动六：师生小结

1.到目前为止，我们学习了哪些函数？它们之间有什么联系？

2.你对二次函数有哪些了解？

3.对本节课你有什么收获，还有什么困惑？说给同学听.

（教师引导学生交流自己的收获和疑惑.）

设计意图：梳理学习的内容、方法，形成知识体系.养成系统整理知识的习

惯.加强教学反思，进一步提高教学效率.

活动七：布置作业

必做题：教材第41页习题22.1第1,2题.

22.1.2二次函数y=ax?的图象和性质

教学目标

通过画图，了解二次函数y=ax2（aW0）的图象是一条抛物线，理解其顶点为

何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上（或向下），掌握其顶点、对称

轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问

题.

重点难点

重点：从“数”（解析式）和“形"（图象）的角度理解二次函数y=ax?的性

质，掌握二次函数解析式y=ax?与函数图象的内在关系.

难点：画二次函数y=ax?的图象.

教学过程

一、引入新课

1.下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？

(l)y=3x-l(2)y=2x2+7(3)y=x—2

(4)y=3(x—1)2+1

2.一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点,

又有哪些性质呢？

3.上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们

先来探究二次函数中最简单的y=ax?的图象和性质.

二、教学活动

活动一：画函数y=—x?的图象

(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线).

(2)提出问题：它的形状类似于什么？

(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点.

设计意图：在教学的编排上，我做了一些调整，首先让学生接触的是二次函

数y=一/的图象，这样做的目的是，此函数的图象更接近于现实生活，更利于

学生发挥自己的想象力，爱好篮球的学生可能马上就会想到它类似于投篮时篮球

在空中所经过的路线，爱好踢健的女生可能会说像踢犍时毯子所经过的路线等

等，这样更接近生活实际，学生学习的积极性也会更加高涨.

活动二：在坐标纸上画函数y=-0.5x\y=-2x?的图象

(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确

的画图过程.

(2)引导学生观察二次函数y=—0.5x2,y=—2/与y=—X?的图象，提出问

题：它们有什么共同点和不同点？

(3)归纳总结：

共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；

④对称轴都是y轴；⑤顶点都是原点(0,0).

不同点：开口大小不同.

(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数丫=2*2是当a<0时的情况.系数

a越大，抛物线开口越大.

设计意图：二次函数的图象和性质是本节课的重难点，所以鼓励学生先画图，

经历画图的过程，培养学生的动手能力.同时，尽量展示中等偏差的学生的作品，

尽量让优秀学生归纳总结，比较函数图象的共同点和不同点，从而得出二次函数

y=ax'的性质.

活动三：在同一个直角坐标系中画函数y=x\y=0.5x2,y=2x?的图象

类似活动二，让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼

出二次函数y=ax?(aWO)的图象和性质.

二次函数y=ax“aWO)的图象和性质

a>0a<0

图象

(草图)

开口

方向

顶点

对称轴

最高或

最低点

当x=__时，当x=________时，

最值y有最________值，y有最_______值，

是________.是________.

活动四：达标检测

(1)函数丫=-8(的图象开口向,顶点是,对称轴是

,当x时，y随x的增大而减小.

(2)二次函数y=(2k—5)(的图象如图所示，则k的取值范围为.

(3)如图①y=ax；②y=bx\③y=cx；@y=dx\比较a,b,c,d的大小,

用“>”连接

(答案:⑴下,(0,0),y轴，>0；(2)k>2.5；(3)a>b>d>c.)

三、课堂小结与作业布置

小结：1.二次函数的图象都是抛物线.

2.二次函数y=ax?的图象特点：(1)抛物线y=ax?的对称轴是y轴，顶点

是原点.

(2)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛

物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；瓜|越大，抛物线的开口越小.

22.1.3二次函数y=a(x-h)?+k的图象和性质(3课时)

第1课时二次函数丫=&*2+1<的图象和性质

教学目标

1.能用描点法画出形如二次函数y=ax2+k的图象，掌握它的图象特征，

并会总结它的性质.

2.理解二次函数丫=2乂?与y=ax?+k的图象和性质的异同，能用平移的方

法解决图象间的关系.

重点难点

重点：画出二次函数y=ax?+k的图象，掌握它的图象特征，并会总结它的

性质.

难点：通过解析式、函数对应表和图象三个角度比较二次函数y=ax2与y

=ax2+k的关系.

教学过程

一、引入新课

1.填一填：二次函数y=2x2的图象是,它的开口向,顶

点坐标是，对称轴是,在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而；二次函数y=—2x2呢？

2.二次函数y=2x?+l的图象与二次函数y=x?的图象开口方向、对称轴和

顶点坐标是否相同？你将采取什么方法加以研究？

二、教学活动

活动一：画画看看

画二次函数y=2x1y=2x'+l与y=2x?—1的图象.

(1)先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y=2x2

的图象；

(2)在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2+l与y=2x2-l的图象；

(3)让学生观察所列表格，当x依次取一3,-2,-1,0,1,2,3时，三

个函数的函数值之间有什么关系？

(4)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确

的画图过程；

(5)引导学生观察二次函数y=2x2、y=2x?+l与y=2x?—l的图象，提出问

题：它们有什么共同点和不同点？

(6)观察二次函数y=2x\y=2x2+l与y=2x2-l的图象的开口方向、顶点、

对称轴、最高(低)点.

设计意图：让学生在已经学习的二次函数y=2x?图象的基础上，应用已有

的认知水平，观察图象的变化.

活动二：比较分析

函数y=2x2+l和y=2x?的图象有什么联系？通过函数y=2x?的性质，能讨

论得到函数y=2x2+l的一些性质吗？

小结：当x<0时，函数y=2x?+l值y随x的增大而减小；当x>0时，函数

y=2x?+l值y随x的增大而增大，当x=0时，函数y=2x?+1取得最小值，最

小值y=l.

活动三：归纳总结

在同一直角坐标系中，函数y=ax2+k的图象与函数y=a（的图象具有什么

关系？

y=ax2y=ax"+k

开口

方向

顶点

对称轴

有最高

（低）点

a>0时，当*=________时，

y有最________值为________;

最值

a<0时，当x=_______时，

y有最________值为________.

增减性

设计意图：二次函数的图象和性质是本节课的重难点，所以鼓励学生先画图,

经历画图的过程，培养学生的动手能力.同时，尽量展示中等偏差的学生的作品,

尽量让优秀学生归纳总结，比较函数图象的共同点和不同点，从而得出二次函数

y=ax2+k的性质.

活动四：达标检测

1.二次函数y=2x「2的图象的开口,对称轴是,顶点

坐标是.

2.将二次函数y=5x2-3的图象向上平移