初中数学九年级上册：用列表法求概率教案 791458

初中数学九年级上册：用列表法求概率教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“统计与概率”领域强调，要引导学生“在具体情境中了解随机现象，理解概率是对随机事件发生可能性大小的度量”，并“能通过列表、画树状图等方法，列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而计算简单事件的概率”。本节课是学生在学习了概率的古典定义（P(A)=m/n）及一步等可能事件概率计算之后，向解决两步（乃至多步）等可能事件概率问题的关键进阶。列表法不仅是解决此类问题的核心技能，更是培养学生数据观念、模型思想和有序、严谨逻辑思维的重要载体。从单元知识链看，它上承古典概型的核心思想，下启更复杂的树状图法以及概率的复杂应用，是构建学生系统化概率问题解决能力的关键枢纽。

九年级学生的思维正从具体运算向形式运算过渡，具备一定的逻辑推理和分类讨论基础。在知识储备上，他们已理解等可能性概念，并能计算一步随机事件的概率。然而，当事件涉及两个步骤（如先后摸两个球、掷两次骰子）时，学生普遍面临的认知障碍是：难以系统、无遗漏、不重复地列举出所有等可能结果。其思维难点往往在于缺乏“有序”的分析工具，容易陷入重复或遗漏的混乱。因此，本节课的教学必须通过对比、示范和结构化练习，将“有序列表”内化为学生分析问题的自觉思维策略。教学设计需预设通过“问题初探—方法对比—规范建模—变式应用”的流程，利用学习任务单上的分层探究活动，让不同思维水平的学生都能找到认知支点，并通过小组互评、典型错例分析等形成性评价，动态诊断并支持学生的学习进程。

二、教学目标

知识目标：学生能准确理解列表法适用于解决涉及两个步骤的等可能事件概率问题，能清晰阐述其“行、列分别代表一个步骤，表格内部交叉点代表所有等可能结果”的原理。他们能依据具体问题背景，规范地列出完整的二维表格，并从中准确找出指定事件包含的结果数，进而计算出正确概率。

能力目标：在解决实际概率问题的过程中，学生能够独立或有协作地选择并应用列表法，系统、有序地列举所有等可能结果，发展其逻辑分类与系统分析的能力。他们能通过对比不同列举方法的优劣，提升对方法的评估与选择意识，增强解决问题的策略性和规范性。

情感态度与价值观目标：在探究列表法的必要性及其优势的过程中，学生能体会到数学工具对解决复杂问题的简洁性与普适性之美，增强学习数学的兴趣和信心。通过小组合作与交流，培养严谨求实的科学态度和乐于分享、倾听他人见解的合作精神。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与有序思维。引导学生将具体的两步随机事件抽象为“行步骤”与“列步骤”的数学模型，并通过构造表格这一可视化模型，使原本隐性的、易错的结果枚举过程变得显性、有序、可检验，从而深刻体会模型化思想在解决问题中的力量。

评价与元认知目标：设计引导学生对所列表格进行“不重不漏”的自我检验和同伴互评环节。鼓励学生在解决问题后，反思列表法适用的条件（两步、等可能），对比其与直接枚举、树状图等方法在具体情境下的优劣，初步形成对问题解决策略的批判性选择和反思习惯。

三、教学重点与难点

教学重点：列表法的规范步骤及其原理理解。列表法是将随机事件所有等可能结果进行系统化呈现的核心工具，其规范性（行列对应步骤、有序填写）直接决定了概率计算的正确性。该技能是后续学习树状图法以及解决更复杂概率问题的基石，且在学业水平考试中，规范使用列表法求解概率是高频考点和基本要求。确立此为重点，旨在夯实学生概率求解的“基本动作”。

教学难点：确保列表过程中的“不重不漏”，特别是如何将现实问题中的两个步骤合理抽象为表格的行与列。难点成因在于学生思维的无序性和对“等可能性”这一前提的隐性忽视。例如，在涉及不放回抽取的问题中，学生容易错误地沿用放回问题的列表。突破的关键在于通过“先放手尝试、再对比纠错”的活动设计，让学生在认知冲突中深刻体会“有序”的必要性，并通过辨析不同情境（放回与不放回）下列表的变化，理解模型应用的条件性。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式多媒体课件，内含问题情境动画、列表法分步演示动画、分层练习题及实时反馈工具。

1.2学习材料：设计分层学习任务单（A基础巩固型、B综合应用型、C挑战探究型）、课堂小结思维导图模板。

2.学生准备

2.1知识准备：复习古典概型概率公式及一步等可能事件概率计算。

2.2学具准备：草稿纸、不同颜色笔（用于修改和标注）。

3.环境布置

3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于合作探究与讨论。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激趣，提出问题：“同学们，我们都玩过‘石头剪刀布’的游戏。如果小明和小红准备通过这个游戏决定谁先发言，只玩一局。大家直觉上认为，小明获胜的概率是多少？”（学生可能回答1/2或1/3）。接着追问：“这是一个涉及两人、各出一个手势的两步过程。我们该如何系统、严谨地分析所有可能的情况，从而计算出确切的概率呢？今天，就让我们学习一种能让复杂情况变得一目了然的方法——列表法。”

1.1唤醒旧知，明确路径：引导学生回顾“一步等可能事件概率=满足条件的结果数/所有等可能结果数”。指出当前问题的复杂性在于“所有等可能结果”不易穷举。“为了解决这个问题，我们需要一个强大的‘分析仪’，把两个人、三种选择的所有搭配，一个不漏地陈列出来。这节课，我们就来共同打造和使用这个‘分析仪’。”

第二、新授环节

###任务一：初探问题，体验无序之困

教师活动：呈现核心例题：“一个不透明的袋子中装有红、黄两个除颜色外完全相同的小球。先后随机摸出两个球（第一次摸出后不放回）。求两次摸到相同颜色球的概率。”首先，不提供任何方法指导，请学生独立思考1分钟，尝试写出所有可能结果并计算概率。“同学们，试试看，如果不列表，你还能想到其他办法吗？”巡视课堂，有意识寻找并记录学生出现的典型方法（如直接枚举、无序列举导致重复或遗漏）和典型错误。

学生活动：独立思考，在草稿纸上尝试写出所有可能的结果，如“红黄、黄红”，或“红红、红黄、黄红、黄黄”（错误），并尝试计算概率。部分学生可能感到困惑，不知如何确保写全。

即时评价标准：1.能否意识到这是一个“两步”过程？2.尝试列举的结果是否有明显的顺序意识？3.能否发现“不放回”条件下“红红”、“黄黄”结果的不可能性？

形成知识、思维、方法清单：★明确问题结构：识别问题涉及“先后两次摸球”，是两个相关联的步骤。▲认知冲突点：直接枚举易混乱，尤其在“不放回”条件下，第一步结果会影响第二步可选范围。方法萌芽：初步感受到需要一种更系统的方式来组织思考。

###任务二：对比展示，感知列表之优

教师活动：邀请几位采用不同列举方式的学生上台展示（包括一种无序且错误的、一种用文字有序枚举正确的）。引导学生对比讨论：“大家觉得，哪种展示方式最容易让我们检查是否‘不重不漏’？”“面对更复杂的情况（比如三个球），哪种方式更有优势？”接着，教师顺势引出列表法：“数学家们和我们想的一样，他们也追求清晰和有序。于是，就发明了像棋盘一样的——列表法。”通过课件动画，将有序的文字枚举（第一次：红、黄；第二次：红、黄）逐步抽象成表格：第一行表示第一次可能摸出的球（红、黄），第一列表示第二次可能摸出的球（红、黄），内部交叉点形成四个格子。

学生活动：观察同学展示的不同方法，积极参与对比讨论，发表看法，认识到有序、可视化呈现的巨大优势。观看动画演示，理解表格的行、列如何从实际问题中抽象而来。

即时评价标准：1.能否在对比中指出“有序”是避免错误的关键。2.能否理解课件动画中，行与列所代表的实际意义（第一步和第二步）。

形成知识、思维、方法清单：★列表法的初步形态：认识到可以用表格的行和列分别代表随机事件中的两个步骤。★有序思维的价值：通过对比，深刻体会到“有序”是进行完备分类讨论、避免重复和遗漏的基石。学科思想渗透：感受数学化（将实际问题抽象为表格模型）的过程。

###任务三：规范建模，掌握列表之术

教师活动：完整示范列表法解题步骤。第一步：“分析步骤，确定行列”。明确此问题中，通常将“第一次摸球”的结果作为行，“第二次摸球”的结果作为列。第二步：“构造表格，填写所有等可能结果”。强调在“不放回”条件下，对角线上的“红红”、“黄黄”是不可能事件，应如何处理？（划掉或标记为不可能）。第三步：“标注目标，计数计算”。在表格中圈出“两次颜色相同”的事件结果（本例中无），从而得出概率为0。“好，现在表格就像一个清晰的战场地图，所有情况尽收眼底。”

学生活动：跟随教师示范，在任务单上同步完成规范的列表过程。理解“不放回”条件如何在表格中体现（对角线无效），并掌握在表格中筛选目标事件的方法。

即时评价标准：1.能否独立在任务单上画出正确的二维表格框架。2.能否正确填写表格内容，并恰当处理不可能结果。3.能否从表格中准确找到目标事件对应的结果。

形成知识、思维、方法清单：★列表法规范步骤（核心）：1.定步骤（分行列）；2.制表格（填所有）；3.标事件（找目标）；4.算概率（数结果）。★易错点警示：必须根据题意（“放回”或“不放回”）判断表格中每一个单元格结果是否等可能、是否存在。▲模型固化：将具体问题抽象为行列分明的表格，是建立数学模型的过程。

###任务四：变式应用，理解条件之辨

教师活动：将例题条件改为“第一次摸出后放回，再摸第二次”。提问：“同学们，条件变了，我们的列表需要改变吗？哪里会不同？”让学生先独立思考，再与同桌讨论。请小组代表分享见解。“哦？有同学说表格样子没变，但里面的内容‘活’了！说得真好！”通过课件动画，展示在“放回”条件下，对角线上的结果（红红、黄黄）变得可能且等可能。引导学生对比两个表格的异同，总结列表法“形同而神异”的关键在于对问题条件的深度解读。

学生活动：独立思考条件变化带来的影响，与同伴讨论。观察动画演示，理解“放回”与“不放回”对列表中结果等可能性的根本性影响。在任务单上完成“放回”情形下的列表和概率计算。

即时评价标准：1.能否明确指出“放回”与“不放回”主要影响表格中对角线单元格的有效性。2.能否计算出“放回”条件下两次摸到同色球的概率（1/2）。

形成知识、思维、方法清单：★列表法的普适性与条件性：列表的框架结构适用于所有两步等可能事件，但单元格内具体结果的“有效性”取决于实际问题条件（如是否放回）。★审题关键：应用列表法前，必须精准判断事件是否为“等可能”的“两步”过程，以及步骤间是否独立。思维深化：从机械模仿步骤，上升到根据条件灵活运用模型。

###任务五：归纳提炼，内化方法之魂

教师活动：引导学生进行小组讨论，共同总结列表法的适用条件、核心优势和操作要点。提出引导性问题：“什么时候我们该请出列表法这位‘助手’？”“它最大的好处是什么？”“在列表时，我们必须提醒自己注意哪几件事？”教师巡视指导，听取各组的总结，并最后进行精炼提升。

学生活动：以小组为单位，围绕教师提出的问题展开讨论，合作归纳列表法的适用情境、优点和注意事项。推选代表准备分享小组的“智慧结晶”。

即时评价标准：1.小组归纳是否全面，能否涵盖“两步”、“等可能”、“有序”、“不重不漏”等关键词。2.学生表达是否清晰，能否用自己的语言解释列表法的价值。

形成知识、思维、方法清单：★列表法适用条件：解决涉及两个步骤的等可能事件概率问题。★核心优势：能够系统、直观、不重不漏地呈现所有等可能结果，使分析过程可视化、条理化。★操作要点回顾：明确行列对应步骤；确保每个单元格结果等可能；根据条件（独立与否）判断单元格有效性；有序计数。

第三、当堂巩固训练

设计分层练习，提供个性化发展路径。

基础层（全体必做）：1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率。（直接应用，巩固列表格式）2.从数字1,2中任选一个作为十位，再从1,2,3中任选一个作为个位，组成两位数，求这个两位数是偶数的概率。（情境稍变，理解行列的灵活设定）

综合层（多数学生挑战）：小明的书包里有语文、数学、英语三本教材，他随机先后拿出两本（不放回）。请用列表法求他第一次拿到数学书且第二次拿到英语书的概率。（步骤清晰，但需在3×3表格中精准定位目标）

挑战层（学有余力者选做）：设计一个概率为1/3的两步等可能事件问题，并用列表法验证。（逆向设计，考察对概率意义和列表本质的理解）

反馈机制：学生独立完成后，首先进行小组内互评，重点检查列表规范性和结果正确性。教师巡视，收集共性疑问。随后，利用投影展示一份具有典型错误（如未考虑不放回）的列表和一份优秀列表，进行对比讲评。“大家看这份列表，问题出在哪？哦，对角线上的结果在‘不放回’条件下是不能出现的。而这份优秀作业，不仅列表工整，还用不同颜色标出了目标事件，非常清晰！”

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

知识整合：“请同桌之间，互相用一分钟说说你今天最大的收获或还存在的一个小疑惑。”然后，教师邀请几位学生分享。随后，提供思维导图框架（中心：列表法求概率；分支：适用条件、步骤、优点、注意事项），请学生在任务单上补充完整关键词。

方法提炼：引导学生回顾学习过程：“今天我们是如何从面对一个复杂问题束手无策，到最终掌握列表法这个利器的？”（经历了：尝试—混乱—对比—建模—应用—归纳）。强调“有序思考”和“模型化”是解决众多数学问题的通用法宝。

作业布置：公布分层作业。必做（基础）：教材课后对应练习题。选做（拓展）：调查生活中一个涉及两步选择的情景（如早餐搭配：饮料选牛奶或豆浆，主食选包子或面包），用列表法分析所有可能的搭配方案，并计算其中一种你最喜欢搭配出现的“概率”。预告：“列表法擅长处理两步问题，那如果是三步或更多步呢？有没有更强大的‘武器’？下节课，我们将学习另一种神奇的方法——树状图法。”

六、作业设计

基础性作业（必做，巩固双基）：完成课本本节后练习第1、2、3题。要求规范书写列表过程，强调步骤完整、表格清晰。

拓展性作业（选做，情境应用）：“游戏设计”任务。设计一个简单的两人对战小游戏规则，要求游戏结果由两个步骤的随机事件决定（例如，双方各掷一次骰子，比较点数）。用列表法分析你设计的游戏中，甲方获胜的概率是多少。并思考：这个概率是否公平？如何调整规则使之更公平？

探究性/创造性作业（选做，深度探究）：研究“石头剪刀布”游戏。用列表法严格计算一局游戏中，平局、甲胜、乙胜的概率。你能发现这三个概率之间的关系吗？如果游戏规则改为“三局两胜”，那么甲最终获胜的概率还是1/3吗？（此问题可引出后续学习的兴趣，不要求完全解决）。

七、本节知识清单、考点及拓展

★列表法定义：一种通过绘制二维表格，系统列举随机事件所有等可能结果的方法。表格的行和列通常分别代表事件发生的两个独立或相关联的步骤。

★核心原理：P(A)=表格中事件A包含的等可能结果个数/表格中所有等可能结果总数。其根基仍是古典概型。

★适用前提（易错点）：必须同时满足（1）试验涉及两个步骤；（2）每个步骤及最终结果是等可能的。忽视“等可能”将导致根本性错误。

★规范操作步骤（四步法）：1.析步骤，定行列：明确事件的两个步骤，并确定哪个作为行，哪个作为列（通常无硬性规定，习惯上将先发生的步骤作为行）。2.制表格，填所有：画出二维表格，在第一行和第一列分别列出两个步骤的所有可能结果，在表格内部填写所有组合结果。3.审条件，判有效：根据题意（关键是“放回”还是“不放回”）判断每个单元格结果是否有效、等可能。4.标事件，算概率：在表格中圈出目标事件包含的结果，计数并计算概率。

▲列表法的优势：可视化强，使抽象思维过程变得直观；系统性好，能有效保证“不重不漏”；条理清晰，便于检查和交流。

★中考常见考点：1.直接要求用列表法求概率（规范过程是得分点）。2.在“放回”与“不放回”情境中辨析应用（高频易错）。3.与方程、不等式等知识结合，如“已知某事件概率，求相关参数值”。

▲思维误区警示：1.误将“非等可能”事件用列表法处理（如质地不均匀的骰子）。2.在“不放回”抽取中，忽略前后步骤的相关性，错误地将所有单元格视为等可能。3.列表时顺序混乱，导致重复计数。

▲方法比较前瞻：列表法主要适用于两步等可能事件。当步骤超过两步时，表格将变为三维甚至更高维，不再方便。此时，树状图法的优势便凸显出来，它为处理多步问题提供了更清晰的枝状结构。

八、教学反思

（一）目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标达成度较高。通过巩固练习的反馈，约85%的学生能独立规范地完成基础性列表求概率问题。能力目标方面，学生在“任务四”的变式讨论中表现活跃，多数能辨析“放回”与“不放回”对列表的影响，体现了初步的分析与建模能力。情感与思维目标潜移默化地渗透在“对比感知”与“归纳提炼”环节，从学生总结时使用的“清晰”、“有条理”、“不怕复杂了”等词语中，可见他们对有序思考工具价值的认同。

（二）教学环节有效性评估导入环节的“石头剪刀布”问题迅速引发了学生的认知兴趣，成功锚定了本节课的核心任务。“任务一”的“先试错”设计至关重要，它让学生真实体验了“无序之困”，为后续引入列表法创造了强烈的认知需求，这比直接讲授效果要好得多。新授主体环节的五个任务逻辑链条紧密，遵循了“感知需求-建立模型-辨析条件-内化方法”的认知建构规律。“当堂巩固”的分层设计基本满足了不同层次学生的需求，但挑战题完成率较低，说明其对思维灵活性的要求可能超出了部分学生的最近发展区。

（三）学生表现深度剖析在小组合作中，观察发现，思维活跃的学生（A类）往往充当了“方法演示者”和“总结提炼者”的角色；中等程度学生（B类）在模仿和