第一章 勾股定理 单元测试题（含答案）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2026-2027学年八年级数学上册第1章勾股定理单元测试题北师大版一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在△ABC中，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（）A．c2＝a2+b2 B．b2＝a2+c2 C．a2＝c2+b2 D．b＝a+c2．（3分）如图，这是用面积为6的四个全等的直角三角形，△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝5，那么正方形EFGH的边长为（）A．4 B．3 C．2 D．13．（3分）五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（）A．14 B．15 C．16 D．174．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，105．（3分）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A．AB＝AC＝1，BC＝2 B．BC：AC：AB＝1：2：3 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C6．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（）A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝627．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是（）A．18 B．19 C．26 D．348．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，99．（3分）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，已知树EF（垂直于地面）上的点B处（BE＝5米）有两只松鼠，为抢到A处（点A，E在同一水平地面上，AE＝10米）的坚果，一只松鼠沿B﹣E﹣A到达点A处，另一只松鼠沿B﹣F﹣A到达点A处．若两只松鼠经过的路程相等，则树EF的高为（）A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）有一根高度为18米的竹子，在某处弯折后尖端落在地上，竹尖与竹根的水平距离是6米，则竹子弯折处距离地面的高度是米．12．（3分）已知直角三角形的两边边长分别为4，5，则第三边的平方为．13．（3分）在△ABC中，若AC2＝BC2﹣AB2，则∠＝90°．14．（3分）如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为m．15．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．16．（3分）如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为m2．17．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝．（点A，B，C是网格线交点）．18．（3分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第七代勾股树中正方形的个数为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长．20．（8分）如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处．已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？21．（8分）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度．22．（10分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的长．23．（10分）（本题满分8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求AD的长；（2）判断△ABC的形状．24．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．25．（12分）如图所示，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．（1）这个梯子的顶端A距离地面多远？（2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？

参考答案一．选择题1．解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，∴b是斜边，∴b2＝a2+c2，故选：B．2．解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝52﹣4×6＝1，∴正方形EFGH的边长＝1，故选：D．3．解：如图，根据题意，得AB2＝3，AC2＝22，FG2＝8，∠BAC＝90°，∠FGE＝90°，BC＝EF，∴BC2＝AB2+AC2＝22+3＝25，∵BC＝EF，∴EF2＝25，又∵∠FGE＝90°，FG2＝8，∴EG2＝EF2﹣FG2＝25﹣8＝17，∴含有问号的那个正方形的面积是17．故选：D．4．解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；故选：D．5．解：A、∵AB＝AC＝1，BC＝2，∴AB2+AC2＝12+12＝2，BC2＝22＝4，∴AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵BC：AC：AB＝1：2：3，∴设BC＝a，AC＝2a，AB＝3a，∵BC2+AC2＝a2+4a2＝5a2，AB2＝（3a）2＝9a2，∴BC2+AC2≠AB，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．6．解：由图可得，x2+62＝（10﹣x）2，故选：C．7．解：如图，连接AC，∵S1＝8，S2＝11，S3＝15，∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝26，在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，∴CD2＝26﹣8＝18，∴S4＝18，故选：A．8．解：A、∵22+32＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵3+3＝6，∴不能构成三角形，故B不符合题意；C、∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴能构成直角三角形，故C符合题意；D、∵52+72＝74，92＝81，∴52+72≠92，∴不能构成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．9．解：∵每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，∴每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，A：由勾股定理得：S＝4+9＝13，故A不符合题意；B：S＝9﹣4＝5，故B符合题意；C：S＝4+3＝7，故C不符合题意；D：S＝4﹣3＝1，故D不符合题意；故选：B．10．解：设设BF为xm，则EF＝（5+x）m，由题意知：BE+AE＝15m，∵两只松鼠所经过的路程相等，∴BF+AF＝15m，∴AF＝（15﹣x）m，在Rt△AEF中，由勾股定理得：102+（x+5）2＝（15﹣x）2，解得x＝2.5，∴EF＝5+2.5＝7.5（m），答：这棵树高7.5米．故选：C．二．填空题11．解：设竹子弯折处距离地面的高度为x米，则弯折后形成的斜边长度为（18﹣x）米．由题意可得方程：x2+62＝（18﹣x）2，解得：x＝8，故答案为：8．12．解：当5是直角边长时，第三边的平方＝42+52＝41；当5是斜边长时，第三边的平方＝52﹣42＝9，故答案为：41或9．13．解：∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2+AB2＝BC2，则△ABC是直角三角形，且边BC是斜边，∴∠BAC是直角．故答案为：BAC．14．解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．15．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．16．解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，∴AC＝15m，又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×15×20﹣×9×12＝96（平方米）．故答案为：96．17．解：延长BA交格点于D，连接CD，则AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．故答案为：45°．18．解：第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），…，第七代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26+27＝255（个），故答案为：255．三．解答题（共7小题，满分66分）19．解：设PA＝x＝PB，可得：CP＝5﹣x，∵根据勾股定理可得：AC2+CP2＝PA2，∴22+（5﹣x）2＝x2，，∴PA的长为．20．解：设AB的长为x米．则BC的长为（x﹣2）米．∵AC＝14米，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴142+（x﹣2）2＝x2，解得x＝50．答：滑雪台的长度AB为50米．21．解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．22．解：设AE＝BF＝x寸，则AC＝（x+2）寸，∵AE2+CE2＝AC2，∴x2+102＝（x+2）2，解得：x＝24，则AB＝24+24+4＝52（寸），答：AB的长为52寸．23．解：（1）在△BCD中，CD⊥AB，∴BD2+CD2＝BC2．∴CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．∴CD＝12．在△ACD中，CD⊥AB，∴CD2+AD2＝AC2．∴AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．∴AD＝16（负值已舍）．（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵AD＝16，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．∵BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，∴AB2＝BC2+AC2．∴△ABC是直角三角形．24．解：（1）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝12，BC＝15，∴BD2＝BC2﹣CD2＝152﹣122＝81，∴BD＝9；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，CD＝12，AD＝16，∴AC2＝CD2+AD2＝122+162＝400，∴AC＝20．∵AD＝16，BD＝9，∴AB2＝