2026秋人教版八上数学 专题02 全等三角形的八类综合题型（专题训练）

期末专题02全等三角形的八类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用全等三角形的性质求解类型二、添加一个条件使两三角形全等类型三、全等三角形的判定与性质类型四、角平分线的性质和判定类型五、全等三角形中动点多结论问题类型六、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题类型七、全等三角形中的动点综合问题类型八、全等三角形中新定义型综合问题压轴专练类型一、利用全等三角形的性质求解核心技巧：先准确判定全等，再直接应用“对应边相等、对应角相等”转移线段和角度。分点说明：1.判定奠基：根据已知条件（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）严格证明两个三角形全等。2.性质转移：证明全等后，立即将待求的边、角标记为全等三角形的对应元素。3.结合图形：将转移后的等量关系，与图形中的其他条件（如平行、垂直、中点）结合，建立方程或推出新结论。关键点：全等是工具，核心在于通过全等，将未知元素“转移”到已知或更易求解的位置上。例1．（2026八年级上·吉林·期末）如图，，，，则．【变式1-1】（2026七年级下·广东揭阳·期末）如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为．【变式1-2】（2026七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为．【变式1-3】（2026七年级下·重庆·期末）如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则．类型二、添加一个条件使两三角形全等核心技巧：分析已有条件，遵循全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），逆向补充缺失的对应关系。分点说明：1.确定目标：观察图形，明确已知的两对对应相等元素（如边或角）。2.判断定理：根据已知条件，推断最可能适用的全等判定定理。3.补充条件：补充一个使该定理成立所需的对应相等元素，注意必须是“对应”边或角。关键点：优先补充图形中“看起来”相等的元素，并确保所加条件与已知条件能构成完整的判定定理，避免SSA（边边角）等无效组合。例2．（2026八年级上·全国·期末）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是．【变式2-1】（2026八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E分别在线段，上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是．（只需写一个，不添加辅助线）【变式2-2】（2026八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使．【变式2-3】（2026八年级上·江苏淮安·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：其中正确的结论有(填序号)．；②；③；；⑤．类型三、全等三角形的判定与性质核心技巧：判定是前提，性质是工具。先严格依据判定定理证全等，再运用“对应元素相等”转移条件求解。分点说明：1.判定方法：根据已知条件（边、角）选择合适的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），注意对应关系和图形位置。2.应用性质：全等后，立即标记所有对应边、对应角相等，作为后续推理的已知条件。3.解决问题：利用转移后的等量关系，结合其他几何性质（如平行线、中点等）进行计算或证明。关键点：判定时确保条件充足且对应；应用性质时需准确识别对应元素，这是解题的核心桥梁。例3．（2026八年级上·甘肃临夏·期末）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【变式3-1】（2026七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，．【问题探究】（1）请说明；【问题解决】（2）若，，求的长．【变式3-2】（八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，．(1)如图①所示，延长交于点F，求的度数；(2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2026八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点M，N分别在上，且，连接交于点D，求证：；（2）如图2，在中，于点M，点N在上，且，求证：；（3）如图3，在中，点E在边上，点F在线段上，且，连接．求证：．类型四、角平分线的性质和判定核心技巧：性质是“平分角且到两边距离相等”，判定是“到角两边距离相等的点在角平分线上”。解题分点说明：1.用性质解题：已知是角平分线，立即得到两角相等和角平分线上点到角两边的**距离相等**（常用于等面积法或构造全等）。2.用判定解题：要证一条线是角平分线，通常可证该线上一点到角两边的**距离相等**，或利用全等证明两角相等。3.常见辅助线：由角平分线的点向两边作**垂线段**，这是利用其性质（距离相等）和判定（证距离相等）的最常用辅助线。关键点：性质与判定互逆，核心都围绕“距离相等”和“角相等”。解题时优先考虑作双垂线构造全等直角三角形。例4．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线．(1)若，求的度数；(2)过点D作于点E，若，，求的值．【变式4-1】（2026七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______；（2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系；（3）如图3，平分，若，，求的度数．【变式4-2】（2026八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点．(1)如图1，求；(2)如图2，过点作，交于点，求证：；(3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______．【变式4-3】（八年级上·湖北黄冈·期末）如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H．(1)求证：；(2)请你判断并与之间的数量关系，并证明；(3)如图②，在中，如果不是直角，，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．类型五、全等三角形中动点多结论问题核心技巧：锁定动态中的“不变关系”，通常是某一对基础三角形恒全等。分点说明：1.找静制动：分析动点运动过程中，哪些边、角关系始终保持不变（如公共边、固定角、等长线段），它们是全等的固定条件。2.定基础全等：利用不变条件，证明一组基础三角形（常含动点）在任何位置都全等（如SAS型），这是后续所有结论的基石。3.由全等推结论：根据这组恒全等，推出对应边、对应角始终相等，进而判断线段长度、角度、面积等结论是否成立。关键点：关键在于第一步识别出“不变条件”，并证明出一组核心的恒全等关系，后续结论均由此衍生。例5．（2026八年级上·全国·期末）如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-1】（2026八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-2】（八年级上·山东滨州·期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】（2026七年级下·全国·期末）如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个类型六、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题核心技巧：按动点的位置或运动轨迹可能引发的不同图形结构（如点在线段上、延长线上或不同侧）进行分类讨论。分点说明：1.找分界点：分析动点运动过程中，哪些特殊位置会改变图形的相对关系（如使边或角的对应关系发生变化）。这些位置通常是分类的临界点。2.依类画图：对每一类情况，单独画出准确的示意图，避免想象造成的遗漏或混淆。3.逐类求解：在每一类图形下，重新判断全等的条件是否依然满足，并独立完成证明和计算。关键点：分类的标准必须清晰、不重不漏。通常以动点与图形中其他关键点（如端点、交点）的相对位置作为分类依据。例6．（2026八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为秒．【变式6-1】（2026七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，s．【变式6-2】（2026七年级下·安徽宿州·期末）如下图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为秒．【变式6-3】（2026七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为．类型七、全等三角形中的动点综合问题核心技巧：识别并利用“动态中的不变性”，通常是基于一组恒等的边或角，证明核心三角形在任何位置都保持全等。分点说明：1.抓不变关系：在动点运动中，寻找始终保持不变的几何关系，如固定长度的边、固定度数的角、平行或垂直关系。2.证基础全等：利用这些不变关系，证明一组包含动点的基础三角形（如△APB与△CQD）在任何位置都全等。3.由静推导：基于这组恒等的全等关系，推导出结论中所需的对应边相等、对应角相等，进而解决线段、角度、面积或最值等问题。关键点：解决问题的根本在于第一步——找到运动中那些像“锚点”一样的固定条件，这是全等关系得以在动态中成立的基础。例7．（2026七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点．(1)如图1，连接，试说明．(2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由．(3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积．【变式7-1】（2026八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，．(1)若，则______；(2)求的长；(3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值．【变式7-2】（2026八年级上·江西新余·期末）如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．(1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）；(2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半；(3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度．【变式7-3】（七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：；(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由．(3)当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值．类型八、全等三角形中新定义型综合问题核心技巧：将新定义准确转化为已知的全等判定条件或性质，并在图形中识别和构造对应的全等关系。分点说明：1.阅读理解：精读定义，明确新概念（如“和谐三角形”、“共边角”）的具体几何条件与规则，并用图形和符号语言进行转译。2.条件关联：将新定义中的条件与全等三角形的判定定理（如SSS、SAS）或性质（对应边角相等）建立联系。3.应用模型：在图形中寻找或通过添加辅助线构造出满足新定义条件的三角形，并运用全等知识进行证明或计算。关键点：不要被新名词迷惑，其本质往往是已知全等知识的变式或组合。解题的关键在于将陌生定义“翻译”成熟悉的几何语言和条件。例8．（2026七年级下·江苏南京·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．(1)已知四边形是对补四边形．若，则___________°；(2)如图①，中，点、分别在、上，，为与的交点，的延长线与交于点．求证：四边形是对补四边形；(3)如图②，已知．求作对补四边形，使得点、分别在的边，点在的平分线上（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．【变式8-1】（七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长．【综合应用】（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．一、单选题1．（2026七年级下·贵州毕节·期末）如图，≌，若，，则的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．62．（2026八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为（

）A．9 B．12 C．18 D．363．（2026七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（

）A．10米 B．15米 C．20米

D．30米4．（2026七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（

）A．① B．② C．③ D．④5．（2026八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（

）A． B．或 C． D．或二、填空题6．（2026七年级下·广东深圳·期末）如图，，要使，还需要添加一个条件是（添加一个即可）7．（2026七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交的延长线于点．如果，则．8．（2026八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为．9．（2026八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为．10．（2026七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为秒时，和全等．三、解答题11．（2026八年级上·全国·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，且和交于点P，连接．(1)①；②是的角平分线；③；④；正确的是_____．(2)求证：．12．（2026七年级下·河北保定·期末）如图，，，，点在边上，与相交于点．(1)试说明：．(2)若，，，求与的周长之和．13．（2026七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取．任务1：实践与操作：①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）．②你作的与全等的依据是、、、．任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分．①试猜想．②请你求出的度数．14．（2026八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，．(1)求证：；(2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：．15．（2026八年级上·全国·期末）【问题引领】（1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________．【探究思考】（2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由．【拓展延伸】（3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由．16．（2026八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．平分，即．新知应用：(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．17．（2026七年级下·贵州毕节·期末）如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点(1)若，线段与相等吗？请说明理由．(2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长．(3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由．18．（2026七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法．【模型证明】常见模型1条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，．常见模型2条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E．结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）．常见模型3条件：如图，是的角平分线，．结论：．根据模型3的条件，请证明上述结论．【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是．【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为米．答案解析类型一、利用全等三角形的性质求解例1．（2026八年级上·吉林·期末）如图，，，，则．【答案】/14度【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算．【详解】解：∵，，，，，故答案为：．【变式1-1】（2026七年级下·广东揭阳·期末）如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为．【答案】6【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：6．【变式1-2】（2026七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为．【答案】32【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由得到，，得到，，从而，再由即可求解．【详解】解：∵，∴，，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：32．【变式1-3】（2026七年级下·重庆·期末）如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，由垂线的定义可得，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，，∵垂足为G，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．类型二、添加一个条件使两三角形全等例2．（2026八年级上·全国·期末）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．已知，公共边，只需要再添加一组对应边相等即可．【详解】解：添加，∵，，，∴．故答案为：（答案不唯一）．【变式2-1】（2026八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E分别在线段，上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是．（只需写一个，不添加辅助线）【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，添加时，利用“”判定即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．【详解】解：在和中，，，∴添加时，可由“”判定，故答案为：（答案不唯一）．【变式2-2】（2026八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使．【答案】（答案不唯一）【分析】由平行线的性质得，，再由证明即可．本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】解：添加，理由如下：，，，又，∴．故答案为：（答案不唯一）．【变式2-3】（2026八年级上·江苏淮安·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：其中正确的结论有(填序号)．；②；③；；⑤．【答案】①②③④⑤【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，利用角边角判定三角形全等即可判断⑤，从而得出答案．【详解】解：，，，，，，故②正确，符合题意；，即，故①正确，符合题意；，，，，，故③正确，符合题意；，，，，，，，，，故④正确，符合题意；，故⑤正确，符合题意；综上所述，正确的有①②③④⑤，故答案为：①②③④⑤．类型三、全等三角形的判定与性质例3．（2026八年级上·甘肃临夏·期末）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）利用“”证明全等即可；（2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形外角的性质求解即可．【详解】（1）证明：，，在和中，，；（2）解：，，，，，．【变式3-1】（2026七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，．【问题探究】（1）请说明；【问题解决】（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，（1）根据角角边判定三角形全等即可；（2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出．【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以，即，所以，在和中，，所以．（2）由（1）知：，，所以，又因为，，所以，所以，在和中，，所以，所以．【变式3-2】（八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，．(1)如图①所示，延长交于点F，求的度数；(2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)与相互垂直，，理由见解析【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；（2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解．【详解】（1）解：在和中，，，，，，；（2）解：与相互垂直，．理由如下：，，即，在和中，

，，，，，．【变式3-3】（2026八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点M，N分别在上，且，连接交于点D，求证：；（2）如图2，在中，于点M，点N在上，且，求证：；（3）如图3，在中，点E在边上，点F在线段上，且，连接．求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．（1）由，得到，则，即可解答；(2)过点B作于点K，由，，得，即可解答；(3)在的延长线上取一点H，使得，连接．由，得，，，则即可解答．【详解】解：（1）∵，∴，∴；（2）过点B作于点K，如图∵，，∴，∵，∴∴，∴，即，∵，∴∴，∴；（3）在的延长线上取一点H，使得，连接，如图∵，∴，∴，∵∴，∴，∴．类型四、角平分线的性质和判定例4．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线．(1)若，求的度数；(2)过点D作于点E，若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据直角三角形两锐角互余得到，再由角平分线的定义得到，在中即可求解；（2）由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵是的角平分线，，∴，∵，，∴，，∴．【变式4-1】（2026七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______；（2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系；（3）如图3，平分，若，，求的度数．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．（1）直接根据角平分线的性质可判断；（2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到；（3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数．【详解】解：（1）如图1，∵，，∴，∴，，∵平分，∴；故答案为：；（2），如图2，过点D作于E，交延长线于F，平分，，，，，，，在和中，，．∴；（3）如图3，过点D作于E，交延长线于F，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴．【变式4-2】（2026八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点．(1)如图1，求；(2)如图2，过点作，交于点，求证：；(3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______．【答案】(1)(2)见详解(3)【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解；（2）如图所示，延长交于点，证明，，再证明，，由此即可求解；（3）延长，过点作于点，作，由判定，，结合全等三角形的性质及三角形的面积得，设，则，可得，，作交于，结合角平分线的性质及可判定，（），由全等三角形的性质得，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵分别是和的平分线，∴，∴，；（2）解：如图所示，延长交于点，∵是角平分线，∴，∵，∴，且，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，且，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，延长，过点作于点，作，∵，∴，∴，且，∴，∴，，∵，∴，，，∵，∴，且，∴，，∴，，，∵与面积之和为5，，，，设，则，，，如图，作交于，∵是角平分线，，，，平分，，，（），，，，，（），，，解得，．故答案为：．【变式4-3】（八年级上·湖北黄冈·期末）如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H．(1)求证：；(2)请你判断并与之间的数量关系，并证明；(3)如图②，在中，如果不是直角，，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3)（2）中所得结论成立，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理即可解答；（2）根据角平分线的性质可得，可证明，即可解答；（3）过点F作于M．作于N，连接，角平分线的性质可得，再由四边形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，可证明，即可解答．【详解】（1）证明：∵是直角，，∴，∵分别是的平分线，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：，证明如下：如图，连接，∵分别是的平分线，∴也是角平分线，∵，，∴，由（1）得：，∵，∴，∴；（3）解：（2）中所得结论成立，证明如下：如图，过点F作于M．作于N，连接，∵分别是的平分线，∴也是角平分线，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴．类型五、全等三角形中动点多结论问题例5．（2026八年级上·全国·期末）如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．由证明得出，，可判定②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，可判定①正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，可判定④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故可判定③错误；即可得出结论．【详解】解：，，，，，即，在和中，，，，，故结论②正确，符合题意；（已证），，由三角形的外角性质得：，，故结论①正确，符合题意；作于，于，如图，则，，，∵，，（全等三角形对应边的高相等），平分，故结论④正确，符合题意；假设平分，则，平分，，，则，即，在与中，，，，，，而，故结论③错误，不符合题意；正确的个数有3个；故选：C．【变式5-1】（2026八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】在上取一点，使，延长交于，结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可．【详解】解：，，分别平分，，，，故正确；在上取一点，使，，，，，，，又，，，，，故②正确；无关联，不一定成立，故③错误；延长交于，，，，，，，，，，不一定相等，不一定成立，故④错误；如上图，，，，即，，故⑤正确．综上，结论①②⑤正确,故选：B．【变式5-2】（八年级上·山东滨州·期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题综合考查角平分线的性质与判定、平行线的性质及三角形内角和定理．解题关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合平行线的内错角关系推导角度与线段的等量关系．通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、平行线的性质（内错角相等）以及三角形内角和定理，逐一分析四个结论的正确性，统计错误结论的个数．【详解】解：过点P作于点G，连接，∵平分平分于点N，于点M，∴，∴，故①正确；∵，于点N，于点M，∴点P在的平分线上，故②正确；∵，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，由图可知，故③错误；∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，故④正确．故选：A．【变式5-3】（2026七年级下·全国·期末）如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】D【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可.【详解】平分，，①错误；平分，，，，，，②正确：，，③正确；当时，不一定等于，④错误；，，，⑤错误．综上，正确的结论有个，故选D．类型六、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题例6．（2026八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为秒．【答案】5【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答．【详解】解：和全等，分两种情况，①当时，即当点P在上运动时，此时，则，∴；②当时，即当点P在上运动时，此时，则，∴，∴，即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒；故答案为：5．【变式6-1】（2026七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，s．【答案】1或或【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可．【详解】解：由题意得，∴，当点在上，点第一次从上时，∵与全等，，，，当点在上，点从上时，∵与全等，，，当点在上，点从上时，∵与全等，，，，（舍）；当点在上，点第二次从上时，∵与全等，，，，综上所述：t的值为1或或；故答案为：1或或．【变式6-2】（2026七年级下·安徽宿州·期末）如下图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为秒．【答案】或【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键；根据题意，分、或、讨论，即可求解．【详解】解：当，∴，∴与全等时，为的中点，则、，，∴当点由点到点，即时，则，解得：；当点由点到点，即时，，解得：；综上所述，当与全等时，的值为或．故答案为：或．【变式6-3】（2026七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为．【答案】或或【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】解：假设运动的时间为，当时，即点在上，如图，若，则，，；若，则，，；当时，即点在上，若，则，，；若，则，，所以，当时，即点在上，此时，∴所以不存在和全等，综上所述，点的运动速度为：或或，故答案为：或或．类型七、全等三角形中的动点综合问题例7．（2026七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点．(1)如图1，连接，试说明．(2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由．(3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键．（1）根据已知证明，，即得；（2）根据，，得，结合，证明；（3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4．【详解】（1）证明：，，∵，∵∴∴在和中，，，，，，即；（2）全等，理由如下：证明：，，，在和中，，；（3）解：如图，连接，，，∴∵∴由（1）∴【变式7-1】（2026八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，．(1)若，则______；(2)求的长；(3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由三角形的高的概念可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由对顶角相等可得，进而可得，于是得解；（2）由（1）得，，利用可证得，于是可得，由此即可求出的长；（3）由三角形外角的性质可得，，进而可得，依题意得，，然后分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时；分别利用全等三角形的性质列方程求解即可．【详解】（1）解：的两条高与交于点O，，，，又，，故答案为：；（2）解：由（1）得：，，在和中，，，；（3）解：，，，依题意得：，，点F是射线上一点，且，分以下两种情况讨论：①当点在线段上时，，当与全等时，点在的延长线上，如图所示：此时，，，，，解得：；②当点在线段的延长线上时，，当与全等时，点在线段上，如图所示：此时，，，，，解得：；综上，当与全等时，的值为或．【变式7-2】（2026八年级上·江西新余·期末）如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．(1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）；(2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半；(3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度．【答案】(1)；(2)或(3)运动的速度为或或或【分析】（1）利用速度乘时间即可求解；（2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；（3）设点Q的运动速度为，然后再分类讨论，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．【详解】（1）解：∵，cm，cm，cm，动点速度为，设运动时间为秒．点在边上，，点在边上，，故答案为：；；（2）解：①如图1.1，当P在上，的面积等于面积的一半，∴，，②当P在上时，如图，的面积等于面积的一半，∴，，；t的值为或；（3）在中，，cm，cm，．设点Q的运动速度为，当点P在上，点Q在上，①时，，，解得；②时，，，解得；当点P在上，点Q在上，①时，，∴，解得，，②时，，∴，解得，，综上所述，运动的速度为或或或．【变式7-3】（七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：；(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由．(3)当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)或【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算，掌握三角形全等的判定是解题的关键．（1）根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）理由：如图2，作交的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（3）如图3，点D在的延长线上，作交的延长线于点F，则，根据全等三角形的判定和性质定理得到，得到，求得，设，则，得到，如图4，点D在线段上，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：如图1，∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：，理由：如图2，作交的延长线于点F，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∵．（3）解：当点D在的延长线上时，作交的延长线于点F，如图3，则，∴又∵，即∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，设，∵，∴，，∴∴，，∴，∴的值为；当点D在线段上时，如图4，由（1）知：，∴，，∵∴在和中，，∴，∴，设，∵，∴，，∴∴，∴，综上所述，的值为或．类型八、全等三角形中新定义型综合问题例8．（2026七年级下·江苏南京·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．(1)已知四边形是对补四边形．若，则___________°；(2)如图①，中，点、分别在、上，，为与的交点，的延长线与交于点．求证：四边形是对补四边形；(3)如图②，已知．求作对补四边形，使得点、分别在的边，点在的平分线上（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．【答案】(1)90(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据对补四边形的性质求解即可；（2）先证明，结合，求得，再根据三角形的外角性质求得，再利用邻补角的性质即可证明四边形是对补四边形；（3）先利用角平分线的尺规作图法作出的平分线，在角平分线取一点，在任取一点，以点为圆心，为半径作圆，与相交于点和，连接，则四边形为对补四边形．【详解】（1）解：∵四边形是对补四边形，，∴，∴，故答案为：90；（2）解：如图，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴四边形是对补四边形；（3）解：如图，四边形为对补四边形，先利用角平分线的尺规作图法作出的平分线，在角平分线取一点，在任取一点，以点为圆心，为半径作圆，与相交于点和，连接，则四边形为对补四边形，作于点，作于点，∵是的平分线，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴四边形为对补四边形．【变式8-1】（七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长．【综合应用】（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；（2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）过过点作于点，先证明则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可.【详解】（1）解：过点作于，与是积等三角形，，，，；（2）解：如图2，延长至，使，连接，与为积等三角形，在和中，，在中为正整数，；（3）是积等三角形证明：如图3，过点作于点，

在和中，，与为积等三角形．一、单选题1．（2026七年级下·贵州毕节·期末）如图，≌，若，，则的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得到边长相等．根据全等三角形的性质可得，，，再根据边长的关系求解即可．【详解】解：∵≌，∴，，∵，，∴，，∴，即的长为4．故选：C．2．（2026八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为（

）A．9 B．12 C．18 D．36【答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式进行求解即可．【详解】解：过作于，如图，∵平分交于点，∴，∴的面积为．故选：C．3．（2026七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（

）A．10米 B．15米 C．20米

D．30米【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据已知得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答．【详解】解：，，在和中，，，米，∴A，B两点间的距离为米，故选：C．4．（2026七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②④；根据和判断③即可．【详解】解：在中，，∴，又∵分别平分，∴，∴，∴，故①正确；∴，又∵，∴，∴，又∵，在和中，，∴，故②正确；∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴；故④正确；，，，，，，故③错误；故选：C．5．（2026八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】本题考查三角形全等的判定方法，分情况讨论：①，此时，可据此求出的值．②，此时，P、C重合，据此求出的值．【详解】解：，，根据三角形全等的判定方法可知：①当P运动到时，∵，在与中，，∴，即；②当P运动到与C点重合时，，在与中，，∴，即，综上所述，当的值为或时，与全等，故选：D．二、填空题6．（2026七年级下·广东深圳·期末）如图，，要使，还需要添加一个条件是（添加一个即可）【答案】或或（添加一个即可）【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可．【详解】在和中，，，添加，用边角边证；添加，用角边角证；添加，用角角边证；故答案为：或或．7．（2026七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交的延长线于点．如果，则．【答案】【分析】本题考查了用尺规作图-作等角，三角形内角和定理．由三角内角和定理可求，由作图可知：，进而可求的度数，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意得，，由作图可知：，∴，∴，故答案为：．8．（2026八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为．【答案】3【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此．【详解】解：连接，由平移的性质得到，，∴，，∴，∵，，∴平分，∴，∴，∴，∴．故答案为：3．9．（2026八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为．【答案】【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，∵平分，，∴，，∴，∵平分，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴点在在的角平分线上，即平分，∴，∴，即的度数为．故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作辅助线．10．（2026七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为秒时，和全等．【答案】或【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论．由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可．【详解】解：∵在长方形中，，，∴，，，∵点在延长线上，∴，若，则，∴运动时间，若，则，∴运动时间，故答案为：或．三、解答题11．（2026八年级上·全国·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，且和交于点P，连接．(1)①；②是的角平分线；③；④；正确的是_____．(2)求证：．【答案】(1)①②④(2)证明见解析【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，④正确；现有已知条件无法得出；（2）由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出．【详解】（1）解：∵、分别是与的角平分线，，∴，∴，故①正确；∵，∴，过点P作，，，∵、分别是与的角平分线，∴是的角平分线，故②正确；∴，∵，，∴，∴，在与中，，∴，∴，故④正确；没有条件得出，故③不正确．综上，正确的是①②④，故答案为：①②④；（2）证明：在与中，，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，，两式相加得，，∵，∴．12．（2026七年级下·河北保定·期末）如图，，，，点在边上，与相交于点．(1)试说明：．(2)若，，，求与的周长之和．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（）由得，进而由即可求证；（）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解；本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，，∴与的周长之和．13．（2026七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取．任务1：实践与操作：①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）．②你作的与全等的依据是、、、．任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分．①试猜想．②请你求出的度数．【答案】任务1：①见解析；②；任务2：①90；②．【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．任务一：根据作出三角形即可；任务二：①猜想：；②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可．【详解】解：任务一：①如图1中，即为所求；②依据是：，故答案为：；任务2：①猜想：．故答案为：90；②，，，，平分，平分，，，，．14．（2026八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，．(1)求证：；(2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明，得出，进而可得，即可得证；（2）连接，证明，得出，由，可得，即可得证．【详解】（1）证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．15．（2026八年级上·全国·期末）【问题引领】（1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________．【探究思考】（2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结