2026秋人教版八上数学 专题14 分式运算与规律、新定义型问题的七类综合题型（专题训练）

专题14分式运算与规律、新定义型问题的七类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、分式的混合运算问题类型二、分式的混合运算先化简求值问题类型三、分式的混合运算错解复原问题类型四、分式的混合运算规律探究问题类型五、分式的混合运算假分数问题类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题类型七、分式的混合运算新定义型问题压轴专练类型一、分式的混合运算问题1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。例1．化简：(1)；(2)．【变式1-1】计算：(1)；(2)．【变式1-2】计算：(1)；(2)【变式1-3】化简：(1)；(2)．类型二、分式的混合运算先化简求值问题1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。例2．先化简，再求值：，其中．【变式2-1】先化简，再求值：，其中．【变式2-2】先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．【变式2-3】化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．类型三、分式的混合运算错解复原问题1.

顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。2.

回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。3.

代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。例3．下面是小华化简分式的过程：解：原式．第一步第二步第三步(1)小华的化简过程从第______步开始出现错误；(2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值．【变式3-1】先化简，再求值：，其中．小文的部分解答过程如下：原式……①……②……③当时，原式．请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【变式3-2】下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务．解：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误；(2)任务二：请你写出正确的计算过程．【变式3-3】以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程．解：①②③④⑤小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．类型四、分式的混合运算规律探究问题1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算n=1,n=2,n=3...时的结果。你先把这几项的结果算出来，写在一起。2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号n之间有什么联系。试着用n把这个规律表示出来，这就是通项公式。3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用n=4或n=5验证一下。把值代入你总结的公式，看结果是否和直接计算的一样。例4．观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…(1)第5个等式是_______________；(2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性．【变式4-1】观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；．．．按照以上规律，解决下冽问题：(1)写出第7个等式；(2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明．【变式4-2】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，回答下列问题：(1)写出第5个等式：________________________；(2)猜想：用含的等式表示第个等式：________________，并说明理由．【变式4-3】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式_____；(2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）；(3)通过代数运算说明（2）中猜想正确．类型五、分式的混合运算假分数问题1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。例如，(x²+2x+3)/(x+1)可以拆成(x+1)+2/(x+1)。2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。这能帮你快速找到最大值或最小值。例5．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：．(1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和；(2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值；(3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值．【变式5-1】阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；．请根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______+______．(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．【变式5-2】阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）如：；再如：．解决下列问题：(1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）；(2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．(3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题1.

取倒数，化繁为简：如果题目给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。2.

结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代入，快速求出这个倒数的值。3.

再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。例6．阅读下面的解题过程：已知：，求的值．解：由，可知，，即①②，故的值为．(1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示）(2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知：，求的值；(3)已知：，求的值．【变式6-1】（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．解：由，知，所以，即．，的值为7的倒数，即．以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知，求的值．（三）问题解决：已知：．求代数式的值．【变式6-2】阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值为该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)拓展：已知，，，求的值．【变式6-3】阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即．因此，所以的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值．类型七、分式的混合运算新定义型问题1.

仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。2.

套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。这就像套用一个新的数学公式一样。3.

结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。例7．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”，如：(1)下列分式中，属于“和美分式”的是（填序号）；①②③④(2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值．【变式7-1】定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）(2)已知分式是分式A的“友好分式”．①求分式A的表达式；②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值．【变式7-2】定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”．(1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．①求P（用含x的式子表示）；②若为定值，求m与n之间的数量关系．【变式7-3】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”．(1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号）①与，②与，③与，④与．(2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______；(3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______；(4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______．一、单选题1．（2026八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（

）A． B． C． D．2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．（2026八年级上·全国·课后作业）已知，则M等于（

）A． B． C． D．4．（2026七年级下·全国·单元测试）若，则（

）A．， B．， C．， D．，5．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2025·贵州遵义·模拟预测）当时，代数式的值是7．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为．8．（2025八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则．9．(2025八年级上·湖南岳阳·竞赛）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于．10．（2026七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式．三、解答题11．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）计算：(1)；(2)．12．（2026八年级上·山东东营·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)．13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程．先化简，再求值：，其中．解：原式…第一步…第二步…第三步当时，原式．…第四步(1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误；(2)请你写出正确的解题过程．14．（2026八年级上·贵州遵义·期末）已知分式，分式，分式．(1)为何值时，分式A和分式B的值相等？(2)当时，求分式的值．15．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知：，，，若，求．（2）先化简，再求值：，且为满足−的整数．16．（河北·模拟预测）【观察】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：【类比】（1）写出第5个等式．【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．17．（2026八年级下·江苏宿迁·阶段练习）阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2．(1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”．(2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数，①求E所表示的代数式．②求所有符合条件的x的值．18．（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：…．按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_______；(2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明．19．（2026八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”．(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：（填序号）；①②③④(2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝．(3)和谐分式的最大值为．(4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值．20．（2026八年级下·全国·假期作业）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值．解：，，即．，．材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值．解：令，则，，．原式．根据材料回答以下问题：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．答案解析类型一、分式的混合运算问题例1．化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键．（1）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可；（2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式1-1】计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的混合运算．（1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后计算分式的乘法即可；（2）先分解分式，将除法转化为乘法，计算分式的乘法，最后计算减法即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式1-2】计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了分式的乘除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）先计算积的乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．【详解】（1）解：原式（2）解：原式．【变式1-3】化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）将括号内分式进行通分化解，然后因式分解化简即可；（2）将括号内分式进行通分化解，将除法换算成乘法，对分式进行化简求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．类型二、分式的混合运算先化简求值问题例2．先化简，再求值：，其中．【答案】2【分析】本题需要先对分式进行化简，再代入求值，首先处理括号内的加法运算，将整式与分式合并为一个分式，然后进行分式的除法运算，转化为乘法后约分，最后代入数值计算，【详解】解：，，，，，当时，原式．【点睛】本题的关键在于分式的通分和因式分解，解题的关键是将括号内的项通分为一个分式，然后利用分式除法的性质进行化简．【变式2-1】先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的分式的减法，再计算除法，结果化为最简形式，然后利用零指数幂及负整数指数幂计算，再代入前面化简的式子计算即可．掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键．【详解】解：，∵，∴原式．【变式2-2】先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．【答案】，【分析】本题考查了分式化简求值，先通分再运算除法，化简得，经分析，得，，故把代入进行计算，即可作答．【详解】解：，∵，，，原式．【变式2-3】化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】，当时值为3【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可．本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则，准确的计算是解题的关键．【详解】解：，因为，，，所以，，，因为，且为整数，所以不等式组中符合条件的整数有，0,或2，所以当时，原式．（答案不唯一）……类型三、分式的混合运算错解复原问题例3．下面是小华化简分式的过程：解：原式．第一步第二步第三步(1)小华的化简过程从第______步开始出现错误；(2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值．【答案】(1)二(2)，7【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．（1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，即可得出结果；（2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可．【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，故答案为：二；（2）解：，∵，∴，当时，原式．【变式3-1】先化简，再求值：，其中．小文的部分解答过程如下：原式……①……②……③当时，原式．请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【答案】最早出现错误步骤的序号是①，见解析【分析】本题考查了分式的化简求值．先找出最早出现错误步骤的序号，再计算即可．【详解】解：第①步不应该乘以，即最早出现错误步骤的序号是①，原式当时，原式【变式3-2】下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务．解：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误；(2)任务二：请你写出正确的计算过程．【答案】(1)二(2)【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题；（2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题．【详解】（1）小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误；（2）．【变式3-3】以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程．解：①②③④⑤小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【答案】小明的解答过程错误，错误出现在第③步，见解析【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．根据分式的基本性质以及分式的加减运算法则去判断即可求解．【详解】解：小明的解答过程错误，错误出现在第③步，正确的解题过程如下：．类型四、分式的混合运算规律探究问题例4．观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…(1)第5个等式是_______________；(2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分式的加减乘除混合运算，数字规律，列代数式，关键是找出数字的规律变化．(1)观察规律写出即可；(2)观察出规律：等号左边第一个分数分母为n，分子比分母大1；第二个分数分母为，分子固定为2；等号右边的分数分母为等号左边两个分数分母的乘积，分子为.【详解】（1）解：(1)第1个等式：；

第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……根据此规律，第5个等式为：.故答案为：.（2）由题目中给定的规律，第n个等式为：.下面证明：等式左边=右边∴.【变式4-1】观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；．．．按照以上规律，解决下冽问题：(1)写出第7个等式；(2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)；(2)，证明见解析【分析】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．（1）根据前5个等式得出第7个等式即可；（2）通过观察分子和分母上的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．【详解】（1）解：由题意可知，第7个等式为．（2）解：猜想的第个等式：，证明：∵左边右边，∴等式成立．【变式4-2】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，回答下列问题：(1)写出第5个等式：________________________；(2)猜想：用含的等式表示第个等式：________________，并说明理由．【答案】(1)；(2)；理由见解析；【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．本题主要考查数字类变化规律，分式混合运算，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．【详解】（1）解：∵第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……∴第5个等式：（2）解：用含的等式表示第个等式：，理由：左边，右边．∴左边右边，即猜想的等式成立．【变式4-3】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式_____；(2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）；(3)通过代数运算说明（2）中猜想正确．【答案】(1)；(2)；(3)见解析【分析】本题主要考查数字规律，理解题意，找出规律是关键．（1）根据材料提示方法计算即可；（2）结合材料提示方法得到猜想；（3）根据分式的混合运算法则计算判定即可．【详解】（1）解：根据材料提示方法得到，，故答案为：；（2）解：根据材料的计算方法得到，，故答案为：；（3）解：说明如下，左边，∴左边右边，∴等式成立，即猜想正确．类型五、分式的混合运算假分数问题例5．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：．(1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和；(2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值；(3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值．【答案】(1)(2)或4或6(3)75【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）仿照例题操作即可得解；（2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解；（3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵为正整数，，∴，∴，∵，又，且为整数，为正整数，∴或2或4，∴或4或6；（3）解：，，，，，，，，，，，当，即时，有最小值75，的最小值为75．【变式5-1】阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；．请根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______+______．(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．【答案】(1)①真；②x，；(2)，或或或【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是，分子的最高次数低于分母的最高次数，∴分式是真分式；②；故答案为：真；x，；（2）解：，∵这个分式的值为整数，∴或或或，或或或.【变式5-2】阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）如：；再如：．解决下列问题：(1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）；(2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．(3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．【答案】(1)假(2)或(3)【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解；（2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果；（3）根据题意化简即可得出结果．【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，∴分式是假分式．故答案为：假；（2）由题意得：，分式的值为整数，．或；（3）．类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题例6．阅读下面的解题过程：已知：，求的值．解：由，可知，，即①②，故的值为．(1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示）(2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知：，求的值；(3)已知：，求的值．【答案】(1)或(2)(3)【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算【分析】本题考查了分式的混合运算以及倒数法的应用，读懂题意并能正确应用倒数法解题是关键．（1）由完全平方公式变化得到结果；（2）仿照示例，应用倒数法，可求得结果；（3）先分别求出的值，应用倒数法，即可得到结果．【详解】（1）解：或；（2）；（3）．【变式6-1】（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．解：由，知，所以，即．，的值为7的倒数，即．以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知，求的值．（三）问题解决：已知：．求代数式的值．【答案】实践探索：；问题解决：6【知识点】倒数、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、分式加减乘除混合运算【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可．【详解】实践探索：解：由，知，∴，∴，∴，∴，∴的值为61的倒数，即．问题解决：由可知：，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，，，∴．【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键．【变式6-2】阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值为该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)拓展：已知，，，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题．根据可得，根据求出的值，可得；仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得；仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得．【详解】（1）解：，可知，，，，；（2）解：，可知，，，，，；（3）解：，，，可知，，，，，，，，，，，，．【变式6-3】阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即．因此，所以的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值．【答案】【知识点】倒数、分式加减乘除混合运算、分式化简求值【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论．【详解】解：由知，即，．类型七、分式的混合运算新定义型问题例7．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”，如：(1)下列分式中，属于“和美分式”的是（填序号）；①②③④(2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值．【答案】(1)①②③(2)(3)，，，【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答；（2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答；（3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案．【详解】（1）解：①，②，③，④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，上列分式中，属于“和美分式”的是①②③，故答案为：①②③；（2）；（3）为整数，也为整数，，或，或或或．【变式7-1】定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）(2)已知分式是分式A的“友好分式”．①求分式A的表达式；②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值．【答案】(1)是(2)①；②1​,3​或4​【分析】分析​​（1）计算和​，判断是否相等．​​（2）​​​①​设分式A，由定义，解方程求A．​②​令A为正整数，求整数x，再得A的值．【详解】（1）解：设．，，故​是的“友好分式”，故答案为：​是；（2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”，设分式．则移项，得，，，，分式A为​​．​②​，要求A为正整数，x为整数且．令（k正整数），则：，，，，x整数，故k−2整除2，即：当时，当时，，当时，当时（舍去，非正整数）A的值为1​,3​或4​．【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解．【变式7-2】定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”．(1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．①求P（用含x的式子表示）；②若为定值，求m与n之间的数量关系．【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析(2)①，②【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程，（1）根据“最友好分式”的定义，计算的值即可；（2）①根据题意得，结合E是F的“最友好分式”可求得；②当时，化简得，设，可得，结合定值得且，即可求得m和n之间的关系．【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：∵∴C是D的“最友好分式”；（2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”，∴，解得；②当时，，设，∴，∴，∵为定值，∴且，由解得，把代入，得∴．【变式7-3】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”．(1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号）①与，②与，③与，④与．(2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______；(3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______；(4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______．【答案】(1)②④(2)(3)(4)【分析】本题主要考查分式的混合运算、解一元一次方程方程，解决本题的关键是对新定义“n倍和积分式”的理解与应用，涉及分式的运算、方程求解及代数变形能力．（1）逐一验证各选项的和与积是否成固定倍数关系；（2）正确通分并化简，注意分母变形技巧；（3）设未知分式A，建立方程并解出A；（4）通过分式恒等条件，建立关于p和q的方程，消去n后求代数式的值．【详解】（1）解：对于①，，，所以与不是互为“n倍和积分式”；对于②，，，所以与互为“4倍和积分式”；对于③，，，所以与不是互为“n倍和积分式”；对于④，，，，所以与互为“倍和积分式”；故答案为：②④；（2）解：因为与互为“n倍和积分式”，所以，，，所以与互为“倍和积分式”，n的值为，故答案为：；（3）解：分式与分式互为“倍和积分式”，所以，即，所以，所以，，故答案为：；（4）解：若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，所以，，所以可得：，，即，．故答案为：．一、单选题1．（2026八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键．利用分式的乘除法运算法则进行计算即可．【详解】解：．故选：B．2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．依次对每个选项进行分式的运算，判断其计算是否正确即可．【详解】解：，故A项错误，不符合题意；，故B项正确，符合题意；，故C项错误，不符合题意；，故D项错误，不符合题意；故选：B．3．（2026八年级上·全国·课后作业）已知，则M等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式的乘法和除法，由题意可得，结合分式的除法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，故选：C．4．（2026七年级下·全国·单元测试）若，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则．先根据分式的通分求出，再求解即可．【详解】解：，，，解得．故选：．5．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可．【详解】解：当时，，，，∴，∴；故选A．二、填空题6．（2025·贵州遵义·模拟预测）当时，代数式的值是【答案】4【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，然后把代入进行计算，即可作答．【详解】解：，∵，∴原式，故答案为：4．7．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过分式的运算化简代数式，再代入已知条件求值．先对括号内的分式进行通分相加，再将分子因式分解，通过约分简化代数式；最后将已知条件整体代入化简后的式子计算结果．【详解】解：原式∵，∴原式的值为．故答案为：．8．（2025八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则．【答案】【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键．根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．9．(2025八年级上·湖南岳阳·竞赛）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于．【答案】【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答．【详解】解：，，，，每3个数为一周期循环，，，故答案为：．10．（2026七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式．【答案】【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律．根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得．【详解】解：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……，第n个等式，当时，．．三、解答题11．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键．（1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算．（2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算．【详解】（1）解：；（2）解：．12．（2026八年级上·山东东营·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先计算乘方，再算乘除法，最后算加减；（2）先算括号里的，再把除法转化为乘法后分解因式进行约分；（3）先算乘方和括号里的，再算加减；本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解和相应的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程．先化简，再求值：，其中．解：原式…第一步…第二步…第三步当时，原式．…第四步(1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误；(2)请你写出正确的解题过程．【答案】(1)一(2)，原式的值为【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）先计算分式的除法，再算加减，逐一判断即可解答；（2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答．【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程中，从第一步开始出现错误，故答案为：一；（2）解：正确的解题过程如下：原式，当时，原式．14．（2026八年级上·贵州遵义·期末）已知分式，分式，分式．(1)为何值时，分式A和分式B的值相等？(2)当时，求分式的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查分式的化简求值、列分式方程、解分式方程等，掌握这些是解题的关键．（1）先根据分式值相等列出方程，通过因式分解、去分母求解，再检验解的合理性；（2）先将分式除法转化为乘法，化简后进行减法运算．再代入x的值计算结果即可．【详解】（1）解：由题意得：去分母得：解得：经检验：是原分式方程的解．所以，当时，分式和分式的值相等.（2）由题意得：，当时，原式．所以当时，求分式的值为．15．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知：，，，若，求．（2）先化简，再求值：，且为满足−的整数．【答案】（1）（2）−；−；【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题的关键．（1）先对、、进行因式分解，再根据，通过分式的乘除运算求出．（2）先对括号内的分式进行因式分解，再通分计算，然后将除法转化为乘法进行化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，代入求值．【详解】解：（1）∵，，，，∴，，；（2）原式；∵且且，且为整数，∴，原式．16．（河北·模拟预测）【观察】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：【类比】（1）写出第5个等式．【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）（2），证明见解析【分析】本题考查数字规