蔡中兵《材料力学》2轴向拉压

材料力学第二章轴向拉压蔡中兵｜轴向拉伸与压缩的概念、应力分析、强度条件与变形计算Contents本章学习路径轴向拉伸与压缩——从基本概念到强度计算的完整知识脉络01轴向拉伸与压缩的概念02内力、截面法与轴力图03拉压杆横截面与斜截面上的应力04材料拉伸与压缩时的力学性能05许用应力、强度条件与强度计算06拉压杆的变形与胡克定律07连接件的剪切与挤压强度08简单拉压静不定问题CHAPTER01轴向拉伸与压缩的概念从工程实例出发，认识拉压杆的受力特点、变形特点与力学模型STRUCTURALMECHANICS轴向拉伸与压缩的定义与特点轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，其核心特征是外力合力作用线与杆件轴线重合。桁架结构中的轴向受力杆件01受力特点：作用在直杆两端的外力合力大小相等、方向相反，且合力作用线与杆件轴线完全重合02变形特点：杆件沿轴线方向均匀伸长或缩短，横截面保持平面且与轴线垂直03等直杆概念：工程中理想化的拉压杆为等截面直杆，截面形状和尺寸沿轴线不变04典型工程实例：起重机吊缆受拉、房屋立柱受压、桁架结构各杆件分别承受拉或压MechanicsFoundation计算简图与力学模型的建立将工程实际问题抽象为力学计算简图是材料力学分析的第一步。通过明确杆件几何特征、外力作用方式与约束条件，可以把复杂的工程结构简化为可用数学方法求解的理想化模型。计算简图定义将实际构件简化为可用力学方法分析的图形表示，需标明轴线方向、外力大小与方向、截面尺寸等关键参数轴线·外力·截面外力简化原则将分布载荷简化为集中力或力偶，实际约束简化为理想约束形式，确保计算简图反映实际受力本质集中力·力偶轴向拉压模型外力以沿轴线方向的集中力表示，拉伸外力背离截面为正、压缩外力指向截面为负拉正·压负圣维南原理外力作用方式的不同仅影响载荷作用区域附近的应力分布，对远离载荷区域的应力影响可以忽略局部效应CHAPTER02内力、截面法与轴力图掌握截面法这一核心方法，学会求解轴力并绘制轴力图MechanicsofMaterials内力的概念与截面法截面法是材料力学中求解构件内力的唯一方法，贯穿课程始终。其核心思路是在需求内力的截面处将构件假想截开，取一部分为研究对象，利用静力平衡方程求解截面上的未知内力。01内力的物理本质外力使构件变形时，内部质点间相对位置改变引起的附加相互作用力，区别于构件原有的分子间作用力。02截面法第一步——截开在需要求解内力的截面位置，假想地将杆件截成两部分，暴露该截面上的内力。03截面法第二步——替代取截开后的任一部分作为研究对象，用截面上的内力替代被去掉部分对该部分的作用。04截面法第三步——平衡对所取研究对象建立静力平衡方程（∑Fx=0等），求解截面上的未知内力大小和方向。MATERIALMECHANICS轴力与轴力图的绘制轴力是轴向拉压杆横截面上分布内力的合力，用截面法可逐段求解。轴力图直观展示杆件各截面轴力的大小与性质（拉或压），是后续应力分析和强度校核的基础依据。01轴力定义：轴向拉压杆横截面上分布内力系沿轴线方向的合力，通常用FN表示，单位为牛顿(N)或千牛(kN)02正负号规定：轴力方向背离截面为正值（拉伸变形），指向截面为负值（压缩变形），规定与变形性质直接对应03绘制规则：以杆件轴线为横轴、轴力值为纵轴，逐段标出各截面轴力大小，正轴力画在上方、负轴力画在下方04关键特征：集中外力作用处轴力发生突变，突变值等于该集中力大小；两集中力之间无分布载荷时轴力保持常数MethodofSections轴力计算例题与轴力图绘制通过典型例题演示截面法求解轴力的完整流程：从确定截面位置、假想截开、建立平衡方程到逐段求解轴力值，最终绘制出反映杆件各段内力分布的轴力图，为强度分析奠定基础。01识别外力作用点，划分杆段——将杆件按集中力作用位置划分为若干段，在每段内取截面并编号（如1-1、2-2、3-3截面）截面编号02截面法假想截开，建立平衡方程——取截面一侧为研究对象画受力图，建立∑Fx=0平衡方程求解该段轴力FN∑Fx=003汇总轴力值，绘制轴力图——以杆件轴线为横轴绘制轴力图，标注各段轴力数值、正负号及单位，集中力处标注突变值突变标注04结果分析，识别危险截面——从轴力图中识别最大轴力所在截面及数值（|FN|max），该截面即为强度校核的危险截面|FN|maxCHAPTER03拉压杆横截面与斜截面上的应力从内力分布到应力计算，理解正应力与切应力的物理本质材料力学·轴向拉压拉压杆横截面上的正应力基于平面假设，轴向拉压杆横截面上的正应力均匀分布，其计算公式σ=FN/A将轴力与截面面积联系起来，是强度分析的基本工具。Definition应力的物理定义截面上某点处单位面积的内力，反映内力分布的密集程度。正应力σ垂直于截面，切应力τ平行于截面。Assumption平面假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线，由此推出横截面上各点纵向变形相同。Derivation正应力公式推导由平面假设得应变均匀分布，结合物理关系得应力均匀分布，再由静力关系∫σdA=FN得σ=FN/A。Principle圣维南原理外力作用方式的不同仅影响载荷作用区域附近（约一个截面尺寸范围内）的应力分布，远处应力趋于均匀。STRESSANALYSIS拉压杆斜截面上的应力分析拉压杆斜截面上同时存在正应力和切应力，二者随截面角度变化呈规律性分布。最大切应力出现在45°斜截面上，其值为横截面正应力的一半，这一结论解释了材料沿斜面滑移破坏的现象。斜截面应力公式与横截面成α角的斜截面上，正应力σα=σcos²α，切应力τα=(σ/2)sin2ασα·τα关键角度分析α=0°正应力最大且切应力为零；α=45°切应力最大（σ/2）且正应力为σ/245°切应力互等定理互相垂直截面上切应力大小相等、方向相反，即τα=−τ(α+90°)τα=−τ工程意义塑性材料沿45°滑移、铸铁压缩沿45°断裂均由最大切应力导致FailureModeCHAPTER04材料拉伸与压缩时的力学性能通过拉伸试验认识材料的弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段MaterialMechanics·Stress-Strain低碳钢拉伸的应力-应变曲线低碳钢拉伸应力-应变曲线完整展示了材料从弹性变形到断裂的全过程，包含弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段，对应比例极限、弹性极限、屈服极限和强度极限四个关键应力值，是工程选材与强度设计的核心依据。低碳钢拉伸应力-应变曲线（示意）应力-应变曲线清晰展示弹性、屈服、强化、颈缩四个阶段弹性阶段（O→A→B）：应力与应变成线性正比（胡克定律σ=Eε适用），卸载后变形完全恢复；比例极限σp约200MPa，弹性极限σe略高于σp屈服阶段（B→C）：应力在屈服极限σs附近微小波动而应变急剧增大，材料出现显著塑性流动，表面可见45°方向滑移线强化阶段（C→D）：材料因加工硬化恢复抵抗变形能力，应力持续上升直至强度极限σb（抗拉强度），是材料能承受的最大名义应力颈缩断裂阶段（D→E）：试件某一截面开始局部颈缩，承载面积急剧减小，名义应力下降直至断裂；延伸率δ和断面收缩率ψ衡量材料塑性MATERIALSMECHANICS塑性材料与脆性材料的力学性能对比工程材料按断裂前的变形能力分为塑性材料和脆性材料两大类。塑性材料有明显的屈服阶段和较大塑性变形，脆性材料断裂前变形很小。铸铁的压缩强度远高于拉伸强度，直接影响选材决策。塑性材料特征01断裂前有显著塑性变形，延伸率δ≥5%，低碳钢δ可达20%-30%，断面收缩率ψ也较大02拉伸与压缩屈服极限基本相同，拉压力学性能对称，许用应力可取相同值03无明显屈服平台的塑性材料，采用条件屈服极限σ₀.₂（产生0.2%残余应变的应力值）典型代表低碳钢·铝合金脆性材料特征01断裂前塑性变形极小，延伸率δ<5%，破坏具有突然性，无预警断裂02铸铁压缩强度约为拉伸强度的3-5倍，断裂面沿约45°斜面，抗压不抗拉03无明显屈服阶段，强度极限σb是唯一强度指标，直接以此确定许用应力典型代表铸铁·陶瓷Chapter05许用应力、强度条件与强度计算建立安全储备概念，掌握三类强度计算问题的求解方法StrengthCriteria许用应力与强度条件的基本概念许用应力是材料极限应力除以安全因数后的值，反映了工程设计中为各种不确定性预留安全储备的思想。强度条件σmax≤[σ]是确保构件不发生强度失效的基本准则，基于此可解决强度校核、截面设计和许可载荷三类工程计算问题。许用应力[σ]构件工作应力的最大容许值，等于极限应力σu除以安全因数n，即[σ]=σu/n，单位为MPa。这是材料力学中最重要的设计参数之一，直接决定了构件的承载能力。安全因数选取依据载荷估计的准确性、材料性能的均匀性、计算方法的精确度、构件的重要性与工作环境等因素综合确定。对于关键承力部件，应适当提高安全因数以确保可靠性。材料类型与安全因数塑性材料取屈服极限σs（ns通常1.5–2.0），脆性材料取强度极限σb（nb通常2.0–3.5）。脆性材料因断裂前无明显预兆，安全因数取值更高。强度条件公式σmax=FN,max/A≤[σ]，要求构件危险截面上的最大工作应力不超过材料的许用应力。该不等式是强度计算的核心依据，广泛应用于机械与结构设计。EngineeringMechanics三类强度计算问题强度条件σmax≤[σ]可变形为三种工程应用形式：强度校核、截面设计和许可载荷确定，分别对应验证、设计和限载三个场景。01强度校核已知外力F、截面面积A、许用应力[σ]，计算σmax=FN,max/A，验算σmax≤[σ]是否成立对已有结构或构件进行安全性评估，判断其在设计载荷下是否满足强度要求验证02截面设计已知外力F和许用应力[σ]，由A≥FN,max/[σ]确定构件所需的最小横截面积根据载荷和材料确定构件的截面尺寸，是新产品设计中最常见的计算类型设计03确定许可载荷已知截面面积A和许用应力[σ]，由[FN]≤A·[σ]确定构件能承受的最大轴力确定已有设备或结构的最大使用载荷，为操作规程和安全规范提供依据限载STRENGTHCALCULATION强度计算综合例题以拉杆例题演示强度校核与截面设计的求解流程，体现强度条件的工程应用01题目条件钢制圆截面拉杆承受轴向拉力F=50kN，材料许用应力[σ]=160MPa，需进行强度校核与截面设计。F=50kN02强度校核d=20mm时A=314mm²，σmax=F/A=159.2MPa<160MPa，强度条件满足，构件安全。159.2MPa03截面设计A≥F/[σ]=312.5mm²，d≥√(4A/π)=19.95mm，工程上取标准值d=20mm。d=20mm04等强度设计杆件各段轴力不同时，对各段分别设计截面，使每段σmax均接近[σ]，实现材料充分利用。100%CHAPTER06拉压杆的变形与胡克定律掌握轴向变形、横向变形、泊松比和叠加原理的计算方法ELASTICDEFORMATION胡克定律与轴向变形计算胡克定律σ=Eε建立了应力与应变的线性关系，是弹性范围内变形计算的理论基础。对于等截面拉压杆，变形公式ΔL=FNL/(EA)将变形量与轴力、杆长、弹性模量和截面面积联系起来，EA（抗拉刚度）综合反映了杆件抵抗弹性变形的能力。01胡克定律σ=Eε在弹性范围内（σ≤σp），正应力与线应变成正比，比例常数E为弹性模量。E≈200GPa02轴向变形公式ΔL=FNL/(EA)由σ=FN/A和ε=ΔL/L代入胡克定律推导得出，适用于等截面、等轴力、线弹性范围。等截面·等轴力·线弹性03抗拉（压）刚度EA弹性模量与截面面积的乘积，综合反映材料性质和截面尺寸对弹性变形的抵抗能力，EA越大变形越小。EA↑→ΔL↓04变截面或变轴力杆件将杆件分段计算各段变形，再求代数和得到总变形量。ΔL=∑ΔLiMATERIALMECHANICS横向变形与泊松比杆件受轴向拉压时，纵向变形伴随横向变形，两者方向相反。泊松比ν=|ε'/ε|是描述这一耦合作用的材料常数，与弹性模量E一起构成线弹性材料的两个基本弹性常数。横向变形现象杆件受拉伸长时横向收缩、受压缩短时横向膨胀，纵向应变ε与横向应变ε'符号相反，两者方向始终耦合。这一变形特性是材料力学分析的基础。ε·ε'泊松比定义ν=|ε'/ε|为无量纲常数，金属ν≈0.25–0.33，橡胶ν≈0.5近不可压缩，软木ν≈0。泊松比反映材料横向变形的抵抗能力。0.25–0.5弹性常数关系各向同性线弹性材料中E、ν、G满足G=E/[2(1+ν)]，知其二可求第三。三个常数共同描述材料的弹性力学行为。E·ν·G工程应用精密配合零件受压横向膨胀增大紧度；密封垫片受压膨胀填充缝隙提高密封性。泊松比是零件设计与选材的关键参数。精密配合·密封MECHANICSOFMATERIALS叠加原理与变形计算例题叠加原理指出，在线弹性小变形条件下，多个载荷共同作用产生的总变形等于各载荷单独作用时变形的代数和。这一原理使复杂载荷下的变形计算可以分解为多个简单计算的叠加，大大简化了分析过程。01叠加原理适用条件——材料处于线弹性范围（应力不超过比例极限σp）且变形为小变形（几何关系可线性化处理）满足叠加原理时，复杂载荷问题可分解为若干简单载荷问题的组合，显著降低计算复杂度。02计算方法——先画轴力图确定各段轴力FNi，再对各段分别计算ΔLi=FNiLi/(EiAi)，最后求代数和ΔL=∑ΔLi轴力图是分析基础，需准确判断各段轴力大小与方向，注意材料弹性模量E和截面积A的匹配。03阶梯杆变形例题——变截面杆件各段截面积不同、轴力不同，需逐段用截面法求轴力并代入变形公式，注意正负号（拉伸为正、压缩为负）阶梯杆是工程常见结构，分段计算时需建立坐标系，明确每段的边界条件和内力分布。04位移与变形的区别——变形是长度的改变量ΔL，位移是某点位置的变化量；杆端位移等于从固定端到该端各段变形的代数和变形是局部量描述材料响应，位移是整体量描述位置变化，二者通过积分关系相互联系。CHAPTER07连接件的剪切与挤压强度掌握螺栓、铆钉等连接件的假定计算法与强度校核方法MaterialMechanics·Shear连接件的剪切强度计算工程中对螺栓、铆钉等连接件采用假定计算法进行剪切强度分析：假设剪切面上切应力均匀分布，用名义切应力τ=F/A与许用切应力[τ]比较。该方法虽然简化了实际复杂的应力分布，但经过长期工程实践验证，具有足够的精度和可靠性。剪切变形特征连接件在一对大小相等、方向相反、作用线很近的平行力作用下，两力之间的截面发生相对错动变形相对错动假定计算法假设剪切面上切应力均匀分布，名义切应力τ=Fs/A（Fs为剪切面上剪力，A为剪切面积），与许用切应力[τ]比较τ=Fs/A单剪与双剪螺栓只有一个剪切面时为单剪（Fs=F），有两个剪切面时为双剪（Fs=F/2），双剪承载力为单剪的两倍2×承载力许用切应力取值塑性材料[τ]=(0.6~0.8)[σ]，通常取0.6倍许用正应力，由材料剪切试验确定的剪切极限应力除以安全因数得到0.6[σ]STRENGTHCHECK·连接件强度连接件的挤压强度计算挤压是连接件与被连接件接触面上的局部承压问题，挤压应力过大将导致接触面压溃或塑性变形。挤压面积按投影面积计算，许用挤压应力高于许用正应力，反映了材料在局部受压时承载能力更强的力学特性。挤压现象连接件与被连接件在接触面上相互压紧，局部承压应力远高于平均应力，可能导致接触面压溃失效。挤压破坏具有突发性，需在设计阶段严格校核。压溃失效应力计算公式对圆柱面接触（螺栓、铆钉），挤压面积取直径投影面积，即Abs=d×t（d为直径，t为承压板厚）。该简化计算偏于安全，工程应用广泛。σbs=F/Abs板厚选取原则当上下板厚度不同时，取较薄板的厚度计算Abs。薄板挤压面积小、挤压应力大，是薄弱环节。等强度设计时应使各板挤压应力接近。薄板优先许用挤压应力通常取1.7–2.0倍许用正应力。挤压为局部受压，材料有约束强化效应，承载能力更强。塑性材料取高值，脆性材料取低值。1.7–2.0[σ]EngineeringCaseStudy连接件强度综合校核例题连接件的强度设计需同时校核剪切强度和挤压强度，二者缺一不可。整体强度取决于最薄弱的失效模式。两块厚度t=10mm钢板，M20螺栓（d=20mm）搭接，受拉力F=40kN，[τ]=100MPa，[σbs]=280MPaShearCheck剪切校核τ=F/(πd²/4)=40000/(π×20²/4)127.3MPa>[τ]=100·不满足BearingCheck挤压校核σbs=F/(d×t)=40000/(20×10)200MPa<[σbs]=280·满足DesignDecision设计决策剪切强度为控制因素，需增大螺栓直径或采用双螺栓连接短板原则Solution解决方案增大螺栓至d=24mm，τ降至88.4MPa<100MPa，满足剪切强度要求d=24mm→τ=88.4MPa✓CHAPTER08简单拉压静不定问题从静定到静不定，掌握变形协调条件与补充方程的建立方法STRUCTURALMECHANICS静不定问题的概念与求解方法静不定问题的未知力数目超过独立平衡方程数目，需补充变形协调条件才能求解。其核心思路是将力与变形联系起来。01静不定概念未知力数目超过独立平衡方程数目，无法仅用静力学方法求解。这类问题必须引入变形协调条件才能确定全部未知力。未知力数−方程数=静不定次数02求解三步法系统化的求解流程将静力学与材料力学相结合，通过几何-物理-静力学的综合关系建立完整方程组。①列平衡方程②变形协调条件③胡克定律补充03变形协调条件由约束条件推导出各部分变形间必须满足的几何关系，这是求解静不定问题的关键补充方程。典型条件：两端固定杆ΔL=004静不定结构特性内力按各部分刚度比例分配，刚度越大承担越多。温度变化、制造误差等也会引起附加内力，需在设计中考虑。刚度分配温度效应装配应力STRUCTURALMECHANICS静不定问题求解例题通过两端约束杆件的典型例题，完整演示静不定问题的求解流程：建立平衡方程→分析变形协调条件→利用胡克定律写出物理方程→联立求解。题目等截面杆两端固定，中部受集中力杆长L，截面面积A，弹性模量E，在杆中部C处受集中力F作用，求两端约束反力平衡建立平衡方程，识别静不定次数设上端反力R_A、下端反力R_B，由∑F_y=0得R_A+R_B=F（1个方程，2个未知力，1次静不定）协调分析变形协调条件两端固定，总变形为零→上段伸长ΔL₁=R_AL₁/(EA)等于下段缩短ΔL₂=R_BL₂/(EA)联立联立