《数字营销》课件-项目六时间序列预测法

项目六

时间序列预测法学习目标1．了解时间序列概念、因素分析及组合形式2．熟练掌握简单移动平均法、一次移动平均法3．掌握二次移动平均法4．熟练掌握一次指数平滑法5．掌握二次指数平滑法6．熟练掌握直线趋势延伸预测法7．了解指数曲线延伸预测法、二次抛物线延伸预测法8．掌握季节变动指数概念与计算9．熟练掌握无趋势变动的季节指数预测法10．了解含趋势变动的季节指数预测法1．了解时间序列概念、因素分析及组合形式2．熟练掌握简单移动平均法、一次移动平均法3．掌握二次移动平均法4．熟练掌握一次指数平滑法5．掌握二次指数平滑法6．熟练掌握直线趋势延伸预测法7．了解指数曲线延伸预测法、二次抛物线延伸预测法8．掌握季节变动指数概念与计算9．熟练掌握无趋势变动的季节指数预测法10．了解含趋势变动的季节指数预测法6.1移动平均法（1）时间序列概述时间序列是指某一统计指标数值按时间先后顺序排列而形成的数列。例如，国内生产总值（GDP）按年度顺序排列起来的数列；某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列等等都是时间序列。时间序列一般用y1，y2，…，yt，…表示，t为时间。编制和分析时间序列具有重要的作用：①它为分析研究社会经济现象的发展速度、发展趋势及变化规律，提供基本统计数据。②通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化方向、速度及结果。③将不同的时间序列同时进行分析研究，可以揭示现象之间的联系程度及动态演变关系。④建立数学模型，揭示现象的变化规律并对未来进行预测。6.1.1简单移动平均法（2）时间序列的因素分析设时间序列为：y1，y2…，yt，…；为：t≥N

在进行时间序列分析时，人们通常将各种可能发生影响的因素按其性质不同分成四大类：1.长期趋势、2.季节变动、3.循环变动4.不规则变动。（3）时间序列的组合形式时间序列由长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四类因素组成。四类因素的组合形式，常见的有以下几种类型：①加法型yt＝Tt＋St＋Ct＋It②乘法型yt＝Tt·St·Ct·It③混合型yt＝Tt·St＋Ct＋Ityt＝St＋Tt·Ct·It其中：yt­为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动式中：Mt为t期移动平均数；N为移动平均的项数。移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来，因而可以用于预测。即以第t期移动平均数作为第t＋1期的预测值。【例】某商店1991年－2002年实现利润如下表所示。试用简单移动平均法，预测下一年的利润。解：分别取N＝3和N＝4，按预测公式计算3年和4年移动平均预测值。其结果列于下表中，其预测曲线如下图。某商店1991年－2002年利润及移动平均预测值表单位：万元

年份

利润

3年移动平均预测值

4年移动平均预测值

预测值相对误差%预测值相对误差%1991120.871992125.581993131.661994130.42126.03673.361995130.38129.220.89127.13252.49年份利润3年移动平均预测值4年移动平均预测值预测值相对误差%预测值相对误差%1996135.54130.823.48129.514.451997144.25132.11338.411328.491998147.82136.72337.51135.14758.571999148.57142.53674.06139.49756.112000148.61146.881.16144.0453.072001149.76148.33330.95147.31251.632002154.56148.983.61148.693.8150.9767150.375某商店1991年－2002年利润及移动平均预测值图

在实用上，一个有效的方法是取几个N值进行试算，比较他们的预测误差，从中选择最优的。简单移动平均法只适合做近期预测，即只能对后续相邻的那一项进行预测。（1）一次移动平均法在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信息。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。设时间序列为：y1，y2…，yt，…；加权移动平均公式为：6.1.2加权移动平均法（1）一次移动平均法每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信息。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。设时间序列为：y1，y2…，yt，…；加权移动平均公式为：

t≥N式中：Mtw为t期加权移动平均数；wi为yt-i＋1的权数，它体现了相应的yt在加权平均数中的重要性。利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为：即以第t期加权移动平均数作为第t＋1期的预测值。年份 利润 3个月移动平均预测值 相对误差（%）1991 120.87 1992 125.58 1993 131.66 1994 130.42 127.835 1.981995 130.38 130.027 0.271996 135.54 130.607 3.641997 144.25 132.967 7.821998 147.82 139.035 5.941999 148.57 144.583 2.682000 148.61 147.6 0.682001 149.76 148.465 0.862002 154.56 149.178 3.482003年预测值 151.968 【例】对于上一个例题，试用加权移动平均法预测2003年的利润。某商店1991年－2002年利润及加权移动平均预测值表单位：万元

年份

利润3个月移动平均预测值相对误差（%）1991120.871992125.581993131.661994130.42127.8351.981995130.38130.0270.271996135.54130.6073.641997144.25132.9677.821998147.82139.0355.941999148.57144.5832.682000148.61147.60.682001149.76148.4650.862002154.56149.1783.482003年预测值151.968解：取w1＝3，w2＝2，w3＝1，按预测公式：

计算三年加权移动平均预测值，其结果列于表3.2.2中。2003年某企业利润的预测值为：wt的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，完全靠预测者对序列作全面的了解和分析而定。T＝1，2（2）二次移动平均法

当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。一次移动的平均数为在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均，其计算公式为它的递推公式为T＝1，2

设时间序列{yt}从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为T＝1，2其中：t为当前时期数；T为由t至预测期的时期数；at为截距；bt为斜率。两者又称为平滑系数。根据移动平均值可以推导出平滑系数如下：我国国内生产总值及一、二次移动平均值计算表单位：亿元年份 国内生产总值 一次移动平均，N＝5 二次移动平均，N＝51986 10201.4 1987 11954.5 1988 14922.3 1989 16917.8 1990 18598.4 1991 21662.5 14518.88 1992 26651.9 16811.1 1993 34560.5 19750.58 1994 46670 23678.22 1995 57494.9 29628.66 1996 66850.5 37407.96 20877.4881997 73142.7 46445.56 25455.3041998 76967.2 55743.72 31382.1961999 80579.4 64225.06 38580.8242000 88254 71006.94 46690.1922001 95727.9 77158.76 54965.8482002 103553.6 82934.24 62916.008【例】我国1986－2002年国内生产总值如下表所示，试预测2003年和2004年的国内生产总值。解：由下面的散点图可以看出，国内生产总值基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法来预测T＝1，2我国国内生产总值散点图取N＝5，分别计算列于表4.2.3中。再由公式得于是，得t＝21时直线趋势预测模型为

预测2003年和2004年的国内生产总值为T＝1，2第18讲指数平滑法指数平滑法是移动平均法的发展，是一种特殊的加权移动平均法。基本原理是根据确定的平滑系数，以本期实际值和本期预测值确定下一期的预测值的方法。适用于预测呈长期趋势变动和季节变动的事物。它具有连续运用、不需保存历史数据、计算方便、更新预测模型简易等优点。（1）一次指数平滑法一次指数平滑法是指以预测目标的本期实际值和本期预测值为基数，分别给二者以不同的权数，求出指数平滑值，作为确定的预测值。适用于预测目标时间序列波动无明显增加、减少的长期趋势的场合。①公式：Yt＋1＝St（1）＝αYt＋（1-α）St-1（1）②α值的选取▲时间序列虽有不规则起伏变动，但整个长期发展趋势变化平稳，则α应取小一点（0.05—0.2）▲时间序列变化呈阶梯式或按固定速度上升或下降时，α取较大值比如0.3—0.6，使近期信息对指数平滑起重要作用.▲时间序列有缓慢的变化趋向，α取0.2—0.4。▲资料缺乏时，可以选取不同的α值模拟计算，选取误差小的α值③初始值的确定从指数平滑公式不难看出，要计算指数平滑值，首先必须确定一个初始值S0（1），一般情况下可取时间序列的第一个数据或前三个数据的平均值作为初始值。【例1】某商店9月份的销售额为142万元，9月份的预测值为148万元，试利用一次指数平滑法预测该商店10月份的销售额，取α＝0.3。解：S10＝α×Xt-1＋（1-α）St-1＝0.3×142＋（1-0.3）×148＝146.2（万元）【例2】某企业要进行食盐销售量预测，现在有最近连续30个月的历史资料，试用一次指数平滑法预测以后月份的销售量。解：由此时间序列数据发现食盐销售量有变化，但基本上在25～30吨之间波动，没有长期增长趋势，适合用一次指数平滑法预测。选择α＝0.1，α＝0.3，α＝0.5三个不同的值，α＝0.3时，取第一个数据作为初始值S0（1）＝26.7S1（1）＝αYt＋（1-α）S0（1）＝0.3×26.7＋（1-0.3）×26.7＝26.7S2（1）＝0.3×29.5＋（1-0.3）×26.7＝27.5S29（1）＝0.3×31.2＋0.7×30.1＝30.4S30（1）＝0.3×25.4＋0.7×30.4＝28.9相应的第31个月的预测值为28.9吨6.2.2二次指数平滑法（1）二次指数平滑法由于一次指数平滑法在处理由线性趋势的时间序列时也可能产生滞后偏差，特别是对有明显上升或下降趋势的时间序列，为弥补此缺陷，需要再一次平滑的基础上，再作一次指数平滑，然后确定预测值。设时间序列从t时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按此直线趋势变化，则可设直线趋势预测模型为：

T＝1，2，3，…

其中：t为当前时期数，T为从t至预测期的时期数。平滑系数的计算公式为；a的选取：选取预测误差最小的值作为实际预测时的平滑系数。初值的选取:当数据个数n≥20，取当数据个数n<20，取最初几期数据的平均值。如单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58【例】某公司2005—2016年的实际销售额如表，据此资料用二次指数平滑法预测2017年和2018年的实际销售额。解：由于观察值变动基本呈线性趋势，选用二次指数平滑法。考虑对新旧资料重视程度相近，略偏新资料，取α＝0.6。初始值S1（1）和S1（2）取前三期观察值得平均值，其数值为33.7。①计算一、二次指数平滑值。S1（1）＝0.6×33＋0.4×33.7＝33.3S2（1）＝0.6×36＋0.4×33.3＝34.9S3（1）＝0.6×32＋0.4×34.9＝33.2S4（1）＝0.6×34＋0.4×33.3＝33.7S5（1）＝0.6×42＋0.4×33.7＝38.7S6（1）＝0.6×40＋0.4×38.7＝39.5S7（1）＝0.6×44＋0.4×39.5＝42.2S8（1）＝0.6×48＋0.4×42.2＝45.7S9（1）＝0.6×46＋0.4×45.7＝45.9S10（1）＝0.6×50＋0.4×45.9＝48.4S11（1）＝0.6×54＋0.4×48.4＝51.8S12（1）＝0.6×58＋0.4×51.8＝55.5S1（2）＝0.6×33.3＋0.4×33.7＝33.5S2（2）＝0.6×34.9＋0.4×33.5＝34.3S3（2）＝0.6×33.2＋0.4×34.3＝33.6S4（2）＝0.6×33.7＋0.4×33.6＝33.7S5（2）＝0.6×38.7＋0.4×33.7＝36.7S6（2）＝0.6×39.5＋0.4×36.7＝38.4S7（2）＝0.6×42.2＋0.4×38.4＝40.7S8（2）＝0.6×45.7＋0.4×40.7＝43.7S9（2）＝0.6×45.9＋0.4×43.7＝45.0S10（2）＝0.6×48.4＋0.4×45.0＝47S11（2）＝0.6×51.8＋0.4×47＝49.9S12（2）＝0.6×55.5＋0.4×49.9＝53.3②计算atbt的值a12＝2×55.5-53.3＝57.7b12＝0.6/（1-0.6）×（55.5-53.3）＝3.3所以预测模型为：Yt＋T＝57.7＋3.3T③预测Y2017＝Y12＋1＝57.7＋3.3×1＝61Y2018＝Y12＋2＝57.7＋3.3×2＝64.3单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58（2）指数平滑法与移动平均法的比较①一次指数平滑法与一次移动平均法在使用一次指数平滑法时，与使用一次移动平均法一样要注意到：数据应是相当平稳的，即其基本模式是水平模式；一次指数平滑法的预测效果不比一次移动平均法差，而且一次指数平滑法计算时的存贮量小，所以一般的宁可使用一次指数平滑法。②二次指数平滑法与二次移动平均法二次指数平滑法与二次移动平均法类似，它能处理水平模式的数据，也能处理长期趋势模式。与一次类似，二次指数平滑法的预测效果也不比二次移动平均法差，而且它的计算和存贮量也要小得多.单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 586.3延伸曲线法第19讲趋势延伸预测法

趋势延伸预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的预测方法。当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，且无明显的季节波动时，若能找到—条合适的函数曲线反映这种变化趋势，就可用时间t为自变量，时序数值y为因变量建立趋势模型y＝f（t）如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式中赋予变量t在未来时刻的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序列未来值。这就是趋势延伸预测法。趋势延伸预测法的假设条件是：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。（2）假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。趋势延伸预测法包括直线趋势延伸预测法和曲线趋势延伸预测法。（1）直线趋势延伸预测法的预测模型线性趋势是指随着时间的推移而呈现出稳定增长和下降的线性变化规律。线性趋势方程为：式中：—时间序列的趋势值；t—时间标号；a—趋势线在Y轴上的截距；b—趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时观察值的平均变动数量单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 586.3延伸曲线法第19讲趋势延伸预测法

趋势延伸预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的预测方法。当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，且无明显的季节波动时，若能找到—条合适的函数曲线反映这种变化趋势，就可用时间t为自变量，时序数值y为因变量建立趋势模型y＝f（t）如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式中赋予变量t在未来时刻的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序列未来值。这就是趋势延伸预测法。趋势延伸预测法的假设条件是：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。（2）假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。趋势延伸预测法包括直线趋势延伸预测法和曲线趋势延伸预测法。（1）直线趋势延伸预测法的预测模型线性趋势是指随着时间的推移而呈现出稳定增长和下降的线性变化规律。线性趋势方程为：式中：—时间序列的趋势值；t—时间标号；a—趋势线在Y轴上的截距；b—趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时观察值的平均变动数量单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58参数a和b可按最小二乘法求得。得参数的估计值：为了简化以上公式，可以使上式中:当时间序列项数n为奇数时，令数列正中间一项为时间原点0，分别取t＝…，-2，-1，0，1，2，…；可使当时间序列项数n为偶数时，令数列正中间两项的时间为-1和＋1，分别取t＝…，-5，-3，-1，1，3，5，…。可使对t值做了以上的取值处理后，简化的参数估计公式为参数的估计值：单位：万元年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 49 60 70 81 90 99 108【例1】：某公司2010年—2016年的销售情况如表，用直线趋势延伸法预测2018年的销售额解：①以时间为自变量，销售额为因变量，在直角坐标轴上绘出各点。观察是否能拟合直线状。从坐标图看，销售额与年份基本上成直线关系。②求出参数a和b已知n＝7为奇数令∑t＝0，则：∑Y＝49＋60＋70＋81＋90＋99＋108＝557∑tY＝274.4∑t2＝28a＝∑Y/n＝557/80b＝∑tY/∑t2＝274.4/28＝9.8预测模型为：Yt＝80＋9.8t③2018年的销售额为：2018年预测值对应的序号为t＝5，则Y5＝80＋9.8×5＝129（万元）

单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58【例2】已知某商店1991年—1998年某一种商品销售量的统计数据如表，试预测1999年该商品销售量。单位:万元年份19911992199319941995199619971998销售量248253257260266270279285解：第一步，分析观察期数据长期变动趋势，画数据点的散布图单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58根据图，我们可以观察出其长期趋势基本上呈直线趋势，它的预测模型为Y＝a＋bt第二步，根据已知的y和t来求a和b

解：

a＝∑Y/n＝2118/8＝264.75b＝∑tY/∑t2＝434/168＝2.58第三步，利用预测模型进行预测值的计算Y＝a＋bt＝264.75＋2.58t1999年的数据序号为t＝9则Y1999＝264.75＋2.58×9＝288（万元）（2）直线趋势延伸法的应用注意点①直线趋势预测法仅适用于预测目标时间序列呈现直线长期趋势变动情况。②它对时间序列资料一律同等看待，在拟合中消除了季节、不规则、循环三类变动因素的影响③反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平。④只要未来发展趋势大体上不会发生大起大落的变化，继续遵循直线趋势发展变化的假设，那么选用此法进行中长期预测既简便又有一定的可靠性。单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58二．曲线趋势延伸预测法（1）指数曲线延伸预测法指数曲线延伸预测法是指预测目标观测值数据的变化发展趋势符合指数增长规律，建立该指数曲线方程，并据此作为预测的数学模型推测事件的未来发展趋势的方法。

预测模型为：yt＝abt取对数lgyt＝lga＋tlgb令Yt＝lgytA＝lgaB＝lgb则Yt＝A＋Bt，就可以采用直线趋势预测法进行预测使用条件：适用于预测目标时间序列逐期增减率大体相同，即按几乎同一比例增长的趋势发展。单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58【例】某百货公司2008年—2016年的销售量统计数据如下表，试预测2017年的销售量。解：第一，选择预测模型（1）描散点图，根据散点图分布来选用模型单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58根据图，我们可以初步确定选择指数成长模型进行预测yt＝abt计算数字特征由上表可知，观察值yt的比率大体相等，符合指数曲线的数字特征。通过以上分析，从图形和数字特征看，所给的资料都与指数曲线相符，因此可以选择模型yt＝abt单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 32 34 42 40 44 48 46 50 54 58第二步，求导曲线模型如表

A＝∑Yt/n＝∑lgyt/n＝27.7465/9＝3.082944a＝103.082944＝1210.44B＝∑tYt/∑t2＝∑tlgyt/∑t2＝12.9802/60＝0.2163b＝100.2163＝1.645508最后求得指数曲线模型为yt＝1210.44×（1.645508）t第三，预测与2005年相对应的序号t＝5，所以：y2017＝1210.44×（1.645508）5＝1210.44×12.0642＝14603.03（件）单位：万元年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016销售额 33 36 3