2026年考研数学三多元函数微分法习题

2026年考研数学三多元函数微分法习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1，∂f/∂x(1,1)=2，∂f/∂y(1,1)=3。若z=f(x,y)+y，则全微分dz在点(1,1)处的值为（）A.5dyB.2dx+3dyC.2dx+5dyD.3dx+2dy解析：根据全微分公式dz=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy+g(x,y)dy，其中g(x,y)是与y无关的函数。由题意z=f(x,y)+y，对y求偏导得∂z/∂y=∂f/∂y+1。在(1,1)处∂z/∂y=3+1=4，而∂f/∂y(1,1)=3，故g(1,1)=1。因此dz=2dx+3dy+dy=2dx+4dy，在(1,1)处为2dx+5dy。正确答案为C。2.函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+5在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最小值和最大值分别为（）A.1和15B.0和15C.1和13D.0和13解析：首先求驻点，令∇f=(2x-2,2y+4)=0得驻点(1,-2)。在D边界x^2+y^2=4上，f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+5=4-2x+4y+5=9-2x+4y。将x^2+y^2=4代入得f(x,y)=9-2x+4√(4-x^2)。令t=√(4-x^2)，则f=9-2x+4t，x=±2√(1-t^2)。求导得f'(x)=-2-4t(-2t)/(2√(1-t^2))=-2+4t^2/√(1-t^2)，令f'(x)=0得t=±1/√2。对应x=±√2，y=±√(2)。计算得f(1,-2)=1，f(√2,√2)=13，f(-√2,-√2)=13，f(√2,-√2)=9，f(-√2,√2)=9。最小值为1，最大值为13。正确答案为C。3.若函数f(x,y)在点(0,0)处连续，且满足f(x,y)=x^2y^3+x^3y^2+x^2+y^2当(x,y)≠(0,0)，则f(0,0)的值必须为（）A.0B.1C.2D.不确定解析：由连续性得f(0,0)=lim(x→0,y→0)f(x,y)。沿y=kx方向，f(kx,x)=(kx)^2x^3+(kx)^3x^2+(kx)^2+x^2=k^5x^5+k^3x^5+k^2x^2+x^2。当x→0时，k^5x^5和k^3x^5项趋于0，极限取决于k^2x^2+x^2=(k^2+1)x^2。若极限存在且唯一，则必须为0，即f(0,0)=0。正确答案为A。4.设z=f(x,y)满足方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=z，且f(1,1)=2，则f(2,2)的值为（）A.4B.8C.16D.32解析：令P=∂z/∂x，Q=∂z/∂y，则xP+yQ=z。令x=λy，代入得λyP+yQ=z，即y(λP+Q)=z。若y≠0，则λP+Q=z/y。两边对y求偏导得λ∂P/∂y+∂Q/∂y=∂z/∂y/y。由∂Q/∂y=∂z/∂y-∂z/∂x•∂x/∂y=Q-P•(1/y)得λ∂P/∂y+Q-P•(1/y)=P/y。整理得λ∂P/∂y+Q-P/y=P/y，即λ∂P/∂y=2P/y-Q。由对称性可得λ∂Q/∂x=2Q/x-P。令z=xy^m，代入原方程得x(mx^m-1y^m)+y(x^m•m•y^m-1)=xy^m，即mx^m-1y^m+my^m-1x^m=xy^m。比较系数得m=1，即z=xy。由f(1,1)=2得f(x,y)=xy。故f(2,2)=4。正确答案为A。5.函数f(x,y)=x^3+y^3-3axy在点(1,1)处的极值类型为（）A.极大值B.极小值C.非极值点D.无法判断解析：令∇f=(3x^2-3ay,3y^2-3ax)=0得驻点(1,1)。计算二阶导数矩阵A=[[6x-3a,-3a],[-3a,6y-3a]]在(1,1)处为[[3,-3],[-3,3]]。特征值为λ^2-6λ+9=0，即(λ-3)^2=0，只有一个特征值3。由于A正定，故为极大值点。正确答案为A。6.若函数f(x,y)在区域D上连续可微，且满足∇f(x,y)•(x,y)=f(x,y)在D上恒成立，则f(x,y)可能的形式为（）A.x^2+y^2B.e^(x^2+y^2)C.sin(xy)D.ln(x^2+y^2)解析：设f(x,y)=u(x,y)v(x,y)，则∇f=(∂u/∂x)v+u∂v/∂x,(∂u/∂y)v+u∂v/∂y。∇f•(x,y)=(∂u/∂x)v+u∂v/∂x)x+(∂u/∂y)v+u∂v/∂y)y=f。即∂u/∂x•v+u∂v/∂x+∂u/∂y•v+u∂v/∂y=u•v。整理得∂u/∂x•v+∂u/∂y•v=u∂v/∂x+u∂v/∂y。令v=1得∂u/∂x+∂u/∂y=u，解得u=ce^(x+y)。令u=1得∂v/∂x+∂v/∂y=v，解得v=ke^(x+y)。故f=ce^(2x+2y)。选项中只有e^(x^2+y^2)形式类似。正确答案为B。7.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，且满足f(x,y)=x^2y^2+x^3y^3+x^2+y^2当(x,y)≠(0,0)，则f(0,0)的值必须为（）A.0B.1C.2D.不确定解析：由连续性得f(0,0)=lim(x→0,y→0)f(x,y)。沿y=kx方向，f(kx,x)=(kx)^2x^2+(kx)^3x^3+(kx)^2+x^2=k^4x^4+k^3x^6+k^2x^2+x^2。当x→0时，k^4x^4和k^3x^6项趋于0，极限取决于k^2x^2+x^2=(k^2+1)x^2。若极限存在且唯一，则必须为0，即f(0,0)=0。正确答案为A。8.若函数f(x,y)在区域D上满足条件：对于任意x1,x2∈D和任意λ∈(0,1)，有f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)≤λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2)，则f(x,y)在D上（）A.必定单调递增B.必定凹函数C.必定凸函数D.必定连续解析：由Jensen不等式条件知f(x,y)在D上为凸函数。正确答案为C。9.设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，∂f/∂x(0,0)=1，∂f/∂y(0,0)=2。若z=f(x,y)+y^2，则dz在点(0,0)处的值为（）A.dx+2dyB.dx+dyC.2dx+4dyD.dx+4dy解析：dz=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy+g(x,y)dy。由z=f+y^2，对y求偏导得∂z/∂y=∂f/∂y+2y。在(0,0)处∂z/∂y=2，而∂f/∂y(0,0)=2，故g(0,0)=0。因此dz=dx+2dy。正确答案为A。10.函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+5在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最小值和最大值分别为（）A.1和15B.0和15C.1和13D.0和13解析：首先求驻点，令∇f=(2x-2,2y+4)=0得驻点(1,-2)。在D边界x^2+y^2=4上，f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+5=4-2x+4y+5=9-2x+4y。将x^2+y^2=4代入得f(x,y)=9-2x+4√(4-x^2)。令t=√(4-x^2)，则f=9-2x+4t，x=±2√(1-t^2)。求导得f'(x)=-2-4t(-2t)/(2√(1-t^2))=-2+4t^2/√(1-t^2)，令f'(x)=0得t=±1/√2。对应x=±√2，y=±√(2)。计算得f(1,-2)=1，f(√2,√2)=13，f(-√2,-√2)=13，f(√2,-√2)=9，f(-√2,√2)=9。最小值为1，最大值为13。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.若函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=2，∂f/∂x(1,1)=1，∂f/∂y(1,1)=-1，则f(1.01,0.99)的近似值为________。参考答案：1.98解析：由线性近似f(x,y)≈f(1,1)+∂f/∂x(1,1)(x-1)+∂f/∂y(1,1)(y-1)得f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈2+1(0.01)+(-1)(-0.01)=2+0.01+0.01=2.02。修正：f(1.01,0.99)≈