2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.2　2.2.3　直线的一般式方程

直线的一般式方程第二章

2.2.3学习目标1.掌握直线的一般式方程(重点).2.理解关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题.导语内容索引01020503利用一般式解决直线的平行与垂直问题直线的一般式方程的应用随堂演练直线的一般式方程04课时对点练01直线的一般式方程问题1提示y=2x+1可以化成2x-y+1=0的形式，是二元一次方程.2x-y+3=0可以化为y=2x+3的形式，可以表示一条直线.直线y=2x+1是二元一次方程吗？方程2x-y+3=0表示一条直线吗？问题2提示在直线上任取一点，分类讨论直线斜率，得到任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0表示；分类讨论系数B，得到任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)表示吗？反之，任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)都表示一条直线吗？我们把关于x，y的二元一次方程

(其中A，B不同时为0)叫做直线的

，简称一般式.知识梳理Ax+By+C=0一般式方程(1)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程；②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；③x的系数一般不为分数和负数.注意点(2)当直线方程Ax+By+C=0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax+By+C=0有如下性质①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B=0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A=0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A=0，B≠0，C=0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B=0，C=0时，直线与y轴重合.注意点

例1

解：

例1

解：(2)经过A(-1，5)，B(2，-1)两点；

解：

根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(3)在x轴、y轴上的截距分别为-3，-1；

例1

解：(4)经过点B(4，2)，且平行于x轴.y-2=0.解：求直线一般式方程的策略在求直线方程时，通常不设直线的一般式方程，而是根据给定条件，选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.

反思感悟

根据下列条件分别写出直线的一般式方程.(1)经过两点A(5，7)，B(1，3)；跟踪训练1

解：(2)经过点(-4，3)，斜率为-3；由点斜式方程得y-3=-3(x+4)，即3x+y+9=0.解：

根据下列条件分别写出直线的一般式方程.(3)经过点(2，1)，平行于y轴；跟踪训练1由题意知x=2，即x-2=0.解：(4)斜率为2，在x轴上的截距为1.由点斜式得y=2(x-1)，即2x-y-2=0.解：02利用一般式解决直线的平行与垂直问题已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0).(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.

(1)已知直线l1：mx-2y+1=0，l2：x-(m+1)y+1=0，若l1∥l2，则m=

；

例2-2

(2)过点B(3，-4)且垂直于直线l：3x+7y-6=0的直线方程为

.7x-3y-33=0解析：垂直于直线l：3x+7y-6=0的直线可设为7x-3y+c=0，将点B(3，-4)代入可得21+12+c=0，得c=-33，所以所求直线的方程为7x-3y-33=0.求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程.(2)可利用待定系数法：与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2.

反思感悟

已知直线l1：x-2ay+1=0，l2：(3a+1)x-ay+1=0.若l1∥l2，则a=

；若l1⊥l2，则a=

.跟踪训练2

03直线的一般式方程的应用

(课本例6)把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.

例3解：

设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.(1)已知直线l在x轴上的截距为-3，求m的值；解：

例3

设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.解：

例3

对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.延伸探究

解：含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax+By+C=0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x=0可得直线在y轴上的截距.令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.

反思感悟课堂小结1.知识清单：(1)直线的一般式方程.(2)直线五种形式方程的互化.(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直.2.方法归纳：分类讨论法、化归转化.3.常见误区：忽略直线斜率不存在的情况；忽略两直线重合的情况.04随堂演练1234

√

1234√12343.已知直线l过点(0，3)，且与直线x-y-1=0平行，则l的方程是A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0√解析：设直线l的方程为x-y+c=0(c≠-1)，由点(0，3)在直线x-y+c=0上得0-3+c=0，解得c=3，因此直线l的方程为x-y+3=0.12344.直线l1：2x+3y+1=0，若直线l2与l1垂直，则直线l2的斜率为

.

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案ADBBDCDD-2题号9111213答案AAD1210.答案123456789101112

13141510.答案123456789101112

131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.1314151.过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0√答案123456789101112基础巩固131415

答案123456789101112131415

√3.若方程(m2-1)x+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则实数m满足A.m≠0 B.m≠1C.m≠-1 D.m≠1且m≠-1且m≠0√解析：当m2-1=0时，m=1或m=-1；当m2-m=0时，m=0或m=1.要使方程(m2-1)x+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则m2-1，m2-m不能同时为0，所以m≠1.答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√5.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为A.-1或2 B.0或2C.2 D.-1答案123456789101112131415解析：由l1∥l2知，a×a=1×(a+2)，即a2-a-2=0，∴a=2或a=-1.当a=2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a=-1时，l1∥l2.∴a=-1.√6.(多选)三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值可以是A.-1 B.1

C.2

D.5答案123456789101112131415√√解析：直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a≠±1.7.在同一平面直角坐标系中画出直线ax-by-c=0与bx-ay+c=0，不可能是下列选项中的答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

8.已知平行四边形ABCD中，一组对边AB，CD所在直线的方程分别为ax+4y=a+2，x+ay=a，则实数a的值为

.答案123456789101112131415-2解析：因为ax+4y=a+2，x+ay=a，整理可得ax+4y-(a+2)=0，x+ay-a=0，因为四边形ABCD为平行四边形，故AB∥CD，则a2-4=0，且a·(-a)≠-(a+2)·1，解得a=-2.

答案123456789101112131415

-1

10.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；答案123456789101112

解：13141510.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.答案123456789101112

解：13141511.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0 D.x+2y+1=0综合运用√解析：把A(2，1)分别代入方程a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0，得2a1+b1+1=0，2a2+b2+1=0，即点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都满足方程2x+y+1=0，又两点确定一条直线，∴所求直线的方程为2x+y+1=0.答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415

答案12345678910111213141512答案123456789101112

13141514.已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程.答案123456789101112131415

解：14.已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程.答案123456789101112131415

解：15.已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10-t，0).(1)直线PQ是否经过点M(6，1)？答案123456789101112131415拓广探究

解：15.已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10-t，0).(1)直线PQ是否经过点M(6，1)？答案123456789101112131415直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10).假设直线PQ过点M(6，1)，则2t-10=t(6+t-10)，即t2-6t+10=0，Δ=-4<0，方程无实根，故直线PQ不经过点M(6，1).综上，直线