2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.3　2.3.1　两条直线的交点坐标　2.3.2　两点间的距离公式

两条直线的交点坐标两点间的距离公式第二章

2.3.1

2.3.2学习目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能初步判断两条直线的位置关系：相交或平行(重点).2.掌握平面上两点间的距离公式(重点).3.能运用坐标法证明简单的平面几何问题(难点).在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等.导语内容索引01020503直线过定点问题两点之间的距离公式求两条直线的交点坐标0406课时对点练随堂演练坐标法的应用01求两条直线的交点坐标问题1

已知两条直线l1：x+y-5=0，l2：x-y-3=0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？问题2

已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0相交，它们的交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，

l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组

的解.知识梳理

(1)(课本例1)求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x+4y-2=0，l2：2x+y+2=0.

例1解：

(2)(课本例2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：①l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0；

例1解：

(2)(课本例2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：②l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0；

例1解：

(2)(课本例2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：③l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

例1解：

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：(1)l1：2x-3y=7，l2：4x+2y=1；

例1解：

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：(2)l1：2x-6y+4=0，l2：x-3y+2=0；

例1解：由l1：2x-6y+4=0，l2：x-3y+2=0，l1的方程可化为x-3y+2=0，故l1与l2重合.

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：(3)l1：2x+y-3=0，l2：4x+2y+1=0.

例1解：由l1：2x+y-3=0，l2：4x+2y+1=0，l1的方程可化为4x+2y-6=0，故l1与l2平行.(1)判断直线与直线位置关系的方法有两种①解方程组判断

反思感悟一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行②利用斜率判断.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.

反思感悟02直线过定点问题问题3提示当斜率存在时，y-1=k(x-4)(k∈R)；当斜率不存在时，x=4.观察右面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？

无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一定点P，求点P的坐标.

例2解：

无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一定点P，求点P的坐标.

例2解：方法三

直线可化为y-3=(m+1)(x-7)，易知直线l过定点(7，3)，故点P的坐标为(7，3).

若本例的条件不变，求证：无论m为何值，直线l总经过第一象限.延伸探究由例2的解答过程可知直线l恒过第一象限内的定点(7，3)，所以无论m为何值，直线l总经过第一象限.证明：

反思感悟03两点之间的距离公式问题4提示|AB|=|xA-xB|.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？问题5

已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|？

知识梳理

注意点

例3解：

已知△ABC的三个顶点A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.

例3解：

已知△ABC的三个顶点A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.

例3解：

反思感悟

已知A(a，2)，B(-2，-3)，C(1，6)三点，且|AB|=|AC|，则实数a的值为A.-2 B.-1 C.1

D.2跟踪训练1√

04坐标法的应用

(课本例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.

例4证明：如图，四边形ABCD是平行四边形.以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.在▱ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b，c).由两点间的距离公式，得|AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b-a)2+c2，|AB|2=a2，|AD|2=b2+c2.

(课本例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.

例4证明：所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2)，|AB|2+|AD|2=a2+b2+c2.所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.

求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.

例4证明：

(1)用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤①建立坐标系，用坐标表示有关的量.②进行有关代数运算.③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

反思感悟

已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|=|BD|.跟踪训练2证明：

课堂小结1.知识清单：(1)两条直线的交点.(2)直线过定点问题.(3)两点间的距离公式.(4)坐标法证明平面几何问题.2.方法归纳：消元法、直线系法、待定系数法、坐标法.3.常见误区：(1)对两直线相交条件认识模糊.(2)已知距离求参数问题易漏解.05随堂演练12341.两条直线l1：2x-y-1=0与l2：x+3y-11=0的交点坐标为A.(3，2) B.(2，3)C.(-2，-3) D.(-3，-2)

√2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点A.(-3，-1) B.(-2，-1)C.(-3，1) D.(-2，1)√

12341234

√12344.已知△ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为

.

06课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案BDBCDBCCCA4x+3y-18=0题号91112131516答案{k|k≠±5，且k≠-10}BAD13x-4y=0或20x+10y-21=0ABC1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.131415161.直线2x+y+1=0与直线x-y+2=0的交点在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√答案123456789101112基础巩固131415

162.无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则该定点为A.(1，3) B.(-1，3)C.(3，1) D.(3，-1)√答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516√√答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516√

√

答案123456789101112131415166.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为(2，p)，则p-m-n的值为A.-6 B.6

C.4

D.10答案123456789101112131415√16

答案123456789101112131415√16答案123456789101112131415

168.过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点，且与直线3x-4y-8=0垂直的直线的方程为

.答案1234567891011121314154x+3y-18=0

169.若直线l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0能围成一个三角形，则k的取值范围是

.答案123456789101112131415{k|k≠±5，且k≠-10}

1610.已知|t|≤1，直线l1：tx-y+1=0和直线l2：x+ty+1=0相交于点P.(1)判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标；答案123456789101112

解：1314151610.已知|t|≤1，直线l1：tx-y+1=0和直线l2：x+ty+1=0相交于点P.(2)O为坐标原点，求|OP|的取值范围，并指出取最值时点P的位置.答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112131415综合运用16√答案123456789101112131415

16

√答案