2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.4　2.4.1　圆的标准方程

圆的标准方程第二章

§2.4

2.4.1学习目标1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程.古朗月行(节选)[唐]李白小时不识月，呼作白玉盘.又疑瑶台镜，飞在青云端.月亮在中国人心中具有多重象征意义，承载着丰富的文化内涵和情感寄托.如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？导语内容索引01020503点与圆的位置关系求圆的标准方程随堂演练圆的标准方程04课时对点练01圆的标准方程问题1提示平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.圆是怎样定义的？确定它的要素是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？问题2

已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.知识梳理(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2(1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r=1时，方程为x2+y2=1，称为单位圆.(2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.注意点

(1)圆C的圆心在x轴上，且经过(0，1)，(2，1)两点的圆的标准方程为

.

例1(x-1)2+y2=2

(2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是

.(x-1)2+(y-2)2=25

直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，其中常用到中点坐标公式、两点间的距离公式.

反思感悟

求满足下列条件的圆的标准方程：(1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)；跟踪训练1∵圆心坐标为(-5，-3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴所求圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.解：

求满足下列条件的圆的标准方程：(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4).跟踪训练1设圆心坐标为(0，b)，则(3-0)2+(-4-b)2=52，∴b=0或b=-8，∴圆心坐标为(0，0)或(0，-8)，又半径r=5，∴所求圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.解：02点与圆的位置关系问题3提示点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？

知识梳理位置关系几何法：利用距离判断代数法：利用方程判断点在圆外d

r(x0-a)2+(y0-b)2

r2点在圆上d

r(x0-a)2+(y0-b)2

r2点在圆内d

r(x0-a)2+(y0-b)2

r2>>==<<

(课本例1)求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在这个圆上.

例2解：圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.把点M1(5，-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.把点M2(-2，-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(如图).

例2-2或-6a<-6或a>-2

判断点与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.

反思感悟

跟踪训练2[0，1)

03求圆的标准方程

(1)(课本例2)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程.

例3解：

(1)(课本例2)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程.

例3解：

(2)(课本例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.

例3解：

(2)(课本例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.

例3解：

(2)(课本例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.

例3解：

求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.

例3解：

求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.

例3解：

求圆的标准方程的两种方法(1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.

反思感悟

过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4跟踪训练3√

课堂小结1.知识清单：(1)圆的标准方程.(2)点与圆的位置关系.(3)求圆的标准方程.2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况.04随堂演练12341.圆心为(4，0)且过点(0，-3)的圆的标准方程为A.x2+(y-4)2=25B.x2+(y+4)2=25C.(x-4)2+y2=25D.(x+4)2+y2=25√1234

2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是A.在圆外

B.在圆内C.在圆上

D.不确定√解析：∵12+32=10<24，∴点P在圆内.12341234

√

12344.经过O(0，0)，B(4，-4)两点，且圆心C在直线l：x+2y-1=0上的圆的标准方程为

.(x-3)2+(y+1)2=101234

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案CCCDAADD(x-2)2+(y+1)2=13题号91112131516答案(x-5)2+(y+1)2=1BABC1(x-1)2+(y-1)2=1B1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112(1)依题意知，一个半圆弧的长为36π

m，所以每条直道的长度为(400-2×36π)÷2=(200-36π)m.(2)如图，设两个半圆的圆心分别为A，B，则AB的中点为O，则A(18π-100，0)，B(100-18π，0)，所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1

296，圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1

296，14.13141516答案123456789101112

14.13141516

√答案123456789101112基础巩固131415

16

√答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

163.圆C：(x-a)2+(y+1)2=4的圆心到直线x=1与直线y=1的距离相等，则实数a等于A.-1 B.1或-3C.-1或3 D.3√答案12345678910111213141516解析：由(x-a)2+(y+1)2=4，知C(a，-1)，则|a-1|=|-1-1|，解得a=-1或a=3.

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

√答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415√16√解析：由题意可知圆心在直线x+y=0上，设圆心坐标为(a，-a)，则(2-a)2+(1+a)2=5，解得a=0或a=1，∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.答案12345678910111213141516

√

8.已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以点P(2，-1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内、一个点在圆上、一个点在圆外，则这个圆的标准方程为

.答案123456789101112131415(x-2)2+(y+1)2=13

169.与圆C：(x+2)2+(y-6)2=1关于直线l：x-y+1=0对称的圆的标准方程为

.答案123456789101112131415(x-5)2+(y+1)2=1

1610.已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；答案123456789101112

解：1314151610.已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求(2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.答案123456789101112

解：1314151610.已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求(2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.答案123456789101112

解：1314151611.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=9答案123456789101112131415综合运用16√答案123456789101112131415

1612.(多选)如图，在平面直角坐标系中，坐标轴将边长为4的大正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y-1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=1D.x2+y2=4√答案12345678910111213141516√√答案123456789101112131415解析：由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1，可得第一象限的小圆的圆心为(1，1)，方程为(x-1)2+(y-1)2=1，A选项正确；第二象限的小圆的圆心为(-1，1)，方程为(x+1)2+(y-1)2=1，B选项正确；第三象限的小圆的圆心为(-1，-1)，方程为(x+1)2+(y+1)2=1，C选项正确；16答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415116答案123456789101112

1314151614.已知某400m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36m的半圆弧.(设400m标准跑道最内圈周长为400m)(1)求每条直道的长度；答案12345678910111213141516依题意知，一个半圆弧的长为36π

m，所以每条直道的长度为(400-2×36π)÷2=(200-36π)m.解：14.已知某400m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36