2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　3.1.1　第1课时　椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程第三章

3.1.1第1课时学习目标1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.(难点)椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.例如，神舟十九号载人飞船在进入太空后，先以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为圆形轨道.那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番.导语内容索引01020503椭圆的标准方程椭圆标准方程的求法随堂演练椭圆的定义04课时对点练01椭圆的定义问题1取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数.把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于

的点的轨迹叫做椭圆，这

叫做椭圆的焦点，

叫做椭圆的焦距，焦距的

称为半焦距.知识梳理常数(大于|F1F2|)两个定点两焦点间的距离一半(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.(2)定值必须大于两定点间的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.注意点

设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是A.椭圆

B.圆

C.线段

D.不存在√

例1解析：因为|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6，由椭圆的定义知，动点M的轨迹为椭圆.

把例1中“|MF1|+|MF2|=10”改为“|MF1|+|MF2|=6”，则动点M的轨迹是A.椭圆

B.圆

C.线段

D.不存在延伸探究1√解析：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段.

把例1中“|MF1|+|MF2|=10”改为“|MF1|+|MF2|=4”，则动点M的轨迹是A.椭圆

B.圆

C.线段

D.不存在延伸探究2√解析：因为|MF1|+|MF2|=4<|F1F2|，所以动点M的轨迹不存在.椭圆定义的理解(1)椭圆定义中包含一动点和两定点.(2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离.

反思感悟02椭圆的标准方程问题2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

问题3如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？

知识梳理

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程________________________________图形

焦点坐标______________________________________a，b，c的关系_________

F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)b2=a2-c2注意点(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁对应的坐标轴上.

(1)椭圆16x2+9y2=144的焦点坐标为

.

例2

√

辨析椭圆方程，首先要把方程化成标准形式，然后比较分母的大小，最后确定焦点位置.

反思感悟

跟踪训练1(8，25)

(2)若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标为(0，-4)，则实数k=

.

03椭圆标准方程的求法

例3解：

解：

例3

解：

例3

解：

例3

解：

例3

解：

例3

解：

例3(1)定义法：从几何角度，结合椭圆的定义，计算出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；(2)待定系数法：首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.

反思感悟

求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=10，c=6；跟踪训练2解：

求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)经过(0，2)和(1，0)两点.跟踪训练2解：

课堂小结1.知识清单：(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.(3)椭圆标准方程的求法.2.方法归纳：分类讨论、待定系数法.3.常见误区：(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系.(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.04随堂演练1234

解析：由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.√2.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|+|PB|=2a(a≥0)，下列说法中正确的是A.当a=2时，点P的轨迹不存在B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆√1234√1234解析：当a=2时，2a=4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a=4时，2a=8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|=6，B错误，C正确；当a=3时，2a=6=|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.1234

√1234

12344.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0，+∞) B.(0，2)C.(1，+∞) D.(0，1)

√05课时对点练答案123456789101112对一对1314题号12345678答案CCBACAAC5题号9111213答案ACB10.答案123456789101112

131410.答案123456789101112

131410.答案123456789101112

1314答案123456789101112

14.1314答案123456789101112

14.1314

√答案123456789101112基础巩固1314答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

√

√

答案1234567891011121314

答案1234567891011121314√答案1234567891011121314

√答案1234567891011121314

答案1234567891011121314√答案1234567891011121314

7.(多选)已知点A(-1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=2，且动点P的轨迹是椭圆，则点B的坐标可能是A.(0，0) B.(1，0)C.(0，1) D.(1，1)答案1234567891011121314√√答案1234567891011121314解析：由已知可得|PA|+|PB|=2>|AB|，即点B在以A为圆心，2为半径的圆内，且点A，B不重合，即点B在圆(x+1)2+y2=4内，由(0，0)，(0，1)在圆内，(1，0)在圆上，(1，1)在圆外，可知A，C选项正确.

答案12345678910111213145解析：因为|PA|+|PB|=6>|AB|=4，所以点P的轨迹是以A(-2，0)，B(2，0)为焦点的椭圆.易知2a=6，2c=4，即a=3，c=2，所以n=a2-c2=32-22=5.

答案1234567891011121314

10.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(3，0)，a=3b；答案123456789101112

解：1314

答案123456789101112

解：1314

答案123456789101112

解：1314

答案1234567891011121314√√综合运用答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

√

答案1234567891011121314

答案123456789101112

1314答案123456789101112

131414.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.(1)求鱼群的洄游路线曲线C的标准方程；答案1234567891011121314

解：14.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？答案1234567891011121314

解：14.某海