2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　3.2.1　第1课时　双曲线及其标准方程

双曲线及其标准方程第三章

3.2.1第1课时学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(难点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(重点)同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌？这首歌的创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给作者带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生.导语内容索引01020503双曲线的标准方程及其推导过程双曲线方程的设法随堂演练双曲线的定义04课时对点练01双曲线的定义问题1

如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-|PB||≤|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆.如图，在|AB|<|F1F2|≤|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的

等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做

.这两个定点叫做双曲线的

，两焦点间的距离叫做双曲线的

.知识梳理差的绝对值双曲线焦点焦距(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.注意点

已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线

例1√解析：|AB|=10，当a=3时，2a=6，此时2a<|AB|，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a=5时，2a=10，此时2a=|AB|=10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件来判断.

反思感悟

跟踪训练1√√

02双曲线的标准方程及其推导过程问题2类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程呢？

问题3设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a，其中c>a>0，以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？

双曲线的标准方程知识梳理焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程___________________________________焦点____________________________________a，b，c的关系b2=_____

F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)c2-a2注意点(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2=a2+b2.

焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点M(2，3)的双曲线的标准方程为

.

例2

反思感悟

跟踪训练2√

03双曲线方程的设法

例3解：

例3解：

例3解：

反思感悟

跟踪训练3解：

跟踪训练3解：

课堂小结1.知识清单：(1)双曲线的定义.(2)双曲线的标准方程及其推导过程.(3)双曲线方程的设法.2.方法归纳：待定系数法、分类讨论.3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件.04随堂演练1234

√1234

√解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2+m)(2-m)>0.解得-2<m<2.12341234

√

1234

1234

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案ABDBDDA题号91112131516答案BABx=41610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112(1)如图，连接QA，OA.因为l为PA的垂直平分线，所以|QA|=|QP|，所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=r为定值，又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|=r，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，2a=r的双曲线.(2)对于方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)，当m=1时，方程为2y2=0，即y=0，表示x轴；当m=3时，方程为2x2=0，即x=0，表示y轴；14.13141516答案123456789101112

14.131415161.已知定点A(0，-3)，B(0，3)，动点P满足|PA|-|PB|=4，则动点P的轨迹为A.双曲线的上支

B.双曲线的下支C.双曲线的左支

D.y轴负半轴上的射线√答案123456789101112基础巩固131415解析：由定点A(0，-3)，B(0，3)，可得其在y轴上，且|AB|=6，又|PA|-|PB|=4<|AB|=6，根据双曲线的定义得，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的上支.16

答案123456789101112131415

16√

√

答案12345678910111213141516

√

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

166.当0°≤α≤180°时，方程x2cosα+y2=1表示的曲线不可能是A.圆B.直线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线答案123456789101112131415√16答案123456789101112

13141516

答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

168.如图，Rt△ABC的CA与CB的边长分别为6，8，CA⊥CB，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为

.答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

16

答案123456789101112

解：1314151610.求下列双曲线的标准方程：(2)过M(1，1)，N(-2，5)两点；答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112131415综合运用√16答案123456789101112131415

16

答案12345678910111213141516√√

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

14.(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？答案123456789101112131415解：16如图，连接QA，OA.因为l为PA的垂直平分线，所以|QA|=|QP|，所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=r为定值，又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|=r，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，2a=r的双曲线.(2)当m变化时，指出方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线的形状.答案123456789101112131415解：16

(2)当m变化时，指出方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线的形状.答案123456789101112131415解：16综上，当m=1时，表示x轴；当m=3时，表示y轴；当m=2时，方程表示以原点为圆心的单位圆；当m<1或m>3时，方程表示双曲线；当1<m<3且m≠2时，方程表示椭圆.15.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|=|BC|=|CD|=2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为

.答案12345678910111213141516拓广探究

答案123456789101112131415

16

答案12345678910111213141516x=4答案12345678910111213141516解析：如图，设△PF1F2的内切圆与该三角形的切点分别为M，N，Q，∴