2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　3.3.2　第1课时　抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质第三章

3.3.2第1课时学习目标1.了解抛物线的几何性质.(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.(难点)数学就像一座神秘的宝库，每一个新的知识点都是一颗璀璨的宝石.今天，我们将目光聚焦在抛物线这颗宝石上.它看似简单，却蕴含着丰富的几何奥秘，这些性质不仅是数学理论的重要组成部分，更是打开众多科学领域大门的钥匙.准备好挖掘抛物线的几何宝藏了吗？导语内容索引01020503抛物线的简单几何性质的应用弦长问题随堂演练抛物线的简单几何性质04课时对点练01抛物线的简单几何性质问题1类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？提示范围：x≥0，y∈R.在方程y2=2px(p>0)中，y无限制，因此y∈R.又因为2px=y2≥0，且p>0，所以x≥0.对称性：关于x轴对称，没有对称中心.在抛物线上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)关于x轴的对称点P'(x0，-y0)也在抛物线上.顶点：原点.当x=0时，y=0，因此抛物线的顶点就是原点.离心率：离心率e=1.由抛物线的定义可知，e=1.知识梳理标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形

范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴

轴

轴

轴

轴xxyy标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点坐标F______F________F______F________准线方程x=____x=____y=____y=____顶点坐标O(0，0)离心率

(1)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线；(3)所有抛物线的离心率均为1.注意点

例1

解：

求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)关于x轴对称，并且经过点M(5，-4)；

例1

解：

求适合下列条件的抛物线的标准方程：(2)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；

例1

解：

求适合下列条件的抛物线的标准方程：(3)焦点F在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.

例1

解：

反思感悟02抛物线的简单几何性质的应用

(1)已知等边△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，则这个三角形的边长为

.

例2

3

利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦：解决焦点弦问题.

反思感悟

跟踪训练1√√

(2)已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为

.

03弦长问题问题2提示(1)利用弦长公式.(2)根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？

(课本例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

例3解：

(课本例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

例3解：将①代入方程y2=4x，得(x-1)2=4x，化简，得x2-6x+1=0.所以x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8.所以，线段AB的长是8.

过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.

例3解：

过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.

例3解：

过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.

例3解：

过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.

例3解：

反思感悟

跟踪训练2解：

已知抛物线G：y2=2px(p>0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M.(2)对于(1)中的抛物线G，若点N(3，0)，求证：|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值.跟踪训练2解：由(1)得抛物线G的方程为y2=8x，F(2，0).显然直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为x=ty+2，与y2=8x联立，消去x得y2-8ty-16=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=8t，y1y2=-16，

已知抛物线G：y2=2px(p>0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M.(2)对于(1)中的抛物线G，若点N(3，0)，求证：|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值.跟踪训练2解：

课堂小结1.知识清单：(1)抛物线的简单几何性质.(2)抛物线的简单几何性质的应用.(3)弦长问题.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.3.常见误区：求抛物线的方程时焦点的位置易判断失误；利用弦长公式时要判断是否过焦点.04随堂演练1234

√

1234√12343.若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线和对称轴的距离均为4，则p的值为A.18 B.4C.2或18 D.4或9√1234

1234

√1234

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案ABCABCBD题号91112131516答案6BBCD6[1，+∞)1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，抛物线的准线为l：x=-2，圆x2+y2-4x+3=0变形为(x-2)2+y2=1，则圆心(2，0)为抛物线y2=8x的焦点F，半径r=1.点M为抛物线y2=8x上任意一点，|MN|≥|MF|-r=|MF|-1.所以|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1，如图，过点M作ME⊥l于点E，由抛物线定义可知，|MF|=|ME|，所以|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1=|MP|+|ME|-1≥|PE|-1，当且仅当P，M，E三点共线，且|PE|=3时，等号成立.所以|MP|+|MN|≥3-1=2.则|MP|+|MN|的最小值为2.14.13141516

√答案123456789101112基础巩固131415

16

√答案123456789101112131415

163.已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于A.4 B.6

C.8

D.16√答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

16

√

答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516√答案12345678910111213141516

6.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，2)，F为抛物线C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则A.C的准线方程为x=-2B.△AFO的面积为1C.不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2D.存在点P，使得△POF为等边三角形答案12345678910111213141516√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516√答案12345678910111213141516

8.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=

.答案123456789101112131415

169.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|=

.答案123456789101112131415616

10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|=6.(1)求抛物线C的标准方程；答案123456789101112

解：1314151610.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|=6.(2)若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程.答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112131415综合运用16√答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516√√答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415166答案123456789101112

1314151614.点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2-4x+3=0上任意一点，且点P(1，-1)，求|MP|+|MN|的最小值.答案123456789101112131415解：16抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，抛物线的准线为l：x=-2，圆x2+y2-4x+3=0变形为(x-2)2+y2=1，则圆心(2，0)为抛物线y2=8x的焦点F，半径r=1.点M为抛物线y2=8x上任意一点，|MN|≥|MF|-r