2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　3.3.2　第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用

抛物线的标准方程及性质的应用第三章

3.3.2

第2课时学习目标1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.(难点)上节课我们研究了抛物线的简单几何性质，这节课我们继续探究直线与抛物线的位置关系及弦长问题.导语内容索引01020503与抛物线有关的轨迹问题直线与抛物线的综合问题随堂演练直线与抛物线的位置关系04课时对点练01直线与抛物线的位置关系问题类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相离、相切、相交.设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0，当

时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当

时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当

时，直线与抛物线相离，没有公共点.(2)若k=0，直线与抛物线有

公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.知识梳理Δ>0Δ=0Δ<0一个(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.注意点

已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？

例1

解：

已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？

例1l与C有两个公共点；②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点.综上所述，当k=1或0时，l与C只有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点.解：判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点.

反思感悟

已知抛物线C：y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线C的公共点的情况.跟踪训练1

解：

已知抛物线C：y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线C的公共点的情况.跟踪训练1

解：

已知抛物线C：y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线C的公共点的情况.跟踪训练1

解：02与抛物线有关的轨迹问题

(课本例6)如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.

例2解：

(课本例6)如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.

例2解：

已知动点P到直线x=-2的距离与到点M(2，0)的距离相等，设动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；解：

例2由已知得动点P的轨迹是以M(2，0)为焦点，直线x=-2为准线的抛物线，所以曲线E的方程为y2=8x.

已知动点P到直线x=-2的距离与到点M(2，0)的距离相等，设动点P的轨迹为曲线E.(2)过点N(4，0)的直线l交E于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为32，求直线l的方程.解：

例2

已知动点P到直线x=-2的距离与到点M(2，0)的距离相等，设动点P的轨迹为曲线E.(2)过点N(4，0)的直线l交E于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为32，求直线l的方程.解：

例2

求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程.

反思感悟

跟踪训练2解：

03直线与抛物线的综合问题

(课本例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

例3证明：

(课本例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

例3证明：

(课本例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

例3证明：

已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°.(1)求证：直线AB必过一定点；

例3

证明：

已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°.(1)求证：直线AB必过一定点；

例3

证明：

已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°.(1)求证：直线AB必过一定点；

例3

证明：

已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°.(1)求证：直线AB必过一定点；

例3

证明：

已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°.(2)求△AOB面积的最小值.

例3

解：

已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°.(2)求△AOB面积的最小值.

例3

解：(1)定值与定点问题的求解策略①欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值.②寻求一条直线经过某个定点的常用方法：(ⅰ)通过方程判断；(ⅱ)对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；(ⅲ)利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；(ⅳ)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.(2)解决有关最值问题：一种思路是合理转化，数形结合求解；另一种思路是代数法，转化为函数求最值.

反思感悟

已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P(m，4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点.(1)求抛物线E的方程；跟踪训练3解：

已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P(m，4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点.(2)探究|AC|·|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.跟踪训练3解：由(1)知，抛物线的焦点为F(0，1)，恰好为圆x2+(y-1)2=1的圆心，易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点，根据抛物线的定义可得，|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，又|CF|=|DF|=1，

已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P(m，4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点.(2)探究|AC|·|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.跟踪训练3解：

课堂小结1.知识清单：(1)直线与抛物线的位置关系.(2)与抛物线有关的轨迹问题.(3)直线与抛物线的综合问题.2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.04随堂演练12341.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是A.相交

B.相切C.相离

D.相交或相切√解析：当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，此时直线l与抛物线相交.当直线l的斜率存在，且直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切.2.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点的轨迹是A.椭圆

B.双曲线C.双曲线的一支

D.抛物线√解析：依题意可知动点P(x，y)在直线x+2=0的右侧，设P到直线x+2=0的距离为d，则|PF|=d+1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x+3=0的距离相等，其轨迹为抛物线.123412343.已知F是抛物线x2=4y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=6，则线段AB的中点到x轴的距离为A.1 B.2

C.3

D.4√

1234

√05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案CBADDBACD4题号9111213答案ABDB10.

答案123456789101112131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112即3p+p=8，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+(2b-4)x+b2=0.∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ=0，解得b=1.∴直线l的方程为y=x+1.15.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.1314151.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点，则k的值为A.1 B.9C.1或0 D.1或3答案123456789101112基础巩固131415√答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

√

答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112

131415答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

7.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则A.焦点F的坐标为(1，0)B.过点A(-1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点C.直线x+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为8D.若抛物线C与圆x2+y2=5交于M，N两点，则|MN|=4答案123456789101112131415√√√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案1234567891011121314154答案123456789101112131415

9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|=16，则p=

.答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.答案123456789101112131415

证明：

答案123456789101112131415综合运用√答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答