2026-2027步步高人教数学选择性必修一第三章　§3.3　习题课　抛物线焦点弦性质的应用

抛物线焦点弦性质的应用第三章

§3.3习题课

(8)抛物线在点A处的切线方程为y1y=p(x+x1)，设抛物线外一点P(x0，y0)，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C，D，则直线CD的方程为y0y=p(x+x0).运用这些性质可以减少运算，解决问题变得更加快捷.内容索引01020503

0406课时对点练随堂演练以弦AB为直径的圆与准线相切及过抛物线上的点的切线问题01

√

例1

在选择题中运用推导得出的公式处理，就可以避免小题大做，而且可以事半功倍，起到很好的效果.

反思感悟

已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是A.直角

B.锐角C.钝角

D.与点A，B位置有关跟踪训练1√

02

例2√

反思感悟

经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，则p=

.跟踪训练22

03

例3√

将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.

反思感悟

过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|·|BF|=2|AB|，则抛物线C的标准方程是

.跟踪训练3y2=8x

04以弦AB为直径的圆与准线相切及过抛物线上的点的切线问题

求证：(1)以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切；

例4证明：

(2)若点A(x1，y1)在抛物线y2=2px(p>0)上，则抛物线在点A处的切线方程为y1y=p(x+x1).

例4证明：

分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？延伸探究解：它们都与y轴相切，证明如下：设抛物线的准线为l，如图，作AA'⊥l于点A'，交y轴于点E，取AF的中点M，作MM'⊥y轴于点M'，则由抛物线的性质可知|AA'|=|AF|，|OF|=|A'E|，在直角梯形OFAE中，

分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？延伸探究解：

解析几何中的选择题和填空题都很小巧灵活，既考查运算功底(通法)，也考查思维的灵活性(小题小做).为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要.

反思感悟

跟踪训练4√

解析：∴kAB·kMF=-1，∴MF⊥AB，∵∠AMF=60°，∴∠GAM=∠GMA=30°，∴∠MFO=∠GMF=30°.(2)设点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)外，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为

.y0y=p(x+x0)

课堂小结1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错.05随堂演练12341.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是A.y轴

B.x=-1C.x=-2 D.不存在√

2.过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|等于A.9或6 B.6或3 C.9

D.31234√1234

1234

√1234

12344.AB是过抛物线x2=4y的焦点且斜率为1的弦，直线l1，l2是抛物线的两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点坐标为A.(2，-1) B.(1，-1)C.(3，-1) D.(4，1)√1234解析：设交点坐标为(x0，y0)，则直线AB的方程为x0x=2(y+y0)，即x0x-2y-2y0=0，又直线AB的斜率为1，∴x0=2，又直线AB过焦点(0，1)，∴y0=-1，∴交点坐标为(2，-1).06课时对点练答案123456789101112对一对13题号12345678答案CDDCADACABD题号91011答案ABD2p12.答案123456789101112

1312.答案123456789101112

1312.答案123456789101112

13答案123456789101112

13.13答案123456789101112

13.13答案123456789101112

13.13

√答案12345678910111213解析：当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.

√答案12345678910111213

√答案12345678910111213答案12345678910111213

√答案12345678910111213答案12345678910111213

√答案12345678910111213

答案12345678910111213√答案12345678910111213

答案12345678910111213

答案12345678910111213√√答案12345678910111213

答案12345678910111213

答案12345678910111213√√√答案12345678910111213

答案12345678910111213解析：设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|+|CF|≥|AC|，|AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2，所以2x0+2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.9.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则A.过点P(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条B.若AB的中点M的横坐标为3，则|AB|的最大值为8C.若直线AB过点F，且倾斜角为60°(点A在第一象限)，则|AF|=2|BF|D.若直线AB过点F，则x轴上存在一点N，使kAN+kBN为定值答案12345678910111213√√√答案12345678910111213解析：对于A，当直线的斜率不存在时，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，与抛物线C：y2=4x联立，消去y并整理得k2x2+(2k-4)x+1=0，当k=0时，方程有一解，满足题意；当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4k2=0，解得k=1，方程有一解，满足题意，所以过点P(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条，故A正确；对于B，由于A，B为两动点，所以|AB|≤|AF|+|BF|=xA+xB+p=2×3+2=8，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，故B正确；答案12345678910111213

答案12345678910111213

三、填空题10.若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为

.答案12345678910111213

11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，圆x2+y2-px=0.如图，过点F的直线l与抛物线和圆的交点依次为A，B，C，D，则4|AB|+|CD|的最小值为

(请用p表示).答案123456789101112132p答案12345678910111213

答案12345678910111213

解：

答案12345678910111213

解：

答案12345678910111213

证明：

答案12345678910111213

证明：13.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0).(1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，横坐标分别为xA，xB，求yA·yB，xA·xB的值；答案12345678910111213

解：13.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0).(2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2=3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.答案12345678910111213

解：13.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0).(2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2=3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若