2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.5　2.5.2　圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系第二章

2.5.2学习目标1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.日食是一种天文现象，民间称此现象为“天狗食日”.日食只在月球运行至太阳与地球之间且三者在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.导语内容索引01020503相交弦问题圆与圆的综合性问题随堂演练两圆位置关系的判断04课时对点练01两圆位置关系的判断

相交相切外离或内含

位置关系圆心距与半径之间的关系图示两圆外离d>r1+r2

两圆外切d=r1+r2

位置关系圆心距与半径之间的关系图示两圆相交|r1-r2|<d<r1+r2

两圆内切d=|r1-r2|

两圆内含d<|r1-r2|判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系.注意点

(1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.

例1

解：

(1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.

例1

解：

(1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.

例1解：

例1解：

已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；

例1

解：

已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(2)相交；

例1当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交.解：

已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(3)外离；

例1当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.解：

已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(4)内含.

例1当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含.解：判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置关系.

反思感悟

(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是A.4 B.6

C.16

D.36跟踪训练1√

(2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有

条.4

02相交弦问题

已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；

例2解：

已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；

例2解：

已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

例2解：

已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

例2解：

已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

例2解：

(1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.

反思感悟

跟踪训练2√√

03圆与圆的综合性问题

例3解：

延伸探究

解：通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.

反思感悟课堂小结1.知识清单：(1)两圆位置关系的判断.(2)两圆的公共弦问题.(3)圆与圆的综合性问题.2.方法归纳：几何法、代数法.3.常见误区：将两圆内切和外切相混.04随堂演练12341.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是A.内切

B.相交

C.外切

D.外离√

2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为A.2 B.-5 C.-2 D.5√1234√

12343.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是

.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36

1234

105课时对点练答案123456789101112对一对131415题号1234567答案CABCDCABCCA题号89111213答案CABCx=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)10.答案123456789101112

13141510.答案123456789101112

13141510.答案123456789101112

131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.1314151.圆C1：x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2：x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为A.相交

B.外切

C.内切

D.外离√答案123456789101112基础巩固131415解析：由已知，得C1(-2，-4)，r1=5，C2(-2，-2)，r2=3，则圆心距d=|C1C2|=2，所以d=|r1-r2|，所以两圆内切.2.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0√答案123456789101112131415

3.(多选)下列圆中与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0相切的是A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49√答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415

4.圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标为A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，-1)C.(-1，0)和(0，-1) D.(-1，0)和(0，1)√答案123456789101112131415答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√

答案1234567891011121314158.已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x-4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为

.答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

9.在平面直角坐标系中，圆C：x2-2ax+y2-2ay+2a2-1=0上存在点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是

.答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

10.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0.(1)试判断两圆的位置关系；答案123456789101112

解：13141510.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0.(2)求公共弦所在的直线方程；答案123456789101112将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.解：13141510.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0.(3)求公共弦的长度.

解：答案12345678910111213141510.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0.(3)求公共弦的长度.

解：答案12345678910111213141511.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2+y2-10x-12y+m=0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°，则m等于A.-3或3 B.57C.-3或57 D.3或57答案123456789101112131415综合运用√答案123456789101112131415

12.(多选)已知圆C1：x2+y2=r2，圆C2：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b√答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415解析：圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0，即2ax+2by=a2+b2.分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入，得2ax1+2by1=a2+b2，2ax2+2by2=a2+b2.两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0，即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0，所以A，B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1+x2=a，y1+y2=b，所以C正确，D不正确.13.(2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程____________________________________________________________________________.答案123456789101112131415x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

答案12345678910111213141514.为测量一工件的内圆弧AB对应的