2026-2027步步高人教数学选择性必修一第一章　章末复习课

章末复习课第一章

知识网络内容索引010203利用空间向量证明位置关系利用空间向量计算距离空间向量的概念及运算04利用空间向量求空间角01空间向量的概念及运算1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力.

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例1√

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反思感悟

跟踪训练1√

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02利用空间向量证明位置关系1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点，

P为侧棱BB1上的动点.(1)求证：平面AMP⊥平面BB1C1C；

例2∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，AM⊂平面ABC，∴AM⊥BB1，∵AB=AC=2，M为BC的中点，∴AM⊥BC，∵BC∩BB1=B，BC，BB1⊂

平面BB1C1C，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C.证明：

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点，

P为侧棱BB1上的动点.(2)试判断是否存在点P，使得直线BC1⊥AP.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由.

例2解：

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点，

P为侧棱BB1上的动点.(2)试判断是否存在点P，使得直线BC1⊥AP.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由.

例2解：

利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).

反思感悟

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.(1)求证：AC⊥BC1；跟踪训练2证明：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.(2)在棱AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.跟踪训练2

解：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.(2)在棱AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.跟踪训练2

解：03利用空间向量计算距离

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.(1)证明FC1∥AE，并求点F到直线AE的距离；

例3解：

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.(1)证明FC1∥AE，并求点F到直线AE的距离；

例3解：

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.(2)求点A1到平面AB1E的距离和三棱锥A1-AB1E的体积.

例3解：

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.(2)求点A1到平面AB1E的距离和三棱锥A1-AB1E的体积.

例3解：

利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.

反思感悟

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为

.跟踪训练3

04利用空间向量求空间角1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ=|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ=|cos〈m，n〉|.(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cosθ=|cos〈n1，n2〉|.2.利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.

例4

证明：

例4解：

例4解：

例4解：

例4解：

(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特