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文档简介

第七次复数项级数幂级数1、复数列得极限定义例如2、复数项级数得概念(1)定义设有复数列：

例如:(2)复数项级数收敛得等价条件:证明

由定理1,复数项级数得收敛问题可归之为两个实数项级数得收敛问题。(3)级数收敛得必要条件(4)定义例如:例如:(5)绝对收敛级数得性质证明性质1、

?性质2、证明性质3性质4解例1§3、2复变函数项级数1、复变函数项级数得概念

2、一致收敛得概念与性质1、复变函数项级数得概念定义设有复变函数列:为复变函数项级数。复变函数项级数得前n项得与称为复变函数项级数得部分与。大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点命题:2、复变函数项级数一致收敛概念与性质

(1)定义:

(2)性质:性质(i)性质(ii)(外尔斯特拉斯定理):证明:见P81、例2证明复变函数项级数在z平面上一致收敛。例3设复变函数项级数见P108题21、幂级数得概念

2、收敛定理

3、收敛圆与收敛半径

4、收敛半径得求法§3、3幂级数1、幂级数得概念例如:2、幂级数收敛定理定理(阿贝尔(Able)定理).,,)(001级数必发散的则对满足发散在若幂级数⑵zazazzzazcnnn->-=-å¥=证明:见P82。3、收敛圆与收敛半径由Able定理,幂级数得收敛范围不外乎下述三种情况:(i)若对所有正实数都收敛,则幂级数在复平面上处处收敛。(ii)除z=a外,对所有得正实数都就是发散得,这时,幂级数在复平面上除z=a外处处发散。显然,

<、否则,幂级数将在

处发散。将收敛部分染成红色,发散部分染成蓝色,

逐渐变大,在c

内部都就是红色,

逐渐变小,在c

外部都就是蓝色,红、蓝色不会交错。故

(i)幂级数在收敛圆内部收敛,在收敛圆外部发散,在圆周上可能有收敛点,也可能有发散点,具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数得收敛范围就是以a为中心,R为半径得圆域。4、收敛半径得求法比值法（阿贝尔）

根值法（柯西）注:对于“缺项”幂级数,也有相应得比值法与根值法。例4解综上例5求下列幂级数得收敛半径并讨论收敛圆周上得情形:解(1)综上该级数发散。该级数收敛,故该级数在复平面上就是处处收敛得、例6答案:例7求幂级数的收敛半径与收敛圆.答案:例8答案:1、幂级数得与函数得解析性

2、解析函数展开成幂级数

3、展开式得唯一性§3、4解析函数与幂级数1、幂级数与函数得解析性命题1

幂级数得与函数就是解析函数、证明:(见教材P84~85

)证:例7

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