SPSS 数据分析与应用课件 第4章 因子分析

第4章因子分析学习目标1.了解因子分析的基本思想和评价因子分析的相关指标2.理解因子分析的基本步骤及原理3.掌握SPSS实现因子分析及结果解读的方法学习导读与引导案例因子分析：探索多元数据内部结构、降低数据维度的关键方法因子分析通过识别少数潜在因子来解释众多观测变量之间的内在联系。本章内容包括概述、基本步骤、SPSS实现及解读，并结合学生成绩数据进行综合案例实践。图4-1学生成绩数据.sav（部分）引导案例高三某班52名学生3月模拟考试成绩：数学、物理、化学、语文、英语、历史6门课程。思考①如何识别成绩单中的潜在学习模式，超越总分/单科评价？②如何针对各因子强弱项制定个性化改进建议？用2～3个因子即可概括6门课程成绩，实现“降维而不丢信息”。Part4.1因子分析概述4.1.1因子分析的基本思想以最少的信息丢失为代价，将众多变量浓缩为少数可解释的因子变量过多会带来共线性与分析复杂度问题；直接删减变量又丢失信息。因子分析兼顾两者：大幅减少建模变量数，又保留绝大部分信息。数量更少因子数量远远少于原有变量个数信息保留因子能反映原有变量的绝大部分信息相互独立因子之间的线性关系不显著命名可解释因子具有命名解释性，可结合专业背景解读数学模型：每个标准化变量=公共因子的线性组合+特殊因子。公共因子解释变量间相关关系，特殊因子表示变量中不能被公共因子解释的部分。4.1.2因子分析中的三个核心概念载荷看关系、共同度看解释、方差贡献看重要性因子载荷变量与因子的相关系数，绝对值≤1。绝对值越接近1，因子与变量相关程度越高，是因子命名解释的主要依据。变量共同度变量方差中能被全部公共因子解释的比例（载荷行平方和）。多数变量共同度高于0.8，说明信息丢失很少。因子方差贡献所有变量在某因子上载荷的平方和。值越高，因子对总方差的解释能力越强，是衡量因子重要性的指标。三者配合：先看方差贡献确定保留几个因子，再看载荷为因子命名，最后用共同度检查信息保留程度。Part4.2因子分析的基本步骤4.2因子分析的四个基本步骤围绕“如何构造因子”与“如何命名解释”两大核心问题展开1前提条件检验相关系数矩阵、KMO检验、巴特利特球形度检验，确认变量间有较强相关性2构造因子变量主成分分析法等提取因子；按特征值>1、碎石图或累积方差贡献率确定因子数3因子旋转解释常用最大方差正交旋转，使变量在尽可能少的因子上有大载荷，便于命名4计算因子得分回归法或巴特利特法计算各样本因子得分，用于后续分析与综合评价4.2.1前提条件：四种检验方法变量间相关性太弱则不适合做因子分析检验方法判断标准相关系数矩阵大部分相关系数绝对值应大于0.3；若多为弱相关则不适合因子分析反映像相关矩阵偏相关系数应较小；变量间重叠与传递影响越强越适合KMO检验KMO∈(0,1)，越接近1越适合；一般0.6以上可做，0.8以上效果较好巴特利特球形度检验H0：相关矩阵为单位阵；P<0.05则拒绝H0，说明变量间存在相关，适合因子分析本案例：KMO=0.804，Bartlett检验P<0.05，满足前提条件。4.2.2构造因子变量：确定因子数主成分分析法提取，两种标准确定保留几个因子主成分分析法通过坐标变换将原有变量转换为一组不相关的主成分，以较少成分解释总方差的较大部分，是使用最广泛的因子构造方法。标准1：特征值>1每个变量方差为1，保留的因子至少要能解释一个变量的方差；可结合碎石图——曲线由陡转平的前一个点即为提取的因子数。标准2：累积方差贡献率一般取累积方差贡献率85%～95%对应的前n个主成分，也有学者认为大于80%即可。本案例因子1、2特征值3.710、1.262（均>1），累计方差贡献率82.873%，故提取2个公共因子。4.2.3–4.2.4因子旋转与因子得分旋转使含义清晰，得分让因子可用于每个样本因子旋转（最大方差法）目的：使原有变量在尽可能少的因子上有较大载荷，理想状态下载荷趋近1或0。正交旋转保持因子轴正交，最常用的是最大方差法。因子得分计算每个样本在各因子上的具体数值，形成因子得分变量，可用于排名、分类等后续分析。回归法：有偏但误差小；巴特利特法：无偏但误差较大。旋转不改变信息量总量，只改变载荷的分布结构，使因子“各司其职”：本案例旋转后因子1在语文、英语、历史上高载荷（文科因子），因子2在数学、物理、化学上高载荷（理科因子）。Part4.3SPSS实现及结果解读4.3.1因子分析的SPSS实现分析(A)→降维(D)→因子(F)，共7个步骤步骤1-2打开“学生成绩数据.sav”；选择【分析】>【降维】>【因子】，将6门课程选入变量框步骤3描述勾选【系数】、【KMO和巴特利特球形度检验】步骤4提取方法默认【主成分】；勾选【碎石图】，基于特征值大于1步骤5旋转选择【最大方差法】，勾选【旋转后的解】步骤6得分勾选【保存为变量】，方法默认【回归】，显示因子得分系数矩阵步骤7确定单击【确定】完成因子分析关键菜单路径：【分析(A)】→【降维(D)】→【因子(F)】4.3.1SPSS对话框设置描述、提取、旋转、得分四个子对话框的关键勾选图4-3“因子分析”对话框图4-4“描述”对话框图4-5“提取”对话框图4-6“旋转”对话框图4-7“因子得分”对话框4.3.2结果解读①：前提条件检验相关矩阵显示文理分野，KMO与Bartlett检验均通过数学物理化学语文英语历史数学1.0000.6470.696-0.561-0.456-0.439物理0.6471.0000.573-0.503-0.351-0.458化学0.6960.5731.000-0.380-0.274-0.244语文-0.561-0.503-0.3801.0000.8130.835英语-0.456-0.351-0.2740.8131.0000.819历史-0.439-0.458-0.2440.8350.8191.000表4-1相关性矩阵KMO检验0.804＞0.8，适合做因子分析巴特利特检验χ²=205.972P=0.000＜0.05拒绝“变量不相关”H0解读：历史×语文相关高达0.835，数学×化学达0.696；且理科内部正相关、文科内部正相关、文理之间负相关，提示存在“文科/理科”两个潜在因子。4.3.2结果解读②：总方差解释与碎石图前2个因子累计解释82.873%的信息成分特征值方差%累计%13.71061.83261.83221.26221.04182.87330.4417.34790.22040.2714.50894.72950.1702.82597.55460.1472.446100.000表4-4总方差解释（主成分分析法）图4-8碎石图成分1、2特征值均大于1，第3个成分起曲线明显变平，故只提取前2个公共因子。4.3.2结果解读③：旋转前后的因子载荷矩阵旋转后载荷两极分化，因子含义清晰可命名变量旋转前F1旋转前F2旋转后F1旋转后F2数学-0.7940.422-0.3260.838物理-0.7340.401-0.2950.783化学-0.6400.632-0.0730.896语文0.8880.3130.878-0.342英语0.8100.4660.918-0.175历史0.8280.4570.926-0.194表4-5因子载荷矩阵|表4-6正交旋转后的因子载荷矩阵（最大方差法，3次迭代收敛）公共因子1→文科因子语文0.878/英语0.918/历史0.926高载荷公共因子2→理科因子数学0.838/物理0.783/化学0.896高载荷4.3.2结果解读④：因子得分生成FAC1_1（文科因子）与FAC2_1（理科因子）两个新变量变量因子1系数因子2系数数学0.0560.393物理0.0570.370化学0.1960.492语文0.3430.032英语0.4060.138历史0.4050.129表4-8因子得分系数矩阵图4-9因子得分结果（部分）得分越高表示该因子对应能力越强；成分得分协方差矩阵为单位阵，说明两因子互不相关。Part4.4应用案例与综合得分4.4应用案例：学生成绩的影响因子分析传统“平均分+排名”难以揭示能力结构，因子分析给出新视角背景介绍平均分、总分、优秀率等传统指标只能反映总体水平，无法回答“学生强在哪类能力”。用因子分析对成绩进行综合评价，帮助教师精准把握问题并给出针对性建议。数据说明（表4-10）高三某班52名学生3月模考6门成绩。各科分值差距较大，但整体均值都在70分以上。分析流程前提检验（KMO=0.804）→提取2个因子（82.873%）→最大方差旋转命名（文/理因子）→因子得分→综合得分排名。分析价值从“看分数”升级为“看结构”：识别文科/理科潜在能力模式，支持分层教学与个性化辅导。4.4.3计算因子综合得分以旋转后载荷平方和占比为权重，合成总分并排名权重确定旋转载荷平方和：因子1=2.670（44.495%），因子2=2.303（38.378%）；按两者占比归一化作为权重，计算式（4-4）综合得分。综合排名综合得分反映学生综合学习能力：两因子得分都高者排名靠前；一文一理失衡者存在明显偏科。图4-12因子综合得分及排名（部分）案例解读：学号X2019033两因子得分均高，综合排名第一；X2019022理科因子高、文科因子不高，偏科较严重，需针对性补强文科。4.4.4结论与建议6个变量成功降维为“文科因子+理科因子”核心结论52名学生的6门成绩可归纳为两个潜在因子：文科因子（语文、英语、历史）与理科因子（数学、物理、化学），累计解释82.873%的信息；学生间存在明显的能力结构差异，有的文科薄弱，有的理科薄弱。建议1分层教学按文/理因子得分将学生分组，设计差异化教学任务与作业建议2个性化辅导对文科因子低分学生加强阅读与表达训练；对理科因子低分学生强化逻辑与运算训练建议3动态跟踪定期重跑因子分析，跟踪因子得分变化，评估辅导效果本章小结一图回顾因子分析全流程前提检验相关矩阵/KMO≥0.6/BartlettP<0.05提取因子主成分法；特征值>1、碎石图、累计方差贡献率旋转命名最大方差正交旋转；载荷趋近1或0便于解释因子得分回归法/巴特利特法；可进一步算综合得分排名核心思想：用较少的、互相独立的因子反映原有变量的绝大部分信息。降维不是删变量，而是让信息“换一种更紧凑的存在方式”。本章习题（节选）检验对核心概念的掌握单选1因子分析的主要作用：对变量进行降维单选2提取因子的特征值通常大于1单选4前提条件：原有变量之间应高度相关判断2因子分析的核心是用较少互相独立的因子反映原变量绝大部分信息（√）判断3因子旋转使变量在尽可能少的因子上有较大载荷（√）判断5KMO越接近1越不适合因子分析（×，越接近1越适合）本章实训：男子十项全能数据分析用因子分析探究成绩背后