河南青桐鸣普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

河南青桐鸣普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．2．在等差数列中，，，则的公差为（

）A． B．2 C．3 D．43．经过抛物线与的两个交点的直线方程为（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．6．设复数与在复平面内对应的点分别为，，若，则（

）A． B． C． D．7．若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（

）A．为偶函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为奇函数8．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（

）A． B． C． D．6二、多选题9．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．10．在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（

）A．样本点对应的残差为1 B．样本点到的距离为C． D．11．设曲线：，过上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则（

）A．的轨迹与x轴仅有一个交点 B．的轨迹与y轴仅有一个交点C．的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D．的轨迹在第四象限仅有一个最低点三、填空题12．双曲线的离心率为_____.13．端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有____种（用数字作答）.14．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____．四、解答题15．如图，在三棱柱中，平面，，，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.16．在中，，，．(1)求；(2)求的外接圆的半径与的面积．17．在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对（1，1）出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值.(1)直接补全下列列联表（用m表示）：单位：个合计合计100(2)若按样本频率得到的x与y相互独立，即.（i）求m的值，并计算单次输出时满足的概率p；（ii）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.18．在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1.(1)求的标准方程.(2)过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点.（i）证明：点M在曲线上；（ii）若的面积为，求的方程.19．已知定义在上的函数的零点为，且，，.(1)试猜想数列的通项公式，并加以验证；(2)求数列的最小值与数列的最小值；(3)证明：是递增数列《河南青桐鸣普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题》参考答案题号12345678910答案AAADCBDBACBD题号11答案ABC1．A【分析】利用并集与补集的定义进行求解.【详解】，所以.2．A【详解】由等差数列的性质，得，解得，故的公差.3．A【分析】联立求出交点坐标，进而求出直线方程.【详解】联立，得，即，解得或，所以两抛物线的交点为，，故过两个交点的直线方程为.4．D【详解】由，即，则，解得或（舍去），则.5．C【分析】利用正态分布对称性得，再用条件概率公式计算得结果.【详解】因为X服从均值为0的正态分布，所以其正态曲线关于直线对称，由，得，于是，且，所以.6．B【分析】设，根据复数的乘方运算法则及复数的对应点的坐标列得关于的方程，求得的值，从而求得.【详解】设，则.所以，所以，所以，由②得，所以或.当时，由①得，即，因为，所以该方程无实数解；当时，，所以，所以.综上所述，.7．D【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则，.对于A：因为，可知为奇函数，故A错误；对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误；对于C：因为，可知为偶函数，故C错误；对于D：因为，可知为奇函数，故D正确.8．B【分析】先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为．【详解】设，记，点P到圆O的切线长为，则，圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于，因为，所以.又，所以，所以恒成立，由，得，整理得，即①对任意实数成立，当时，①式成立；当时，①式两边平方，得，即，也即②，若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意；若，取，此时，②式不成立，综上所述，实数的最小值为．9．AC【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即，的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确.10．BD【分析】利用残差的定义与性质列方程，再结合点到直线的距离约束筛选参数，逐一验证选项即可.【详解】选项A，由题意可知残差，四个样本点的残差依次为，，，，样本点对应的残差为，A错误；选项B，点到的距离为，B正确；选项C，因为，，所以，即，且，即，将代入，得，解得或，C错误；选项D，点到直线的距离为，由题意得，对于点，有，所以，故，故，C错误，D正确.11．ABC【分析】先求切线方程与坐标轴的交点，利用中点关系得到的参数坐标，消参得到轨迹，再通过导数分析单调性与极值，判断轨迹与坐标轴的交点、象限内的最值情况.【详解】由，得，曲线在横坐标为t的点处的切线为，即，令，得横坐标，即；令，得纵坐标，即，由可知，是的中点，则；设，则，消去得.选项A，令，则，仅与轴交于，A正确；选项B，令，则，仅与轴交于，B正确；选项C，求导，则，为极大值点，此时，点在第二象限，即最高点，C正确；选项D，，函数单调递减，第四象限无最低点，D错误.12．【分析】先将方程化为标准形式，确定，求出离心率.【详解】由，得，所以双曲线的焦点在y轴上，且，，从而，，所以双曲线的离心率为.13．36【分析】先把4项活动按2,1,1分组，再将三组全排列分配给3人，分步相乘得到结果.【详解】先将4个活动分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为，再将分好的三组全排列，分配给3名不同的员工，排列方法数为，根据分步乘法计数原理，不同的选择方式共有6×6=36种.14．【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得．【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数，由等差数列的通项公式可得，所以当时，，则，因为等比数列的各项均为正整数，所以，若，则，不成立，故，且，当时，，整理得，即，由等比数列的定义可得，则，因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项，若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数，所以，则，所以，，则．15．(1)证明：因为平面，平面，所以，又，，平面，得平面.(2)【分析】（1）由线面垂直性质得到，进而证得.（2）建系求的法向量后算正弦值.【详解】（1）略（2）以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，可得，，，，，则，，.设平面的法向量为，则有即取，则，记直线与平面所成的角为，故.16．(1)(2)半径，2【详解】解：（1）由余弦定理，得，即，整理可得，解得．（2）由，得．由正弦定理，得的外接圆的半径，的面积．17．(1)合计6040合计5050100(2)（i），（ii）X的分布列为01234.【分析】（1）利用数值总和建立方程组，求出各行各行、各列合计频数，再用表示四类信号频数完成填写；（2）（i）卡方值为0等价于变量独立，满足求出，统计总频数，除以样本总数得对应概率；（ii）单次试验独立且成功概率恒定，判定服从二项分布，即，套用二项分布公式写分布列、用求期望.【详解】（1）设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，依题意可得解得设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，依题意可得解得由信号对（1，1）的频数为，可得当时，与的频数分别为与，当时，与的频数分别为与.故补全的列联表如下：单位：个合计6040合计5050100（2）（i）由，得，解得.由上述结果可知信号对（2，2）出现的频数为30-10=20，故样本中满足的总频数为30+20=50，将此样本频率视为概率即可得到单次输出时满足的概率.（ⅱ）由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足的概率均为，由此判断随机变量X服从二项分布，即.随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，，，，，.则X的分布列为01234因为，所以.18．(1)(2)（i）证明：当直线不垂直于轴时，设其方程为.代入，得，整理得.设交点A，B的横坐标分别为，，则，所以中点M的横坐标为.因为点M在直线上，所以中点M的纵坐标为.于是，即点在曲线上.当直线垂直于轴时，直线的方程为，易得线段的中点也满足.综上，点M在曲线上.（ii）或.【分析】（1）利用椭圆顶点坐标与两点间的距离公式，直接求出的值，写出标准方程；（2）（i）分直线斜率存在与不存在两种情况，联立直线与椭圆方程，用韦达定理求中点坐标，代入曲线方程验证即可；（ii）排除直线垂直于轴的情况，利用中点纵坐标表示三角形面积，列方程求出斜率，进而得到直线方程.【详解】（1）椭圆：的上顶点为，右顶点为.由点到上顶点的距离为，得，所以，又，所以.由点到右顶点的距离为1，得，即或，又，所以.因此椭圆的标准方程为.（2）（i）略（ii）若直线垂直于轴，则，点M，T重合，不合题意.故由（2）（i），得，而，，所以的面积为.由题意，得，所以，即.令，则，且，整理得，即，所以，故或.因此直线的方程为或，即或.

19．(1)由，，，得，，，猜想数列的通项公式为，因为，所以猜想成立.(2)数列的最小值为，的最小值为.(3)证明：，于是，设，，.下面证明.注意到，显然，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调