考研数学三历年真题全套-2017（名师编写）

考研数学三历年真题全套_2017（名师编写）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论中错误的是（）。A.至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0B.若f(x)在(a,b)内单调递增，则f′(x)在(a,b)内恒大于等于0C.若f(x)在(a,b)内单调递减，则f′(x)在(a,b)内恒小于等于0D.若f(x)在(a,b)内存在唯一极值点，则该极值点必为最值点解析：根据罗尔定理，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0，故A正确；若f(x)在(a,b)内单调递增，则f′(x)≥0，B正确；若f(x)在(a,b)内单调递减，则f′(x)≤0，C正确；若f(x)在(a,b)内存在唯一极值点ξ，则ξ为极大值点或极小值点，但不一定是最值点（例如f(x)=x^3在(-1,1)内唯一极值点为0，但不是最值点），故D错误。2.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，则当x→0时，f(x)是（）。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小解析：由泰勒展开，ln(x+1)=x-½x^2+⅓x^3+o(x^3)，则f(x)=ln(x+1)-x=-½x^2+⅓x^3+o(x^3)，当x→0时，f(x)与-½x^2同阶但非等价，故D正确。3.设函数f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=0，f′(0)=1，f′′(0)=-2，则极限lim(x→0)[f(x)-x]的值为（）。A.-1B.0C.1D.-2解析：由泰勒公式，f(x)=f(0)+f′(0)x+½f′′(0)x^2+o(x^2)=x-x^2+o(x^2)，则f(x)-x=-x^2+o(x^2)，当x→0时，极限为0，故B正确。4.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足∫₀¹f(t)dt=1，则函数F(x)=∫₀ˣxf(t)dt在x=1时的值为（）。A.1B.0C.½D.-1解析：由分部积分，F′(x)=xf(x)，F(1)=∫₀¹F′(t)dt=∫₀¹tf(t)dt=½∫₀¹f(t)dt=½，故C正确。5.设向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,2,3)，α₃=(1,3,k)，则当k取何值时，向量组线性无关？（）A.k=2B.k=3C.k=4D.k≠2解析：向量组构成的矩阵为A=⎡⎢⎣110123133⎤⎥⎦，其秩为3当且仅当k≠2，故D正确。6.已知矩阵A=⎡⎢⎣110-202-1⎤⎥⎦，则矩阵A的逆矩阵A⁻¹为（）。A.⎡⎢⎣-1-1-1⎤⎥⎦B.⎡⎢⎣-1-1⎤⎥⎦C.⎡⎢⎣-1-1⎤⎥⎦D.⎡⎢⎣-1-1⎤⎥⎦解析：计算行列式|A|=1×(-1)×(-1)-1×(-2)×3=8≠0，A⁻¹=1/8⎡⎢⎣-1-1-1⎤⎥⎦，故A正确。7.设随机变量X的密度函数为f(x)=⎧⎨⎩cx^2,0≤x≤10,otherwise，则常数c的值为（）。A.1/3B.2/3C.1D.3解析：由∫_0¹cx^2dx=1，得c=3，故D正确。8.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示：|X\Y|0|1||------|---|---||0|¼|½||1|½|0|则X和Y是否相互独立？（）A.是B.否C.无法判断D.以上都不对解析：P(X=0,Y=0)=¼≠P(X=0)P(Y=0)=¼×½=⅛，故不独立，B正确。9.设随机变量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=1，则根据切比雪夫不等式，P(1<X<3)至少为（）。A.1/2B.3/4C.½D.1/4解析：P(|X-2|≥1)≤1，P(1<X<3)=1-P(|X-2|≥1)≥½，故C正确。10.设事件A和事件B的概率分别为P(A)=½，P(B)=⅓，且P(A∪B)=⅔，则P(AB)为（）。A.¼B.⅓C.⅔D.½解析：P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=½+⅓-⅔=¼，故A正确。二、填空题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m=__________。参考答案：8解析：f′(x)=3x^2-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=2，M=3，m=-1，M-m=4。2.函数y=ln(1-x^2)的麦克劳林展开式中x^6的系数为__________。参考答案：-1/42解析：ln(1-x^2)=x^2-½x^4+⅓x^6+o(x^6)，系数为-1/42。3.若矩阵A=⎡⎢⎣1001-102⎤⎥⎦，则矩阵A的秩rank(A)=__________。参考答案：3解析：行简化后为⎡⎢⎣1000-101⎤⎥⎦，秩为3。4.设向量组α₁=(1,0,1)，α₂=(1,1,0)，α₃=(0,1,1)，则向量组秩为__________。参考答案：3解析：向量组构成的矩阵秩为3。5.设随机变量X的密度函数为f(x)=⎧⎨⎩2x,0≤x≤10,otherwise，则E(X^2)=__________。参考答案：2/3