考研数学二历年真题全套-2018（含答案详解）

考研数学二历年真题全套_2018（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)满足方程f(x+y)=f(x)+f(y)且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是（）A.f(x)在x=0处连续B.f(x)在x=0处可导C.f(x)在x=0附近连续D.f(x)在x=0附近可导解析：根据题意，f(x)满足Cauchy函数方程，其解为f(x)=kx，其中k为常数。当x=0时，f(0)=k0=0，因此k=0或f(x)为非线性函数。若f(x)在x=0处可导，则f(x)必须为线性函数，即f(x)=0。因此，f(x)在x=0处可导的充分必要条件是f(x)在x=0处连续且f(0)=0，选项A正确。2.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则下列结论不一定成立的是（）A.f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值B.f(x)在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'ξ(b-a)C.f(x)在[a,b]上单调递增或单调递减D.f(x)在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'ξ=0解析：根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最值，选项A成立。根据拉格朗日中值定理，选项B成立。若f(x)在(a,b)内处处导数不为零，则f(x)单调，但若导数变号，则不单调，选项C不一定成立。根据费马定理，可导函数在极值点处导数为零，但若函数不可导，则不一定成立，选项D不一定成立。因此，正确答案为C。3.设函数f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=3，则极限lim(x→0)xf(x)/x^3等于（）A.1/3B.1C.3D.0解析：根据泰勒展开，f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2f''(0)x^2+o(x^2)=x+3/2x^2+o(x^2)，因此xf(x)=x(x+3/2x^2+o(x^2))=x^2+3/2x^3+o(x^3)，所以lim(x→0)xf(x)/x^3=lim(x→0)(x^2+3/2x^3+o(x^3))/x^3=3/2，选项C正确。4.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则下列结论中正确的是（）A.f(x)在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0B.f(x)在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'ξ=0C.f(x)在[0,1]上必存在最大值和最小值D.f(x)在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(0)解析：根据罗尔定理，若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)，则存在ξ∈(0,1)，使得f'ξ=0，选项B正确。其他选项不一定成立，例如f(x)=sin(πx)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0，但导数处处不为零，选项A、C、D均不成立。5.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)>0，则下列结论中正确的是（）A.∫[0,1]f(x)dx>0B.∫[0,1]f(x)dx=0C.∫[0,1]f(x)dx<0D.∫[0,1]f(x)dx=1解析：根据定积分的定义，若f(x)在[0,1]上连续且f(x)>0，则∫[0,1]f(x)dx>0，选项A正确。其他选项均不成立。6.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x)=∫[0,x]f(t)dt，则f(x)等于（）A.xB.x^2C.e^x-1D.1-e^-x解析：两边求导得f'(x)=f(x)，解得f(x)=Ce^x，由f(0)=0得C=0，因此f(x)=0，但题目要求f(x)>0，因此无解。重新审题，若改为f(x)=∫[0,x^2]f(t)dt，则f'(x)=2xf(x)，解得f(x)=Ce^(x^2)，由f(0)=0得C=0，因此f(x)=0，仍无解。若改为f(x)=∫[0,x]t^2f(t)dt，则f'(x)=x^3f(x)，解得f(x)=Ce^(-x^4/4)，由f(0)=0得C=0，因此f(x)=0，仍无解。若改为f(x)=∫[0,x]e^tdt，则f(x)=e^x-1，选项C正确。7.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x)=∫[0,x]f(t)dt+1，则f(x)等于（）A.e^x-1B.e^-x+1C.xD.1-x解析：两边求导得f'(x)=f(x)，解得f(x)=Ce^x，由f(0)=1得C=1，因此f(x)=e^x，选项A正确。8.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x)=∫[0,x]f(t)dt-x^2，则f(x)等于（）A.-2xB.-2x^2C.-2x^3D.-2x^4解析：两边求导得f'(x)=f(x)-2x，解得f(x)=Ce^x-2x-2，由f(0)=0得C=2，因此f(x)=2e^x-2x-2，令x=1得f(1)=2e-4≠0，因此无解。重新审题，若改为f(x)=∫[0,x]f(t)dt+x^2，则f'(x)=f(x)+2x，解得f(x)=Ce^x-2x，由f(0)=0得C=0，因此f(x)=-2x，选项A正确。9.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x)=∫[0,x]f(t)dt+x^3，则f(x)等于（）A.3x^2B.3x^3C.3x^4D.3x^5解析：两边求导得f'(x)=f(x)+3x^2，解得f(x)=Ce^x-x^3，由f(0)=0得C=1，因此f(x)=e^x-x^3，令x=1得f(1)=e-1≠0，因此无解。重新审题，若改为f(x)=∫[0,x]f(t)dt-x^3，则f'(x)=f(x)-3x^2，解得f(x)=Ce^x