高等数学（上）课件 第6章定积分及其应用

二、定积分的概念三、利用定积分的定义计算一、问题的提出6.1定积分的概念与性质四、定积分的性质一、问题的提出21.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积一、问题的提出3观察发现：小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．解决思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积思想：以直代曲（五个小矩形）（十个小矩形）一、问题的提出41)大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤:一、问题的提出53)

近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积一、问题的提出62.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在第i个小段上物体经2)常代变.得已知速度n

个小段过的路程为一、问题的提出73)

近似和.4)取极限.tiT2=tnti-1t0=T1ξi一、问题的提出8上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:

所求量极限结构式相同:

大化小,常代变,近似和,取极限特殊乘积和式的极限

二、定积分的概念9任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限

I为函数在区间上的定积分,即记作1.定积分的定义二、定积分的概念10积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即二、定积分的概念11

二、定积分的概念12曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和2.定积分的几何意义二、定积分的概念13

答案

二、定积分的概念143.存在定理

不作深入讨论如下定理给出了可积的充分条件.定理1

定理2

三、利用定积分的定义计算15取例1.

利用定义计算定积分解:分点为三、利用定积分的定义计算16注.当n较大时,此值可作为的近似值三、利用定积分的定义计算17例2.用定积分表示下列极限:解:四、定积分的性质18(设所列定积分都存在)(k为常数)证:略四、定积分的性质19于是由于y=f(x)四、定积分的性质20当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有四、定积分的性质216.

若在[a,b]上则证:推论1.

若在[a,b]上则推论2.四、定积分的性质227.

设则四、定积分的性质23例1

解

四、定积分的性质24则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.8.积分中值定理四、定积分的性质25积分中值公式的几何解释：曲边梯形的面积矩形的面积

四、定积分的性质26故它是有限个数的平均值概念的推广.注

四、定积分的性质27例5.小结281.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式二、积分上限函数三、微积分基本公式一、问题的提出6.2微积分基本公式一、问题的提出30解引例

又由定积分的定义可知

二、积分上限函数及其导数31考察定积分1.积分上限函数的定义记为积分上限函数

是如图阴影部分的面积函数.二、积分上限函数及其导数322.积分上限函数的性质

定理1

二、积分上限函数及其导数33证:则有二、积分上限函数及其导数34说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.二、积分上限函数及其导数35二、积分上限函数及其导数36解:(1)原式例1.

求二、积分上限函数及其导数37解:原式洛例2.

求－二、积分上限函数及其导数38定理2（原函数存在定理）

定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、微积分基本公式

(牛顿–

莱布尼茨公式)39(牛顿-莱布尼茨公式)

证:根据定理1,故因此得记作定理2.或二、积分上限函数及其导数40解:原式洛例3.

求三、微积分基本公式41

注

三、微积分基本公式42例4.计算解:例5.

计算正弦曲线图形的面积.解:三、微积分基本公式43例6.计算解:三、微积分基本公式44解例5

三、微积分基本公式45例7

解即得故在这段时间内汽车所走的距离为

刹车后汽车减速行驶,其速度为

当汽车停住时,

三、微积分基本公式46例8证证明积分中值定理：

内容小结47则有1.微积分基本公式牛顿–莱布尼茨公式2.变限积分求导公式

二、定积分的分部积分法一、定积分的换元法6.2定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法49定理1.

设函数单值函数满足:1)2)在上证:

所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则一、定积分的换元法50说明:2)必需注意换元必换限

,原函数中的变量不必代回

.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限一、定积分的换元法51例1.

计算解1:

令且解2:

换元必换限

,变量不代回

.换元必换限配元不换限边积边代限一、定积分的换元法52例2.计算解:

令则∴原式=且＝换元必换限

,变量不代回

.一、定积分的换元法53例3.

计算解:令则∴原式=且换元必换限

,变量不代回

.一、定积分的换元法54例5

偶倍奇零一、定积分的换元法55例4.证:(1)若(2)若偶倍奇零一、定积分的换元法56奇函数偶函数例6

解原式

单位圆的面积

偶倍奇零一、定积分的换元法57

解

例10

一、定积分的换元法58证例7

证毕一、定积分的换元法59

证毕一、定积分的换元法60

举例：结论：一、定积分的换元法61例5.

设f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：证:(1)记则即一、定积分的换元法62例8证（1）方法1.

一、定积分的换元法63

方法2

证毕一、定积分的换元法64

一、定积分的换元法65例9解

原式

一、定积分的换元法66

偶倍奇零

一、定积分的换元法67解二、定积分的分部积分法68定理2.

则证:dudv二、定积分的分部积分法69解:原式=例6.计算二、定积分的分部积分法70例7.

计算

解先用换元法去掉根号．二、定积分的分部积分法71

例13解

二、定积分的分部积分法72

凑微分

二、定积分的分部积分法73例14证

自证

设

积分

关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止

证毕小结76

基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限77第一节定积分的元素法一、问题的提出二、元素法的条件和三步曲一、问题的提出78

回顾曲边梯形求面积的问题

面积元素dA

一、问题的提出79

例如:

二、元素法80

1.应用定积分解决问题的条件

二、元素法812.元素法的三部曲（一定二取三积分）

称为U的微元表达式

得到所求量U的积分表达式

【一定】【二取】【三积分】二、体积三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积6.4定积分在几何上的应用一、用定积分求平面图形的面积83(一)直角坐标系下平面图形面积的计算

1.由曲线

y=f(x)和直线

x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形曲边梯形的面积为二取：面积微元为一定：三积分：一、用定积分求平面图形的面积842.求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)

g(x))及直线x=a,x=b所围成平面曲边梯形的面积X-型二取：面积微元为一定：三积分：一、用定积分求平面图形的面积85例1求由y=x,y=x2

所围成的图形的面积.

选x为积分变量，

x[0,1]（1）一定：两曲线的交点，由（2）二取：面积微元为（3）三积分：一、用定积分求平面图形的面积86练习.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:

由得交点一、用定积分求平面图形的面积87例2.

计算抛物线与直线所围图形的面积.解:

【X-型】（1）一定：求两曲线的交点，由（2）二取：面积微元为（3）三积分：所求面积为一、用定积分求平面图形的面积883.求由两条曲线

x=

(y),x=

(y),(

(y)

(y))及直线y=c,y=d所围成平面曲边梯形的面积为Y-型二取：面积微元为一定：三积分：一、用定积分求平面图形的面积89例3.

计算抛物线与直线

解:

所围图形的面积.选取

y

作积分变量【Y-型】（1）一定：求两曲线的交点，由（2）二取：面积微元为（3）三积分：所求面积为一、用定积分求平面图形的面积90例4.

求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有当a=b

时得圆面积公式一、用定积分求平面图形的面积91另解.

求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式一、用定积分求平面图形的面积92在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.1.极坐标系:极坐标系是由一个极点和一个极轴构成,极轴的方向为水平向右.①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.(二)极坐标系下面积的计算θOρMx一、用定积分求平面图形的面积93点的极坐标

设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.θOρMx极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式直角坐标化极坐标公式y一、用定积分求平面图形的面积942.极坐标系下面积的计算

曲边扇形是由曲线

(

)及射线

,

(

<

)所围成的图形.(1)取极角

为积分变量,其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小曲边扇形面积,得到面积元素:(3)作定积分一、用定积分求平面图形的面积95例5.解:

（1）画图

（2）定限（3）求微元【熟练后与（4）合并】

（4）写出定积分一、用定积分求平面图形的面积96

例6

解

一、用定积分求平面图形的面积97(利用对称性)

例7

解

二、体积98设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,1.平行截面为已知的几何体体积二、体积99并与底面交成

角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.例1.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,二、体积100解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性二、体积1012.旋转体的体积圆柱圆锥圆台旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫做旋转轴.二、体积1022.旋转体的体积考虑旋转体内点x处垂直于x轴厚度为dx的切片,用圆柱体的体积

[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积

于是体积元素为

dV

[f(x)]2dx.二、体积1032.旋转体的体积轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有二、体积104例2.计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:则(利用对称性)方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a

时,就得半径为a的球体的体积

例3

解

三、平面曲线的弧长107定义若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长

→0

时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长

,即并称此曲线弧为可求长的.

定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)

则称

三、平面曲线的弧长1081.曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长

三、平面曲线的弧长1092.曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长三、平面曲线的弧长110

3.曲线弧由极坐标方程给出:

因此所求弧长

则得

弧长元素(弧微分):三、平面曲线的弧长111例1计算曲线上x从0

到1的一段弧的长度.（1）画图

（2）定限

（3）求微元【熟练后与（4）合并】

（4）写出定积分三、平面曲线的弧长112

例2解

三、平面曲线的弧长113

计算摆线的弧长.例3

一拱

解

1.定积分的微元法2.定积分求平面图形的面积内容小结:3.定积分求体积4.平面曲线的弧长(1)平行截面面积为已知的立体体积(2)旋转体的体积元素116

定积分在经济学中的应用一、定积分在经济学中的应用117在经济学中，若已知某个量的变化率来求总量，这种问题可用定积分解决．其中x为产量．则根据经济学的有关理论及定积分的知识得：一、定积分在经济学中的应用118例1

设某种产品每天生产x单位时固定成本为30元，

(1)总成本函数C(x);(2)如果这种产品的销售单价为27元，求总利润函数

并问每天生产多少单位时，总利润最大?

并求最大利润．解

所以总成本函数为一、定积分在经济学中的应用119所以每天生产48单位时，总利润最大．最大利润为

一、定积分在经济学中的应用120例2

已知生产某产品x单位时,边际收益函数并求生产100单位产品时总收益及平均单位收益.解

平均收益函数为:生产100单位产品时的总收益为:平均收益函数为:二、水压力三、引力一、变力沿直线做功6.4定积分在物理中的应用一、变力沿直线做功122设物体在连续变力

F(x)作用下沿x

轴从x

a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功

.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所做的功为回顾:

解决方法:微元法一、变力沿直线做功123例1.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点r

时,由库仑定律，电场力为则功元素为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷

a

处移动到b处(a<b),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,一、变力沿直线做功124例2.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a

处移动到点b

处(如图),做的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强

p

与体积V

成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S

的圆柱形容器中盛有一定量的气一、变力沿直线做功125例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ

)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,二、液体压力126面积为A的平板设液体密度为

深为h

处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••回顾:解决方法:微元法二、液体压力127小窄条上各点的压强例4.

的液体,

求桶的一个端面所受的侧压力.解:

建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性

,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶密度为二、液体压力128说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数定积分的几何意义三、引力129质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.解决方法:微元法三、引力130例4.设有一长度为l,线密度为

的均匀细直棒,其中垂线上距a

单位处有一质量为

m

的质点

M,该棒对质点的引力.解:

建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故铅直分力元素为在试计算三、引力131利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为三、引力132

此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.

则有注

三、引力133引力大小为（3）当质点位于棒的左端点垂线上时,

注意正负号

二、无界函数的反常积分一、无权限的反常积分6.5反常积分三、Γ函数135常义积分积分限有限被积函数有界推广反常积分(广义积分)一、无穷限的反常积分136引例.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为一、无穷限的反常积分137定义1.

设称为

f(x)在[a,+∞）上的无穷限反常积分,

记作称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义算式如果上述极限存在,一、无穷限的反常积分138则定义只要有一个极限不存在

,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.

一、无穷限的反常积分139