2025-2026学年汉阳区四校联考八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年汉阳区四校联考八年级（上）期中数学试卷一、选择题（10*3分＝30分）1．甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm3．如图，△ABC中BC边上的高是（）A．BD B．AE C．BE D．CF4．如图，△ABC≌△ADE，则下列结论错误的是（）A．∠B＝∠D B．DE＝CB C．∠BAC＝∠DAE D．AB＝AE5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC和BC上的点，且DE⊥BC，若△ADB≌△EDC，则∠C＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，∠B＝20°，则∠A4＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°7．直线AB，CD，EF表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处8．如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A、C，则下列结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠DAP＝∠DCP C．∠ADB＝∠BDC D．PD＝BD9．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（）A．360° B．540° C．720° D．900°10．已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10二、填空题（5*3分＝15分）11．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是13．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝°．14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．15．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．三、解答题（本大题共9小题，共75分）16．（6分）如图，已知点A，C，B，D在同一条直线上，AC＝BD，AM＝CN，BM＝DN．求证：△AMB≌△CND．17．（7分）如图，已知△ABC为等边三角形，M是线段BC上任意一点，N是CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于G点．（1）求证：AM＝BN；（2）求∠BGM的度数．18．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E＝．19．（6分）如图，一艘轮船以15海里/时的速度，由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上．求轮船在B处到小岛P的距离．20．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：（1）∠DAE的度数；（2）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．21．（7分）综合与实践活动：课题测量墙上一点到地面的距离测量工具测角仪、皮尺、直杆等测量方案测量方案及步骤第一步：如图1，找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；第三步：测量的长度，即为点A的高度．任务1（1）补全上述方案中的空格；任务2（2）利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由；任务3（3）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的小明同学猜想线段AE＝DE，你同意小明的观点吗？说明理由．22．（10分）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝；（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（4）拓展应用：如图4，在△ABC中，∠ACB≠90°，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为．23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BM上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°，求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．①∠AFB的度数是；②若AH为△ABF中BF边上的高，求证：BF＝CF+2AH．24．（12分）如图，点A（a，0），B（0，b），满足|a﹣b|+（b﹣2）2＝0．（1）直接写出△AOB的面积为．（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，求证：CD＝AC+BD．（3）如图2，F（2，2），点E是x轴上一动点（点E在点A的左边且不与点O重合），点K是y轴正半轴上一动点，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝45°，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并说明理由．

2025-2026学年汉阳区四校联考八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDBDDADDBA一、选择题（10*3分＝30分）1．甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意；B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意；C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意；D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意；故选：D．3．如图，△ABC中BC边上的高是（）A．BD B．AE C．BE D．CF【解答】解：由图可知，△ABC中BC边上的高是AE．故选：B．4．如图，△ABC≌△ADE，则下列结论错误的是（）A．∠B＝∠D B．DE＝CB C．∠BAC＝∠DAE D．AB＝AE【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，DE＝CB，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD．故选：D．5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC和BC上的点，且DE⊥BC，若△ADB≌△EDC，则∠C＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：∵△ADB≌△EDC，∴DB＝DC，∠ABD＝∠C，∴∠DBC＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠A＝90°，3∠C＝90°，解得，∠C＝30°，故选：D．6．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，∠B＝20°，则∠A4＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，∴∠A＝∠BA1A=12（180°﹣∠B）=12（180°﹣∵A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，∴∠A1CD＝∠A1A2C，∵∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠BA1A＝2∠CA2A1＝4∠DA3A2＝8A4，∴∠A4＝10°．故选：A．7．直线AB，CD，EF表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【解答】解：如图，根据“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点P1，P2，P3，P4到三条公里的距离相等，∴满足条件的地址有4个，故选：D．8．如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A、C，则下列结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠DAP＝∠DCP C．∠ADB＝∠BDC D．PD＝BD【解答】解：∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，∴△ABP≌△CBP，AP＝CP，∴∠APD＝∠CPD，∴在△APD和△CPD中，AP=CP∠APD=∠CPD∴△APD≌△CPD，∴AD＝CD、∠DAP＝∠DCP、∠ADP＝∠CDP，∴∠ADB＝∠BDC．∵P是BD上任意一个与D不同的点，∴PD＝BD不一定成立．故选：D．9．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（）A．360° B．540° C．720° D．900°【解答】解：如图，连接BE，CE，根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝540°．故选：B．10．已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10【解答】解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，∴2a-解得a=2b=3当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；故选：A．二、填空题（5*3分＝15分）11．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵点P（2，3）∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是112°【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，∴∠A＝56°，由题意知，DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝56°，∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，故答案为：112°．13．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝45°．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，∴∠PCD＝45°．故答案为：45°．14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝85或14【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180°-80°2=∴特征值k=②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k=综上所述，特征值k为85或故答案为85或15．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝32或125s时，△【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，∴6﹣2x＝2x，解得x=3当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（6﹣2x），解得x=12答：32或125秒时，△故答案为32或12三、解答题（本大题共9小题，共75分）16．（6分）如图，已知点A，C，B，D在同一条直线上，AC＝BD，AM＝CN，BM＝DN．求证：△AMB≌△CND．【解答】证明：∵AC＝BD，∴AC+CB＝DB+CB，即：AB＝CD，AC＝BD在△AMB和△CND中，AM=CNAB=CD∴△AMB≌△CND（SSS）．17．（7分）如图，已知△ABC为等边三角形，M是线段BC上任意一点，N是CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于G点．（1）求证：AM＝BN；（2）求∠BGM的度数．【解答】解：（1）猜测：AM＝BN，证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，在△ABM和△BCN中，AB=BC∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCN，∴AM＝BN；（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠NBC，∵∠BGM＝∠ABG+∠BAG，∴∠BGM＝∠ABG+∠NBM＝∠ABC＝60°．18．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E＝45°．【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求；（2）△D′E′F′即为所求；（3）如图，连接A′F′，∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，∴∠C+∠E＝∠A′C′B′+∠D′E′F′＝∠A′C′F′，∵A′C′=12+22=5、A′F′=∴A′C′2+A′F′2＝5+5＝10＝C′F′2，∴△A′C′F′为等腰直角三角形，∴∠C+∠E＝∠A′C′F′＝45°，故答案为：45°．19．（6分）如图，一艘轮船以15海里/时的速度，由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上．求轮船在B处到小岛P的距离．【解答】解：如图，由题意可知：∠A＝15°，∠PBD＝30°，∴∠BPA＝∠PBD﹣∠A＝15°，即∠BPA＝∠A，∴PB＝AB＝15×2＝30（海里）．20．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：（1）∠DAE的度数；（2）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AD⊥BC，AE平分∠BAC，∴∠ADB＝90°，∠BAE＝∠CAE=12∠BAC＝∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝20°，∴∠DAE的度数是20°．（2）能，∵AE平分∠BAC，且∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC＝90°-12∠B∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∵∠B﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°-12∠B-12∠C﹣（90°﹣∠B）=12（∠∴∠DAE的度数是20°．21．（7分）综合与实践活动：课题测量墙上一点到地面的距离测量工具测角仪、皮尺、直杆等测量方案测量方案及步骤第一步：如图1，找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；第三步：测量OD的长度，即为点A的高度．任务1（1）补全上述方案中的空格；任务2（2）利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由；任务3（3）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的小明同学猜想线段AE＝DE，你同意小明的观点吗？说明理由．【解答】解：（1）第一步：如图1，找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；第三步：测量OD的长度，即为点A的高度．故答案为：DCO，OD；（2）理由：∵AO⊥OD，∴∠AOB＝∠DOC＝90°，在△AOB与△DOC中，∠AOB=∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OA＝OD．（3）同意小明的观点．理由：∵△AOB≌△DOC，∴OB＝OC，OA＝OD，∠OAB＝∠ODC，∴OA﹣OC＝OD﹣OB，即AC＝DB，在△ACE与△DBE中，∠OAB=∴△ACE≌△DBE（AAS），∴AE＝DE．22．（10分）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（AAS）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝50；（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（4）拓展应用：如图4，在△ABC中，∠ACB≠90°，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为5．【解答】解：（1）∵AE⊥DE，BD⊥DE，∴∠AEC＝∠CDB＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，∠CAE=∴△AEC≌△CDB（AAS），故答案为：AAS．（2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD=12×(4+6)×16-2×12×6×3-2×12故答案为：50．（3）如图3，过B'作B′E⊥AC于E，由旋转得：AB＝AB′，∵∠BAB'＝90°，由（1）可知△AEB'≌△BCA，∴AC＝B'E＝4，∴S△AB'C=12（4）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，∴△ABD的面积是：13∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠ABE=∴△ABE≌△CAF（ASA），∴S△ABE＝S△CAF，∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5，故答案为：5．23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BM上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°，求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．①∠AFB的度数是45°；②若AH为△ABF中BF边上的高，求证：BF＝CF+2AH．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）证明：∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠BDA＝90°，由（1）得△ABE≌△ACF，∴∠ABE＝∠ACF，∴∠BDA+∠ACF＝90°，又∵∠BDA＝∠CDF，∴∠CDF+∠ACF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BD；（3）①解：过点A作AF的垂线交BM于点E，∵CF⊥BD，∴∠BAC＝90°．∴∠ABD+∠BDA＝90°，同理∠ACF+∠CDF＝90°，∵∠CDF＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ACF，同（1）理得∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∠BAE=∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFB＝45°．故答案为：45°；②证明：过点A作AG⊥CF，交CF的延长线于点G，∵∠AHD＝∠HFG＝∠G＝90°，∴四边形AHFG是矩形，∵∠AFB＝45°，∴AH＝HF，∴四边形AHFG是正方形，∴AG＝AH＝FG，∵AB＝AC，∴Rt△ABH≌Rt△ACG（HL），∴BH＝CG＝CF+FG，∴BF＝B