2025-2026学年江汉区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年江汉区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的常数项是1，则一次项系数是（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣12．在下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．抛物线y＝（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）4．一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根5．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O半径为6cm，则圆心O到直线l的距离可以是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm6．在平面直角坐标系中，点A（4，a）与点B（﹣4，﹣2）关于原点对称，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣27．如图，△ABD内接于⊙O，连OA，OB，若∠OBA＝50°，则∠D的度数是（）A．40° B．50° C．25° D．35°8．抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1通过下列平移，得到抛物线y＝2x2，正确的是（）A．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度9．今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（）A．6人 B．7人 C．8人 D．9人10．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62＝324＝182，据此易得x+6+x＝18，x＝6（正根）．小熙用此方法解关于x的方程x（7x﹣a）＝20，其中7x﹣a＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是（）A．6 B．4 C．2 D．1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为a，b，则a+b+ab＝．12．艺术小区为改善环境，决定加大绿化投入．三月份绿化投入20万元，五月份绿化投入64万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程是．13．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转38°后得到△COD，若∠AOD＝28°，则∠AOB的度数是°．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，则方程ax2+bx+c＝mx+n的解是．15．飞机着陆后滑行距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣2t2+84t．飞机着陆后滑行秒才能停下来．16．如图，AB是⊙O的直径，点E是弦CD的中点，F在DB上，连接EF，若FB+CA=FD，∠CEF＝150°，EF＝6，则CD＝三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程x2﹣2x﹣1＝0．18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0．（1）若该方程有一个根为x＝2，求方程的另一个根；（2）若该方程有两个相等的实数根，求m的值．19．（8分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是AD的中点，连接CA，CD，CO．（1）求证：OC∥DB；（2）若⊙O的半径是5，DB＝8，求AC的长．21．（8分）如图是由小正方形组成的8×11的网格，小正方形的顶点称为格点．图中A，B，C，D均为格点，E是线段AD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画出线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到的线段CD'；（2）在图（1）中，画出点E绕点C逆时针旋转90°后得到的点E'；（3）在图（2）中，画出点O，使点O是四边形ABCD的对称中心，并连接CO；（4）在图（2）中，令∠DCO＝α，画出点O绕点C逆时针旋转α得到的点O'．22．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．（1）若每个房间每天定价增加m元（m是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数；（2）若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的备种费用．①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价；②房价定为多少时，宾馆利润最大？23．（10分）问题提出如图（1），△DBA和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠DEC＝90°，连接AE，BC，T是BC的中点，过T作TO⊥AE于点O，探究AO与EO的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），令B，D，C三点共线，连接AT，把△TBA绕点T旋转180°得到△TCF，连接EF．请画出图形并证明：△ADE≌△FCE；（2）如图（1），若B，D，C三点不共线，求证：AO＝EO；问题拓展（3）若BD＝6，DE＝2，将△DEC绕点D旋转，直接写出TO的最大值和最小值．24．（12分）如图，一次函数y＝kx﹣k﹣1与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于A，B两点．（1）直线AB经过一个定点D，直接写出点D的坐标；（2）如图（2），当k＜0时，直线AB交y轴于点G，E为抛物线的顶点，射线AE交y轴于点F，若AG＝AF，求点A的横坐标；（3）如图（3），过点B作BC∥x轴，交抛物线于另一点C，求直线AC经过的定点的坐标．

2025-2026学年江汉区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BADBACABCB一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的常数项是1，则一次项系数是（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一次项系数是﹣3，故选：B．2．在下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故选：A．3．抛物线y＝（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）【解答】解：因为y＝（x+1）2﹣4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选：D．4．一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣2）＝25+8＝33＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：B．5．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O半径为6cm，则圆心O到直线l的距离可以是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm【解答】解：∵⊙O与直线l无公共点，∴⊙O与直线l相离．∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∵⊙O半径为6cm，∴圆心O到直线l的距离大于6cm．故选：A．6．在平面直角坐标系中，点A（4，a）与点B（﹣4，﹣2）关于原点对称，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（4，a）与点B（﹣4，﹣2）关于原点对称，则a的值是2．故选：C．7．如图，△ABD内接于⊙O，连OA，OB，若∠OBA＝50°，则∠D的度数是（）A．40° B．50° C．25° D．35°【解答】解：∵△ABD内接于⊙O，∠OBA＝50°，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠O＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠D=12∠O＝故选：A．8．抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1通过下列平移，得到抛物线y＝2x2，正确的是（）A．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度【解答】解：由题知，将抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2，显然只有B选项符合题意．故选：B．9．今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（）A．6人 B．7人 C．8人 D．9人【解答】解：设该群一共有x人，依题意得：x（x﹣1）＝56，整理得，x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）．即这个群一共有8人．故选：C．10．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62＝324＝182，据此易得x+6+x＝18，x＝6（正根）．小熙用此方法解关于x的方程x（7x﹣a）＝20，其中7x﹣a＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是（）A．6 B．4 C．2 D．1【解答】解：由题意可知，将四个长为7x﹣a，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是7x﹣a+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，∵x（7x﹣a）＝20，小正方形的面积为64，∴大正方形的面积为4×20+64＝144，∴大正方形的边长为12，∴7x﹣a+x＝8x﹣a＝12，∴n＝8x﹣12，∵7x﹣a＞x，∴7x﹣a﹣x＞0，∵小正方形的边长为7x﹣a﹣x，也为12﹣2x，∴12﹣2x＞0，由题意得：（12﹣2x）2＝64＝82，解得：x1＝2，x2＝10，当x＝2时，12﹣2x＝8＞0，符合题意；当x＝10时，12﹣2x＝﹣8＜0，不符合题意，舍去；∴x＝2，∴a＝8×2﹣12＝4，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为a，b，则a+b+ab＝5．【解答】解：由题知，因为一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为a，b，则a+b＝3，ab＝2，所以a+b+ab＝3+2＝5．故答案为：5．12．艺术小区为改善环境，决定加大绿化投入．三月份绿化投入20万元，五月份绿化投入64万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程是20（1+x）2＝64．【解答】解：根据题意得：20（1+x）2＝64．故答案为：20（1+x）2＝64．13．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转38°后得到△COD，若∠AOD＝28°，则∠AOB的度数是10°．【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转38°后得到△COD，∴∠BOD＝38°，∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝38°﹣28°＝10°．故答案为：10．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，则方程ax2+bx+c＝mx+n的解是x＝﹣2或x＝4．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，∴方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或x＝4．15．飞机着陆后滑行距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣2t2+84t．飞机着陆后滑行21秒才能停下来．【解答】解：由题意得，s＝﹣2t2+84t＝﹣2（t2﹣42t+441﹣441）＝﹣2（t﹣21）2+882，∴当t＝21秒时，飞机才能停下来．故答案为：21．16．如图，AB是⊙O的直径，点E是弦CD的中点，F在DB上，连接EF，若FB+CA=FD，∠CEF＝150°，EF＝6，则CD＝6【解答】解：在DF上取一点H，使FH=FB，连接OC、OE、OH、OF、OD，则∠FOB＝∠∵FB+∴CA=∴∠AOC＝∠DOH，∴∠AOC+∠FOB＝∠DOH+∠FOH＝∠DOF，∵点E是弦CD的中点，∴OE⊥CD，DE＝CE，∴∠OEC＝∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠COE＝∠DOE，∵∠AOC+∠FOB+∠DOF+∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOF+∠DOF+∠DOE+∠DOE＝180°，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠EOF＝∠OEC，∴OF∥CD，∵∠CEF＝150°，EF＝6，∴∠OFE＝∠DEF＝180°﹣∠CEF＝30°，∴OE=12EF＝∴OD＝OF=EF2∴DE=OD2∴CD＝2DE＝62，故答案为：62．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程x2﹣2x﹣1＝0．【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，移项，得x2﹣2x＝1，配方，得x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x-∴x1=1+218．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0．（1）若该方程有一个根为x＝2，求方程的另一个根；（2）若该方程有两个相等的实数根，求m的值．【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程为x2+x+m＝0，所以该方程的两根之和为﹣1．因为该方程有一个根为x＝2，所以该方程的另一个根为﹣3；（2）因为该方程有两个相等的实数根，所以Δ＝12﹣4×1×m＝0，解得m=119．（8分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA＝OB，∴AE＝BE，又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是AD的中点，连接CA，CD，CO．（1）求证：OC∥DB；（2）若⊙O的半径是5，DB＝8，求AC的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵C是AD的中点，∴AC=∴∠AOC＝∠DOC=12∠∵∠B=12∠∴∠AOC＝∠B，∴OC∥DB．（2）解：连接AD交OC于点E，∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，∴OA＝OB＝OC＝5，AB＝10，∠ADB＝90°，∵DB＝8，∴AD=AB∵半径OC平分AD，∴OC垂直平分AD，∴∠OEA＝∠CEA＝90°，AE＝DE=12AD＝∴EO=12DB＝∴CE＝OC﹣EO＝1，∴AC=A∴AC的长是10．21．（8分）如图是由小正方形组成的8×11的网格，小正方形的顶点称为格点．图中A，B，C，D均为格点，E是线段AD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画出线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到的线段CD'；（2）在图（1）中，画出点E绕点C逆时针旋转90°后得到的点E'；（3）在图（2）中，画出点O，使点O是四边形ABCD的对称中心，并连接CO；（4）在图（2）中，令∠DCO＝α，画出点O绕点C逆时针旋转α得到的点O'．【解答】解：（1）如图1中，线段CD′即为所求；（2）如图1中，点E′即为所求；（3）如图2中，点O，线段OC即为所求；（4）如图2中，点O′即为所求．22．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．（1）若每个房间每天定价增加m元（m是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数；（2）若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的备种费用．①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价；②房价定为多少时，宾馆利润最大？【解答】解：（1）由题意，∵当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，∴当每个房间每天定价增加m元时，该宾馆的已居住的房间数为（50-m（2）①设每个房间的定价为a元，根据题意，得：（a﹣20）(50-∴a＝200或a＝500．答：房价定为200元或500元；②设房价增加x元时，利润为w元，∴w＝（180﹣20+x）(50-∵-1∴当x＝170时，即房价定为350元时，利润最大是10890元．23．（10分）问题提出如图（1），△DBA和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠DEC＝90°，连接AE，BC，T是BC的中点，过T作TO⊥AE于点O，探究AO与EO的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），令B，D，C三点共线，连接AT，把△TBA绕点T旋转180°得到△TCF，连接EF．请画出图形并证明：△ADE≌△FCE；（2）如图（1），若B，D，C三点不共线，求证：AO＝EO；问题拓展（3）若BD＝6，DE＝2，将△DEC绕点D旋转，直接写出TO的最大值和最小值．【解答】（1）证明：依题意画出图形如图：证明：∵△DBA和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠DEC＝90°，∴AB＝AD，ED＝EC，∠B＝∠ADB＝∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠ADE＝90°，∵△TBA和△TCF关于点T对称，∴△TBA≌△TCF，∴AB＝CF＝AD，∠B＝∠FCT＝45°，∴∠ECF＝∠ECD+∠FCT＝90°，在△ADE和△FCE中，AD=CF∠ADE=∠FCE∴△ADE≌△FCE（SAS）；（2）证明：连接AT并延长至点F，使TF＝AT，连接CF，EF，ET．∵T是BC的中点，∴TB＝TC，∵∠ATB＝∠FTC，TA＝TF，∴△TAB≌△TFC（SAS），∴AB＝FC，∠ABT＝∠FCT，∵AB＝AD，∴AD＝FC，∵∠ADE＝360°﹣∠ADB﹣∠EDC﹣∠BDC＝270°﹣∠BDC