湖南炎德英才名校联考2027届高三上学期开学考试数学+答案

高三数学一

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.复数的模长为

A.—1B.1C.√2D.2

2.已知等差数列{an}中，a₁=2,a₃=6,则公差d=

A.4B.3C.2D.1

3.已知集合A={e,2},B={log₂2,0°},则A∩B=

A.{1}B.{0}C.{1,4}D.ø

4.已知,则cos(一a)=

ABC.D.

的展开式中，所有项的系数和为

A.-1B.—2C.2D.1

6.已知抛物线y=x²上两点A(a,a²),B(b,b²)处的切线互相垂直，则ab=

ABC.1D.2

7.《九章算术》记载的“圆困”是圆柱形粮仓.现用总长L米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面(不

计上下底),已知圆柱侧面积S=2πrh,侧面用料长度满足2πr+2h=L(其中2h为两条母线的

长度和，r为底面半径，h为高，单位均为米).若要使圆柱侧面积S最大，则其高与底面半径之

比h:r的值为

A.1:1B.π:1C.1:πD.2:1

8.定义在R上的“关联二次函数”f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f(1)=1,则f(10)

一f(9)+f(8)—…—f(1)=

A.49B.64C.55D.66

数学试卷(27Y)第1页(共4页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数,则

A.f(x)的最小正周期为1

B.f(x)的最小值为一2

C.f(x)的图象关于直线对称

D.f(x)的单调递增区间,k∈Z

10.已知a=log₂3,b=log₃4,c=log45,则

A.abc=log₂5B.a<1.5

D

C.a>b>c

11.已知正四面体ABCD的棱长为2,点P在棱AB上(不含端点),过点P且平行于AC和BD

的平面α截四面体所得截面为四边形.则

A.截面四边形面积的最大值为1

B.三棱锥P-BCD的体积的最大值

C.三棱锥P-BCD的外接球半径的最小值

D.异面直线PC与AD所成角的余弦值的取值范围

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量X服从正态分布N(1,4),若P(|X|≤1)=0.3413,则P(1≤X≤3)

二_·

13.双曲的焦点坐标为·

14.已知两平面向量m,n满足；|m|=|n|=1,对任意的x∈R,有恒成立.若

2|c|=1,λ∈R,则|c—λn—(1—λ)n|的取值范围是

数学试卷(27Y)第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

15.(★)(13分)

已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acosC+√3asinC—b—c=0.

(1)求A的值；

(2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=1,求BC的最小值.

16.(★)(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面

ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点.

A

(1)证明：OB⊥平面PAD;

(2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离.

17.(15分)

某市举办青少年科技创新知识竞赛，共设三个环节，依次为“基础理论”“实验操作”和“综合应

用”.已知某选手通过三个环节的概率分别为和,且各环节之间相互独立.每个环节通

过得10分，未通过得0分，已知该选手三个环节全部参加.记X为该选手的总得分.

(1)求该选手恰好通过两个环节的概率；

(2)求随机变量X的分布列；

(3)学校规定：总分达到20分及以上可获一等奖学金500元，总分10分可获二等奖学金200

元，总分0分不获奖学金.记该学生获得的奖学金金额为Y元，求Y的数学期望E(Y).

数学试卷(27Y)第3页(共4页)

18.(17分)

已知椭圆(a>b>0)的离心率,且经过点(√3,1).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A,B是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线

PA,PB的斜率分别为k₁,k₂.证明：k₁·k₂为定值；

(3)设直线l与椭圆C交于M,N两点，坐标原点O到直线l的距离为,求△OMN面积的

最大值.

19.(17分)

已知函数f(x)=xe²—a(x+1nx),其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)的零点个数；

(2)若对任意x>0,不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：对任意正整数n,都1n(2n+1).

数学试卷(27Y)第4页(共4页)

高三数学一参考答案

一、二、选择题

题号1234567891011

答案BCACDABCBDACACD

1.B【解析】复数商的模长等于模长的商，即.故选B.

2.C【解析】6=a₃=a₁+2d=2+2d→d=2.故选C.

3.A【解析】因为e⁰=1,2²=4,所以A={1,4},

同理B={1,0},故A∩B={1},故选A.

4.C【解析】,故选C.

5.D【解析】,则所有项的系数和即ao+a₁+…+as,即为x=1

时等式右边的和，为1.故选D.

6.A【解析】对y=x²求导得y′=2x,故切线lA,lB的斜率分别为：2a,2b,

因为两切线互相垂直，所以斜率乘积为—1,即.故选A.

7.B【解析】由题意，侧面用料总长为2πr+2h=L,

解出高

法一：求导得S'(r)=πL—4π²r,

令S'(r)=0,得,当时，S'(r)>0,S(r)单调递增，

当时，S'(r)<0,S(r)单调递减，故当侧面积S最大时

法二：这是关于r的二次函数，二次项系数—2π²<0,图象开口向下，

故最大值在对称轴处取得：

代入h的表达式,因此h:,故选B.

8.C【解析】法一：令y=1,得f(x+1)=f(x)+f(1)+2x=f(x)+2x+1.①

为求出f(x)的具体形式，构造新函数g(x)=f(x)—x².则g(x+y)=f(x+y)—(x+y)²=[f(x)+f(y)+

2xy]—(x²+2xy+y²)=[f(x)-x²]+[f(y)-y²]=g(x)+g(y).即g(x)满足g(x+y)=g(x)+g(y).②

又由f(1)=1,得g(1)=f(1)-1²=0.

由②令y=1得g(x+1)=g(x)+g(1)=g(x),说明g(x)以1为周期；则g(10)=g(1)=0,即f(10)=10²,同理

f(9)=9²,…,f(1)=1²,∴f(10)一f(9)+f(8)—…—f(1)=10²—9²+8²-…-1²=10+9+8+…+1=55.

法二：令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+2x,变形得f(x+1)一f(x)=f(1)+2x,又f(1)=1,

所以f(10)一f(9)+f(8)一f(7)+…+f(2)一f(1)=[f(10)—f(9)]+[f(8)一f(7)]+[f(6)一f(5)]+

[f(4)—f(3)]+[f(2)—f(1)]=5f(1)+2(9+7+5+3+1)=55.故选C.

数学参考答案(27Y)-1

9.BD【解析】易知A错误，B正确；

对称轴满足

若,则

故不是f(x)图象的对称轴，C错误.

,k∈Z,解得,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,D正确；

故选BD.

10.AC【解析】利用对数换底公式，

比较a,b与1.5的大小：

21.5=2√2=√8<3,故log₂3>1.5,B错误；

31.5=3√3=√27>4,故log₃4<1.5,因此a>1.5>b.

比较b,c与1.25的大小：

31.25=3=4243,而4⁴=256>243,故4>31.25,即log₃4>1.25;

41.25=48=41024,而5⁴=625<1024,故41.25>5,即log₄5<1.25,因此b>1.25>c.

综上，a>b>c,C正确；

由换底公式,由log₃2>0,,故,D错误.

故选AC.

11.ACD【解析】对于A:截面与四面体表面的交线满足：

PQ//AC,PR//BD,QS//BD,RS//AC,

所以截面四边形PQSR是平行四边形.

又因为正四面体对棱互相垂直，即AC⊥BD,所以截面是矩形.

记AP=x,由相似关系：PR=x,PQ=2—x,

因此截面面积S=(2—x)x≤1,当x=1时取到最大值1,故A正确；

对于B,三棱锥P-BCD与四面体A-BCD同底，

高之比

,在0<x<2上单调递减，

因此体积没有最大值，故B错误；

对于C:设△BCD的外心为O,

正三角形BCD外接圆半径

r=方，正四面体高

令,则P到底面BCD的距离为h(1—t),P在底面上的投影到O的距离为tr.

外接球球心在过0且垂直于底面BCD的直线上.设球心到O的距离为k,则外接球半径R满足R²=r²+k²,

数学参考答案(27Y)-2

由到P的距离等于到B,C,D的距离，即(h(1—t)一k)²+t²r²=R²=r²+k²,代入数据后化简

可得3t²—4t+1=√6k(1—t),

即(3t-1)(t-1)=√6k(1—t),可得

,当时取等号，

所以,故C正确；

对于D:取坐标A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0),

设P(x,0,0),其中0<x<2.

PC=(1-x,√3,0)

所以

令u=2—x∈(0,2),则,可得其值域为,故D正确.

故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.0.3413【解析】根据正态密度曲线的对称性，均值两侧对称区间的概率是相等的，

即P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1)=P(1≤X≤3)=0.3413.

13.(0,±2)【解析】根据双曲线的定义可得，m+3<0,m+7>0,且焦点在y轴上，

方程可化；

此时a²=m+7,b²=—(m+3),则c²=a²+b²=m+7—(m+3)=4,

所以该双曲线的焦点为(0,±2).

14.【解析】因为对任意的x∈R,有恒成立，

恒成立，即恒成立，

又|m|=|n|=1,所以恒成立，

所以2m·n-1=0,所以

设m与n的夹角为θ,则

又θ∈[0,π],所以

不妨设m=OA=(1,0),c=OC=(x,y),

因为2|c|=1,所以,所以点C在以坐标原点为圆心，半径的圆上，

数学参考答案(27Y)-3

设OD=λm+(1—λ)n=λOA+(1—λ)OB,则D在直线AB上，

又直线AB的方程为,即√3x+y—√3=0,

所以c一λm—(1—λ)n=OC-OD=DC,

所以|c—λm—(1—λ)n|=|DC|,

又O到直线AB的距离所

即|c—λm—(1—λ)n|的取值范围；

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)由正弦定理可知：sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC,·1分

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,2分

∴√3sinAsinC=cosAsinC+sinC,……3分

又∵△ABC中sinC≠0,

∴√3sinA=cosA+1,4分

,……………5分

∵A∈(0,π),,即.…………………6分

(2)由题意可,S△ABC=S△BAD+S△CAD,……………7分

∴√3bc=c+b,10分

由基本不等式可得b+c≥2√bc,即√3bc≥2√bc,,………………11分

当且仅当b=c时取等号.

,当且仅当b=c时取等号.……12分

,∴BC的最小值为………………………13分

数学参考答案(27Y)-4

16.【解析】(1)连接PO,因为△PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以AD⊥PO1分

又因为AD⊥PB,PO,PBC平面POB,PO∩PB=P,所以AD⊥平面POB.3分

因为OBC平面POB,所以AD⊥OB4分

因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

OBLAD,OBC平面ABCD,

所以OB⊥平面PAD6分

(2)法一：在菱形ABCD中，AD//BC,

由(1)得AD⊥平面POB,所以BC⊥平面POB.7分

在平面POB内，作OHLPB于H.

因为BC⊥平面POB,OHC平面POB,所以OH⊥BC.9分

又因为OHLPB,PB,BCC平面PBC,PB∩BC=B,

所以OH⊥平面PBC11分

所以OH的长度为点O到平面PBC的距离12分

在Rt△AOB中，因为AB=4,AO=2,∠AOB=90°,

所以OB=2√3,同理PO=2√313分

因为OB⊥平面PAD,OPC平面PAD,所以OBLOP.

在Rt△POB中，因为OB=OP=2√3,所以PB边上的高OH=√6.

即点O到平面PBC的距离为√615分

法二：因为OB⊥平面PAD,OPC平面PAD,所以OBLOP.

由(1)得OP,OB,AD两两垂直，

故以OA,OB,OP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz8分

则P(o,0,2√3),B(0,2√3,0),C(-4,2√3,0)9分

PB=(0,2√3,-2√3),BC=(-4,0,0),OP=(0,0,2√3)10分

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

………………12分

所以n=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量13分

所以点O到平面PBC的距离…………………15分

数学参考答案(27Y)-5

17.【解析】(1)则

设事件A;表示“第i个环节通过”(i=1,2,3),,,且A₁,A₂,

A₃相互独立.·1分

“恰好通过两个环节”包含三种互斥情况：

通过第1,2个，未通过第3个………………2分

通过第1,3个，未通过第2个………………3分

通过第2,3个，未通过第1………………4分

因此，恰好通过两个环节的总概率为………………5分

(2)由题意易知，随机变量X的所有可能取值为0,10,20,30.………………·6分

①当X=0时，三个环节均未通过：

…………7分

②当X=10时，恰好通过一个环节，分为三种情况：

仅通过第1个

仅通过第2个

仅通过第3个：

所以………………………8分

③当X=20时，恰好通过两个环节，由(1)可知……………9分

④当X=30时，三个环节全部通过：

综上，随机变量X的分布列为：

X0102030

P

…………………11分

(3)由题意，奖学金Y与总分X的关系如下：

当X=30或X=20时(总分≥20),获得一等奖学金500元；

当X=10时，获得二等奖学金200元；

当X=0时，获得0元.

因此，随机变量Y的取值为0,200,500,……………………12分

对应概率为：

…………………13分

所以Y的分布列为：

数学参考答案(27Y)-6

Y0200500

P

故该学生获得奖学金金额的数学期望为402元.…………15分

18.【解析】(1)由离心率,……………………1分

又c²=a²—b²,所以………………2分

椭圆过点(√3,1),代入椭圆方程,将,从而b²=2.……3分

故椭圆C的标准方程……………4分

(2)设A(xo,yo),则B(一xo,-yo).设P(x,y),其中x≠±x₀.……………5分

依题意9…………6分

……………7分

由椭圆方程知………………………8分

代入得

k,为定值.……………10分

(3)设直线l:y=kx+m,与椭圆C:x²+3y²=6联立，得x²+3(kx+m)²=6,

即(1+3k²)x²+6kmx+3m²—6=0,…………11分

判别式△=36k²m²-4(1+3k²)(3m²—6)=24—12m²+72k²,

原点O到直线l的距离,……………12分

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

,…13分

△OMN的面,…14分

令t=k²≥0,则

令,变形得

当t>0时，由基本不等当且仅当,即时等号成立，

此时

数学参考答案(27Y)-7

当t=0(k=0)时,………………16分

当直线l斜率不存在时，由O到直线l的距离为可知,由对称性取

此时

综上可得，△OMN面积的最大值为√3.………………………17分

19.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),将函数变形得f(x)=em+x—a(x+Inx),…·1分

令t(x)=x+lnx,由于,故t(x)在(0,+∞)上单调递增，其值域为R.…2分

于是原函数零点个数等于关于t的函数g(t)=e—at在R上的零点个数.

则g'(t)=e—a.

①当a≤0时，g'(t)>0,g(t)在R上单调递增.

若a=0,则g