2026秋人教A版高一（必修一） 周测练1　集合与常用逻辑用语

周测练(一)集合与常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题p：∀x∈R，x＋1≤0的否定是()A．∀x∈R，x＋1>0 B．∃x∈R，x＋1<0C．∃x∈R，x＋1≥0 D．∃x∈R，x＋1>02．下列关系正确的是()A．0∈N B．π∈QC．{0}＝⌀ D．{(1，2)}＝{(2，1)}3．已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{x|－1<x<3，x∈N}，则∁UA＝()A．{－1，3} B．{1，2}C．{－1，0，3} D．{0，1，2}4．若A＝{a2，a＋1，0}，B＝{2a，1}，满足A∪B＝A，则a＝()A．0 B．±1C．1 D．－15．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则()A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题6．已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．⌀8．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x<2m－1}，若A∩B＝⌀，则实数m的取值范围为()A．m|mB．{m|m>11}C．mD．m|m二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是()A．x∈R，“x>7”是“x>3”的必要不充分条件B．x∈R，“x>7”是“x>3”的充分不必要条件C．∃x∈Z，x2>x的否定是∀x∈Z，x2>xD．∀x∈Z，x2>x的否定是∃x∈Z，x2≤x10．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}，类似地，对于集合A，B我们把集合{x|x∈A，且x∉B}，叫做集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列说法正确的是()A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，8}B．如果A－B＝⌀，那么A⊆BC．已知全集、集合A、集合B的关系如图所示，则B－A⊆∁UBD．已知A＝{x|x<－1，或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2，或x≥4}11．已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则下列选项正确的为()A．{9}∈AB．2∈BC．A的非空子集的个数为7D．7∉∁U(A∪B)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．命题p：∃x≥0，x2－x<1的否定为__________________．13．定义集合运算：A*B＝{x|x∈A且x∉B}，若集合A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则集合A*B的子集个数为________．14．学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有________人，只参加田径一项比赛的有________人．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|x<－2，或x>4}，B＝{x|2≤x≤9}．(1)求A∪B；(2)求(∁RA)∩B；(3)求∁R(A∩B)．16．(本小题满分15分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假．(1)有些奇数是合数；(2)任何实数都有算术平方根；(3)至少有一个数能被3和5整除；(4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象．17．(本小题满分15分)已知命题p：关于x的方程x2＋4x＋m＝0(m>0)有两个不相等的实数根．(1)若p是真命题，求实数m的取值集合A；(2)在(1)的条件下，集合B＝{m|2a－1<m<a＋1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．18．(本小题满分17分)(教材P23习题1.4T6改编)在△ABC中，a，b，c为三角形的三边．(1)我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是存在一条边的平方等于另两边的平方和．类似地，试用三边的关系分别给出△ABC为锐角三角形的充要条件以及△ABC为钝角三角形的充要条件；(不需证明)(2)由(1)知，若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．试探究当三边a，b，c满足an＋bn＝cn(n∈N，n>2)时三角形的形状，并加以证明．19．(本小题满分17分)已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A-＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}．(1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A+及A-；(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A-＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3．周测练(一)1．D[命题p：∀x∈R，x＋1≤0的否定是∃x∈R，x＋1>0．故选D．]2．A[对于A，因为0是自然数，所以0∈N，故A正确；对于B，因为π是无理数，所以π∉Q，故B错误；对于C，因为{0}中有一个元素，⌀中没有任何元素，所以{0}≠⌀，故C错误；对于D，{(1，2)}和{(2，1)}都是点集，两点不同，所以集合不相等，故D错误．故选A．]3．A[因为A＝{x|－1<x<3，x∈N}＝{0，1，2}，U＝{－1，0，1，2，3}，所以∁UA＝{－1，3}．故选A．]4．C[由集合A＝{a2，a＋1，0}，得a2≠0，且a＋1≠0，则a≠0且a≠－1，由A∪B＝A，得B⊆A，又a＋1≠1且2a≠0，因此a+1=2a，a2=1，5．B[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，q是假命题．综上，p和q都是真命题．故选B．]6．B[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]7．A[法一(列举法)：因为M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A．法二(描述法)：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A．]8．D[集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x<2m－1}，若A∩B＝⌀，则当B＝⌀时，m－6≥2m－1，解得m≤－5；当B≠⌀，A∩B＝⌀时，m−6<2m解得－5<m≤－12或m>11综上，实数m的取值范围为m|故选D．]9．BD[对于AB，因为x>7可以推出x>3，但x>3无法推出x>7，所以“x>7”是“x>3”的充分不必要条件，A错误，B正确；对于C，命题∃x∈Z，x2>x是存在量词命题，其否定是∀x∈Z，x2≤x，C错误；对于D，命题∀x∈Z，x2>x是全称量词命题，其否定是∃x∈Z，x2≤x，D正确．故选BD．]10．ABD[根据差集的定义得B－A＝{3，8}，A正确；根据差集的定义，当A－B＝⌀时，A⊆B，B正确；根据差集的定义得B－A＝(∁UA)∩B，C错误；根据差集的定义得A－B＝{x|x<－2，或x≥4}，D正确．故选ABD．]11．BC[由题可得U＝{x|x<10，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，由图可知，A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}，则{9}⊆A，故A不正确；2∈B，故B正确；集合A的非空子集个数为23－1＝7(个)，故C正确；因为∁U(A∪B)＝{4，6，7}，所以7∈∁U(A∪B)，D错误．故选BC．]12．∀x≥0，x2－x≥1[根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题p：∃x≥0，x2－x<1的否定为∀x≥0，x2－x≥1．]13．4[集合A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，由A*B的定义可得，A*B＝{1，3}，所以子集有⌀，{1}，{3}，{1，3}，共4个．]14．92[如图所示：设U＝{参加比赛的学生}，A＝{参加游泳比赛的学生}，B＝{参加田径比赛的学生}，C＝{参加球类比赛的学生}，依题意，U＝A∪B∪C，card(U)＝28，card(A)＝15，card(B)＝8，card(C)＝14，card(A∩B)＝3，card(A∩C)＝3，card(A∩B∩C)＝0，由容斥原理得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)，解得card(B∩C)＝3，所以只参加游泳比赛的人数为card(A)－card(A∩B)－card(A∩C)＝15－3－3＝9，只参加田径比赛的人数为card(B)－card(A∩B)－card(B∩C)＝8－3－3＝2．]15．解：(1)因为集合A＝{x|x<－2，或x>4}，B＝{x|2≤x≤9}，所以A∪B＝{x|x<－2，或x≥2}．(2)因为集合A＝{x|x<－2，或x>4}，所以∁RA＝{x|－2≤x≤4}，所以(∁RA)∩B＝{x|2≤x≤4}．(3)因为集合A＝{x|x<－2，或x>4}，B＝{x|2≤x≤9}，所以A∩B＝{x|4<x≤9}，所以∁R(A∩B)＝{x|x≤4，或x>9}．16．解：(1)“有些奇数是合数”是存在量词命题．比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题．(2)“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题．比如，－1是实数，但－1没有算术平方根，所以该命题是假命题．(3)“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题．比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题．(4)“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量词命题．因为反比例函数的解析式形如y＝kx(k≠0)，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题17．解：(1)若p是真命题，则Δ解得0<m<4，则A＝{m|0<m<4}．(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，当B＝⌀时，由2a－1≥a＋1，解得a≥2，此时B⊆A，符合题意；当B≠⌀时，则有2a−1<a+1，2a综上所述，实数a的取值范围为aa18．解：(1)△ABC为锐角三角形的充要条件：任意两边的平方和大于第三边的平方．△ABC为钝角三角形的充要条件：存在一条边的平方大于另两边的平方和．(2)∵an＋bn＝cn(n∈N，n>2)，∴c为△ABC的最大边，∴0<a<c，0<b<c．∴an＝a2·an-2<a2·cn-2，bn＝b2·bn-2<b2·cn-2．∴cn＝an＋bn<a2·cn-2＋b2·cn-2＝(a2＋b2)cn-2，∴c