考研数学一期末试卷全套-2019（无水印高清）

考研数学一期末试卷全套_2019（无水印高清）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在点x=0处可导，且满足lim_{h→0}(f(2h)-f(h))/h=3，则f'(0)等于（）A.3B.6C.1.5D.无法确定解析：根据导数定义，f'(0)=lim_{h→0}(f(h)-f(0))/h。由题给条件，令t=h/2，则当h→0时，t→0，原式可转化为lim_{t→0}(f(4t)-f(2t))/2t=3，即f'(0)=6。正确答案为B。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值是（）A.8B.10C.2D.-10解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得驻点x=0和x=2。比较f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-10，f(0)=2，f(2)=2^3-3×2^2+2=-2，f(2)=2^3-3×2^2+2=-2，最大值为2。正确答案为C。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则方程f'(x)=0在(a,b)内至少有一个实根，其依据是（）A.罗尔定理B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒公式解析：根据罗尔定理，满足f(a)=f(b)，f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，则存在c∈(a,b)使f'(c)=0。正确答案为A。4.设函数f(x)=ln(1+x)，当x→0时，与f(x)等价的无穷小量是（）A.x^2B.sinxC.arctanxD.e^x-1解析：f(x)=ln(1+x)的麦克劳林展开式为x-x^2/2+o(x^2)，当x→0时与x等价。sinx的泰勒展开为x-x^3/6+o(x^3)，与x等价。arctanx的泰勒展开为x-x^3/3+o(x^3)，与x等价。e^x-1的泰勒展开为x+x^2/2+o(x^2)，与x等价。正确答案为D。5.设函数f(x)在点x=0处具有二阶导数，且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=2，则lim_{x→0}(xf(x)-x^2)/x^3等于（）A.1/2B.1C.2D.0解析：根据泰勒公式，f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+o(x^2)，即f(x)=x+x^2+o(x^2)，则原式=lim_{x→0}((x+x^2+o(x^2))-x^2)/x^3=lim_{x→0}(x+o(x^2))/x^3=lim_{x→0}(1/x+o(x))/x^2=1/2。正确答案为A。6.设函数f(x)在区间I上连续，且对任意x1,x2∈I，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上单调增加。下列函数中，在(-∞,+∞)上单调增加的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=e^xC.f(x)=sinxD.f(x)=lnx解析：f(x)=e^x在(-∞,+∞)上f'(x)=e^x>0，单调增加。其他函数均不满足。正确答案为B。7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)>0，则方程f(x)=0在(a,b)内至多有一个实根，其依据是（）A.罗尔定理B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.介值定理解析：由f'(x)>0知f(x)严格单调增加，若存在两个根x1,x2(x1<x2)，则f(x1)=f(x2)=0，违背单调性。正确答案为D。8.设函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则函数g(x)=f(x)+x在点x=0处的导数g'(0)等于（）A.3B.2C.1D.无法确定解析：g'(0)=f'(0)+1=2+1=3。正确答案为A。9.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，都有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|（M为常数），则f(x)在[a,b]上（）A.可导B.连续C.必存在原函数D.必为线性函数解析：满足利普希茨条件的函数必为绝对连续，绝对连续函数必存在原函数。正确答案为C。10.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内不变号，则曲线y=f(x)在(a,b)上（）A.必有拐点B.必为直线C.必无拐点D.必为单调函数解析：f'(x)不变号仅保证单调性，若f''(x)存在且不变号，则无拐点。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,2]上的最小值是_________。参考答案：-10解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得驻点x=0和x=2。比较f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-10，f(0)=2，f(2)=2^3-3×2^2+2=-2，最小值为-10。2.设函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则lim_{x→0}(e^x-1-f(x))/x^2等于_________。参考答案：1/2解析：根据泰勒公式，f(x)=x+o(x)，e^x-1=x+x^2/2+o(x^2)，则原式=lim_{x→0}((x+x^2/2+o(x^2))-x-o(x))/x^2=1/2。3.设函数f(x)=ln(1+x)，当x→0时，与f(x)等价的无穷小量是_________。参考答案：e^x-1解析：f(x)=ln(1+x)的麦克劳林展开式为x-x^2/2+o(x^2)，当x→0时与x等价。sinx的泰勒展开为x-x^3/6+o(x^3)，与x等价。arctanx的泰勒展开为x-x^3/3+o(x^3)，与x等价。e^x