2026新教材 第一章 特殊平行四边形 4 第1课时 正方形的性质

第一章特殊平行四边形4正方形的性质与判定第1课时正方形的性质正方形的定义是什么？正方形是平行四边形经过怎样的变化得到的？它与菱形有怎样的关系？与矩形呢？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.菱形是将平行四边形的边的数量关系进行特殊化得到的(一组邻边相等)，矩形是将平行四边形的角的数量关系进行特殊化得到的(一个角为90°)，而正方形是将平行四边形的边和角的数量关系都进行特殊化得到的(一组邻边相等，一个角为90°)，因此正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形.导入新课正方形具有平行四边形、菱形、矩形的性质吗？正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质.正方形到底有哪些性质呢？

导入新课活动一：探索正方形的性质高效课堂问题1：正方形有哪些特殊的性质呢？猜想：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.能证明上述猜想吗？高效课堂已知：如图，在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB；(3)AC＝BD，AC⊥BD.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，BC＝AD(正方形的对边相等).∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD.高效课堂(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(正方形的对角相等)，AB∥DC(正方形的对边平行).∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°.∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA－∠DAB＝90°(3)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC(正方形的对边相等).高效课堂在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC＝BD.∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点(正方形的对角线互相平分).∵∠DAB＝90°，AB＝AD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD.高效课堂问题2：你能总结归纳出正方形的性质吗？定理正方形的四个角都是直角，四条边相等.定理正方形的对角线相等且互相垂直平分.高效课堂用表格来呈现正方形的性质(加点的部分是作为特殊的菱形具有的性质，加下划线的部分是作为特殊的矩形具有的性质)高效课堂问题3：能用恰当的方式梳理平行四边形、菱形、矩形、正方形这几个图形之间的关系和全部的性质吗？完成后，并说一说这样设计的理由.

高效课堂活动二：应用正方形的性质定理高效课堂例如图，在正方形ABCD中，E是边CD上的一点，F是BC延长线上的一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.高效课堂解：BE＝DF，BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角).∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.高效课堂(2)延长BE，交DF于点M(如图)∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝180°－(∠CBE＋∠F)＝180°－90°＝90°.∴BE⊥DF.高效课堂本题的条件有哪些？结论有哪些？将某些条件、结论交换位置后还成立吗？本题的条件是四边形ABCD是正方形，CE＝CF；结论是BE＝DF，BE⊥DF.本题可以出现以下的变式：(1)如图，在正方形ABCD中，E是边CD上的一点，F

是BC延长线上的一点.如果BE＝DF，那么CE＝CF，BE⊥DF还成立吗？高效课堂(2)如图，在正方形ABCD中，E是边CD上的一点，F为BC延长线上的一点.如果BE⊥DF，那么CE＝CF，BE＝DF还成立吗？活动三：尝试·交流高效课堂问题：如图，四边形ABCD是正方形.(1)请在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C

重合，并说说思考过程.由菱形的判定定理可知，当菱形的两个相对的顶点分别与点A，C重合时，菱形的另外两个顶点一定在AC的垂直平分线上，也就是BD所在的直线上.如果另外两个顶点E，F关于AC对称，那么四边形AECF一定是菱形.高效课堂(2)请在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H

依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，并与同伴交流你的思考过程.可以先假设矩形已经画好，再根据矩形、正方形的性质倒推E，F，G，H

四个顶点应该满足的条件，常见的方法有三种：高效课堂①如图1，若四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是矩形，则整个图形是一个轴对称图形，对称轴是正方形两条对角线所在的直线，根据对称性，可以猜想出当E，F，G，H四个点应该满足AE＝AH＝CG＝CF，BE＝BF＝DG＝DH时，四边形EFGH是矩形.高效课堂②如图1，根据矩形的四个角都是直角，对边平行且相等的性质，结合正方形的性质，可以得到当E，F，G，H

四个点应该满足△AEH，△CFG是两个全等的等腰直角三角形时，四边形EFGH是矩形.高效课堂③如图2，根据矩形的对角线相等且互相平分的性质，当EG与FH两条连线的交点刚好过正方形的两条对角线的交点O，且E，F，G，H四个点都在以O为圆心的同一个圆上时，四边形EFGH是矩形.课堂评价D课堂评价24cm1.本节课你掌握了正方形的